第三章 3.1 3.1.1
一、选择题
1．下列事件中，不可能事件为( )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
[答案] C
[解析] 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．
2．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )
A．3个都是正品 B．至少有一个是次品
C．3个都是次品 D．至少有一个是正品
[答案] D
[解析] A、B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件．
3．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0.
②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝logax是增函数．
③某人射击一次，命中靶心．
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为( )
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
[答案] D
[解析] ①是必然事件；②中a>1时，y＝logax单调递增，0
4．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近0.6
[答案] B
[解析] 抛掷一次即进行一次试验，抛掷10次，正面向上6次，即事件A的频数为6，∴A的频率为＝.∴选B.
5．下列说法中，不正确的是( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4
[答案] B
6．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
[答案] A
[解析] 取到号码为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11＝53(次)，所以取到号码为奇数的频率为＝0.53.
二、填空题
7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
[答案] 500
[解析] 设共进行了n次试验，
则＝0.02，解得n＝500.
8．一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．
[答案] 0.03
[解析] 在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为＝0.03，所以估计其破碎的概率约为0.03.
9．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的概率是________．
[答案] 0.9 0.3
[解析] 打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是＝0.3.
三、解答题
10．从含有两个正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有可能结果．
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A对应的结果．
[解析] (1)试验所有结果：a1，a2；a1，b1；a2，b1；a2，a1；b1，a1；b1，a2.共6种．
(2)事件A对应的结果为：a1，b1；a2，b1；b1，a1；b1，a2.
11．(2013·天津高考节选)某产品的三个质量指标分别为x、y、z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指数
(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指数
(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
[分析] 先计算10件产品的综合指标以及其中满足S≤4的产品个数，算出这次统计样本的一等品率，再估计该批产品的等品率．
[解析] 计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
12．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54)
2
合计
100
(1)请作出频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？
[解析] (1)频率分布表如下表.
分组
频数
频率
[1.30,1.34)
4
0.04
[1.34,1.38)
25
0.25
[1.38,1.42)
30
0.30
[1.42,1.46)
29
0.29
[1.46,1.50)
10
0.10
[1.50,1.54)
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示．
(2)纤度落在[1.38,1.50)中的频数是30＋29＋10＝69，
则纤度落在[1.38,1.50)中的频率是＝0.69，
所以估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率为0.69.
纤度小于1.40的频数是4＋25＋×30＝44，
则纤度小于1.40的频率是＝0.44，
所以估计纤度小于1.40的概率是0.44.
第三章 3.1 3.1.2
一、选择题
1．某学校有教职工400名，从中选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工当选的概率是，其中正确的是( )
A．10个教职工中，必有1人当选
B．每位教职工当选的可能性是
C．数学教研组共有50人，该组当选教工代表的人数一定是5
D．以上说法都不正确
[答案] B
2．下列命题中的真命题有( )
①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，因此，出现正面的概率是；
②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
③从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性相同；
④分别从2名男生，3名女生中各选一名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] A
[解析] 命题①中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是；命题②中摸到白球的概率要小于摸到红球与黑球的概率；命题③中取得小于0的概率大于取得不小于0的概率；命题④中男生被抽到的概率为，而每名女生被抽到的概率为.
3．从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是( )
A．抽出的6件产品必有5件正品，1件次品
B．抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品
C．抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品
D．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品
[答案] B
[解析] 从12个产品中抽到正品的概率为＝，抽到次品的概率为＝，所以抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品．
4．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是 ( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲胜，是黑色的则乙胜
D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
[答案] B
[解析] A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(一枚正面向上)＝，P(两枚都正面向上)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(不同奇偶)＝.
5．(2013～2014·安徽省合肥一中期末考试)每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次考试共有16道选择题．某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都选择第一个选项，则一定有4道题选择的结果正确．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定正确 D．无法解释
[答案] B
[解析] 本题主要考查概率的意义．把解答一道选择题看作一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验，其结果呈规律性，即选择正确的概率是.做16道选择题，即进行了16次试验，每次试验的结果都是随机的，不能促证每题的结果都选择正确，但有4道题选择的结果正确的可能性比较大，同时也有可能都选错，亦或有4道题，6道题，甚至16道题都选择正确，所以这句话是错误的，故选B.
