本册综合素能检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则循环结构的终止条件为( )
A．|x1－x2|＞ε B．|x1－x2|＜ε
C．x1＜ε＜x2 D．x2＜ε＜x1
[答案] B
[解析] 本题考查二分法的实际应用．结合二分法关于精确度的要求可知，当精确度为ε时，只要|x1－x2|＜ε时，循环终止，故选B.
2．一个年级有20个班，每班都是50人，每个班的学生的学号都是1～50.学校为了了解这个年级的作业量，把每个班中学号为5,15,25,35,45的学生的作业留下，这里运用的是( )
A．系统抽样 B．分层抽样
C．简单随机抽样 D．随机数表法抽样
[答案] A
[解析] 本题考查抽样方法的应用．根据系统抽样的概念，可以得到答案，故选A.
3．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色’’与“乙分得红色”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
[答案] C
[解析] 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
4．(2014·北京)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．1 B．3
C．7 D．15
[答案] C
[解析] S＝0＋20＋21＋22＝7，故选C.
5．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15,20]内的频数为( )
A．20 B．30
C．40 D．50
[答案] B
[解析] 样本落在[15,20]内的频率是1－5×(0.04＋0.1)＝0.3，则样本落在[15,20]内的频数为0.3×100＝30.
6．(2014·浙江)在3张奖卷中有一、二等奖各1张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 设三张卷分别用A，B，C代替，A一等奖；B二等奖；C无奖，甲、乙各抽一张共包括(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)6种基本事件，其中甲、乙都中奖包括两种，P＝＝，故选B.
7.某中学高三年级从甲、乙两个班级中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
[答案] B
[解析] ∵85×7＝2×70＋3×80＋2×90＋30＋x，∴x＝5.又∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y＝3，∴x＋y＝5＋3＝8，故选B.
8．计算机常用的十六进制是适十六进一，采用数字0～9和字母A～F共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
十六
进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如：用十六进制表示E＋D＝1B，则A×B＝( )
A．6E B．72
C．5F D．5B
[答案] A
[解析] 本题考查进位制间的相互转化．用十进制表示A×B＝10×11＝110，而