6．(2013～2014·广州高一检测)某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都未治愈，则第5个病人的治愈率为( )
A．1 B．
C．0 D．
[答案] D
[解析] 因为第5个病人治愈与否，与其他四人无任何关系，故治愈率仍为.
二、填空题
7．(2013～2014·广西桂林一中周测)已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，其中的合格产品最可能有________件．
[答案] 9
[解析] 因为产品的合格率为90%，所以抽出10件产品时，合格产品最可能有10×90%＝9(件)．
8．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%
[答案] ②
[解析] 射中的概率是90%说明中靶的可能性大小，即中靶机会是90%，所以①不正确，②正确．
9．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则________．(填“公平”或“不公平”)
[答案] 不公平
[解析] 当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是2支，第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜．所以不公平．
三、解答题
10．解释下列概率的含义：
(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；
(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6；
(3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；
(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是.
[解析] (1)生产1 000件电子产品大约有997件是合格的．
(2)购买10次商品，每次购买额都满200元，抽奖中奖的可能性为0.6.
(3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.
(4)一个婴儿将是女孩的可能性是.
11．某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
[解析] 体育彩票中标有36个号码的36个球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．
12．(2013～2014·泰安高一检测)某高中学校共有学生2 000名，各年级男、女人数如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值．
(2)已知y≥245，z≥245，且在高三年级任意抽取一人，抽到男生的概率大于抽到女生的概率，试写出y，z所有取值．
[解析] (1)＝0.19，x＝380.
(2)高三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500.
设高三年级女生、男生数记为(y，z)，因为在高三年级任意抽取一人，抽到男生的概率大于抽到女生的概率，所以z＞y，又因为y＋z＝500，y≥245，z≥245且y，z∈N，所以(y，z)取值情况为：(249,251)，(248,252)，(247,253)，(246,254)，(245,255)．
第三章 3.1 3.1.3
一、选择题
1．(2013～2014·北京西城区期末检测)已知100件产品中有5件次品，从这100件产品任意取出3件，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．B与C互斥
B．A与C互斥
C．A、B、C任意两个事件均互斥
D．A、B、C任意两个事件均不互斥
[答案] B
[解析] 本题主要考查互斥事件的概念．由题意得事件A与事件B不可能同时发生，是互斥事件；事件A与事件C不可能同时发生，是互斥事件；当事件B发生时，事件C一定发生，所以事件B与事件C不是互斥事件，故选B.
2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于( )
A．0.3 B．0.2
C．0.1 D．不确定
[答案] D
[解析] 由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．
3．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( )
A．0.65 B．0.55
C．0.35 D．0.75
[答案] C
[解析] 设该地6月1日下雨为事件A，阴天为事件B，晴天为事件C，则事件A，B，C两两互斥，且A∪B与C是对立事件，则P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.20＝0.35.
4．抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，出现奇数点或2点的概率之和为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 记“出现奇数点或2点”为事件C，因为事件A与事件B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故选D.
5．在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的是( )
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1∪A2∪A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．事件A1，A2，A3的关系不确定
[答案] D
[解析] 比如在一个箱子中有白球，黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球(记为事件A1)的概率为0.2，取到黄球(记为事件A2)的概率为0.3，取到黄球或红球(记为事件A3)的概率为0.5，显然A1∪A2与A3即不是互斥事件，更不是对立事件，故A错误；A1∪A2∪A3是“取到黄球或红球”，不是必然事件，故B错误；P(A2∪A3)＝P(A3)＝0.5，故C错误．故选D.
6．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A． B．
C． D．1
[答案] C
[解析] 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任决心书取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
二、填空题
7．某人在打靶中连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．
[答案] 两次都不中靶
8．经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
t
0.3
0.16
0.3
0.1
0.04
(1)t＝________；
(2)至少3人排队等候的概率是________．
[解析] (1)∵t＋0.3＋0.16＋0.3＋0.1＋0.04＝1，∴t＝0.1.
(2)至少3人包括3人，4人，5人以及5人以上，且这三类是互斥的，∴概率为0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
[答案] (1)0.1 (2)0.44
9．甲射击一次，中靶概率是P1，乙射击一次，中靶概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．
[答案]
[解析] 由P1满足方程x2－x＋＝0知，P－P1＋＝0，解得P1＝；因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得P2＝，因此甲射击一次，不中靶概率为1－＝，乙射击一次，不中靶概率为1－＝.
三、解答题
10．某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购．记事件A为“只买甲产品”，事件B为“至少买一种产品”，事件C为“至多买一种产品”，事件D为“不买甲产品”，事件E为“一种产品也不买”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；
(2)B与E；
(3)B与D；
(4)B与C；
(5)C与E.
[分析] 利用互斥事件和对立事件的概念进行判断．
[解析] (1)由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件．
(4)若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件．
(5)若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足E?C，所以二者不是互斥事件．
11．(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值．
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
[解析] (1)由已知得，
25＋y＋10＝55，x＋y＝35，
所以x＝15，y＝20，
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1、A2、A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率，得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
P(A3)＝＝.
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
12．猎人在相距100 m处射击一野兔，命中的概率为，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150 m，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200 m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．
[解析] 设距离为d，命中的概率为P，
则有P＝，将d＝100，P＝代入，
得k＝Pd2＝5 000，所以P＝.
设第一、二、三次击中野兔分别为事件A1，A2，A3，则
P(A3)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.
所以P(A1＋A2＋A3)＝＋＋＝.
故射击不超过三次击中野兔的概率为.
第三章 3.2 3.2.1
一、选择题
1．下列试验中，是古典概型的为( )
A．种下一粒花生，观察它是否发芽
B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C．从1、2、3、4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率
[答案] C
[解析] 对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选C.
2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
[答案] C
[解析] 两个孩子有先后出生之分．
3．(2013·新课标全国Ⅰ)从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 从1、2、3、4中任取2个不同的数有以下六种情况：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3}、{2,4}，故所求概率是＝.
4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有：(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)，共10种等可能发生的结果，其中金克木、木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.
5．(2013·江西)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 从A，B中各任意取一个数记为(x，y)，则有(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)，共6个基本事件．而这两数之和为4的有(2,2)、(3,1)，共2个基本事件．又从A，B中各任意取一个数的可能性相同，故所求的概率为＝.
6．(2013～2014·东北四校联考)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m、n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 由题意知(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)．共36种情况．而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为＝，故选D.
二、填空题
7．袋子中有大小相同的四个小球，分别涂以红、白、黑、黄颜色．
(1)从中任取1球，取出白球的概率为________．
(2)从中任取2球，取出的是红球、白球的概率为________．
[答案] (1) (2)
[解析] (1)任取一球有4种等可能结果，而取出的是白球只有一个结果，
∴P＝.
(2)取出2球有6种等可能结果，而取出的是红球、白球的结果只有一种，∴概率P＝.
8．小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2015年暑假期间的旅游目的地，则济南被选入的概率是________．
[答案]
[解析] 事件“济南被选入”的对立事件是“济南没有被选入”．某城市没有入选的可能的结果有四个，故“济南没有被选入”的概率为，所以其对立事件“济南被选入”的概率为P＝1－＝.
9．(2012·浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．
[答案]
[解析] 若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，设中心为G，四个顶点为A，B，C，D，基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，G)，(B，C)，…，(D，G)，共10个，所求事件包含的基本事件有：(A，G)，(B，G)，(C，G)，(D，G)，共4个，所求概率为＝.
三、解答题
10．随意安排甲、乙、丙3人在3天假期中值班，每人值班1天，则：
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？
(2)这3人的值班顺序中，甲在乙之前的排法有多少种？
(3)甲排在乙之前的概率是多少？
[解析] (1)3个人值班的顺序所有可能的情况如下图所示．
甲乙丙丙乙 乙甲丙丙甲 丙甲乙乙甲
由图知，所有不同的排列顺序共有6种．
(2)由图知，甲排在乙之前的排法有3种．
(3)记“甲排在乙之前”为事件A，则P(A)＝＝.
11．(2012·山东高考卷)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3；蓝色卡片两张，标号分别为1、2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
[解析](1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：(红1红2)，(红1红3)，(红1蓝1)，(红1蓝2)，(红2红3)，(红2蓝1)，(红2蓝2)，(红3蓝1)，(红3蓝2)，(蓝1蓝2)．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P＝.
(2)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：(红1绿0)，(红2绿0)，(红3绿0)，(蓝1绿0)，(蓝2绿0)，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P＝.
12．(2013～2014·龙岩高一检测)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y，
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率．
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
[解析] (1)因x，y都可取1,2,3,4,5,6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．
记点(x，y)落在直线x＋y＝7上为事件A，事件A包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6个，所以事件A的概率P(A)＝＝.
(2)记x＋y≥10为事件B，x＋y≤4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值．则事件B包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6个数对；
事件C包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个数对．
由(1)知基本事件总数为36个，所以P(B)＝＝，P(C)＝＝，
所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的．
第三章 3.2 3.2.2
一、选择题
1．关于随机数的说法正确的是( )
A．随机数就是随便取的一些数字
B．随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数
C．用计算器或计算机产生的随机数为伪随机数
D．不能用伪随机数估计概率
[答案] C
2．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，下列步骤中不正确的是 ( )
A．用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点
B．我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0
C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变
D．程序结束．出现2点的频率作为概率的近似值
[答案] A
3．袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外小球完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色．用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0,1,2,3代表黑球.4,5,6,7,8,9代表白球．在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为( )
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨机会为
C．淋雨机会为 D．淋雨机会为
[答案] D
[解析] 用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝.
5．袋子中有四个小球，分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“飞”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13、43、32、13、13共5个基本事件，故所求的概率为P＝＝.
6．袋中有4个小球，除颜色外完全相同，其中有2个黄球，2个绿球．从中任取两球。取出的球为一黄一绿的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 取球结果共有：黄黄，黄绿，绿黄，绿绿四种，所以一黄一绿有两种，故所求概率为.
二、填空题
7．利用骰子等随机装置产生的随机数________伪随机数，利用计算机产生的随机数________伪随机数(填“是”或“不是”)．
[答案] 不是 是
8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
[答案] 0.2
[解析] 由5根竹竿一次随机抽取2根竹竿的种数为4＋3＋2＋1＝10，它们的长度恰好相差0.3 m的是2.5和2.8、2.6和2.9两种，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为P＝＝0.2.
9．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是________．
[答案]
[解析] [a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.
三、解答题
10．掷三枚骰子，利用Excel软件进行随机模拟，试验20次，计算出现点数之和是9的概率．
[解析] 操作步骤：
(1)打开Excel软件，在表格中选择一格比如A1，在菜单下的“＝”后键入“＝RANDBETWEEN(1,6)”，按Enter键， 则在此格中的数是随机产生的1～6中的数．
(2)选定A1这个格，按Ctrl＋C快捷键，然后选定要随机产生1～6的格，如A1至T3，按Ctrl＋V快捷键，则在A1至T3的数均为随机产生的1～6的数．
(3)对产生随机数的各列求和，填入A4至T4中．
(4)统计和为9的个数S；最后，计算频率S/20.
11．同时抛掷两枚均匀的正方体骰子，用随机模拟方法计算上面都是1点的概率．
[分析] 抛掷两枚均匀的正方体骰子相当于产生两个1到6的随机数，因而我们可以产生整数随机数．然后以两个一组分组，每组第1个数表示第一枚骰子的点数，第2个数表示第二枚骰子的点数.
[解析] 步骤：
(1)利用计算器或计算机产生1到6的整数随机数，然后以两个一组分组，每组第1个数表示第一枚骰子向上的点数．第2个数表示另一枚骰子向上的点数．两个随机数作为一组共组成n组数；
(2)统计这n组数中两个整数随机数字都是1的组数m；
(3)则抛掷两枚骰子上面都是1点的概率估计为.
12．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．
[解析] 利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表)．
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367.
第三章 3.3 3.3.1
一、选择题
1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是( )
[答案] A
[解析] P(A)＝，
P(B)＝＝，
P(C)＝＝1－，
P(D)＝.
则P(A)最大，故选A.
2．如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 设事件A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)＝＝，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1－ABC内的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 体积型几何概型问题．
P＝＝.
4．如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] S矩形＝ab.
S梯形＝b＝ab.
故所投的点落在梯形内部的概率为
P＝＝＝.
5．(2013～2014·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 设在[0,1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0,1]内，则有0≤a2＋b2≤1.
如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0,1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.
6．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为( )
A．16 m B．20 m
C．8 m D．10 m
[答案] B
[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为500×＝20(m)．
二、填空题
7．(2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为________．
[答案]
[分析] 解不等式，求出a的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可．
[解析] 由题意，得0＜a＜，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a－1＜0”发生的概率为.
8．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．
[答案]
[解析] 如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则P(A)＝＝＝.
9．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．
在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为________．
[答案]
[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝πR3＝，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，
∴所求概率P＝＝.
三、解答题
10．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝；
(2)P＝＝＝；
(3)P＝＝
＝＝.
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为其内一点；
②求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．
[解析] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，设M－ABCD的高为h，
则×S四边形ABCD×h<，
又S四边形ABCD＝1，
则h<，即点M在正方体的下半部分．故所求概率P＝＝.
12．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？
[解析] (1)设事件A＝“弦长超过”，弦长只与它跟圆心的距离有关，
∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝.
(2)设事件B＝“弦长超过”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为的同心圆内时，才能满足
条件，由几何概率公式知P(B)＝.
(3)设事件C＝“弦长超过”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有|AD|>|AB|＝，由几何概率公式知P(C)＝.
第三章 3.3 3.3.2
一、选择题
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( )
A．m>n B．mC．m＝n D．m是n的近似值
[答案] D
2．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( )
A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题
B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积
C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积
D．最适合估计古典概型的概率
[答案] C
[解析] 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
3．在线段AB上任取三个点x1、x2、x3，则x2位于x1与x3之间的概率是( )
A． B．
C． D．1
[答案] B
[解析] 因为x1，x2，x3是线段AB上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是.
4．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是( )
A．0 B．2
C．4 D．5
[答案] C
[解析] 当x＝时，y＝2×＋3＝4.
5．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为( )
A．y＝－4x，y＝5－4 B．y＝4x－4，y＝4x＋3
C．y＝4x，y＝5x－4 D．y＝4x，y＝4x＋3
[答案] C
6．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，
记事件A＝{投中大圆内}，
事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，
事件C＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4则概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
[答案] A
[解析] P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.
二、填空题
7.利用计算机随机模拟方法计算图中阴影部分(如图所示)．第一步：利用计算机产生两个0～1之间的均匀随机数，x，y，其中－1＜x＜1,0＜y＜1；
第二步：拟(x，y)为点的坐标．共做此试验N次．若落在阴影部分的点的个数为N1，
则可以计算阴影部分的面积S.
例如，做了2 000次试验，即N＝2 000，
模拟得到N1＝1 396，
所以S＝________.
[答案] 1.396
[解析] 根据题意：点落在阴影部分的概率是，
矩形的面积为2，阴影部分的面积为S，
则有＝，所以S＝1.396.
8．图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1 m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
50次
150次
300次
石子落在⊙O内(含⊙O上)的次数m
14
43
93
石子落在阴影内次数n
29
85
186
则估计封闭图形ABC的面积为________m2.
[答案] 3π
[解析] 由记录≈1∶2，
可见P(落在⊙O内)＝＝，
又P(落在⊙O内)＝，
所以＝，SABC＝3π( m2)
9．利用随机模拟方法计算y＝x2与y＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND，然后进行平移与伸缩变换a＝a1·4－2，b＝b1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a1＝0.3，b1＝0.8及a1＝0.4，b1＝0.3，那么本次模拟得出的面积约为________．
[答案] 10.72
[解析] 由a1＝0.3，b1＝0.8得：
a＝－0.8，b＝3.2，(－0.8,3.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内，
由a1＝0.4，b1＝0.3得：a＝－0.4，b＝1.2，(－0.4,1.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内，
所以本次模拟得出的面积约为16×＝10.72.
三、解答题
10．在长为14 cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间的概率．
[分析] 圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．
[解析] 设事件A表示“圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
11．利用随机模拟方法主算如图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积．
[解析] (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)×2，b＝b1×2，得到一组[－1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝，＝，所以S≈，即为阴影部分的面积值．
12．在如图的正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，求这次模拟中π的估计值．(精确到0.001)
[解析] 假设正方形的边长是2，则正方形的面积是4，圆的半径是1，则圆的面积是π，
根据几何概型的概率公式得到≈.所以π≈3.104.
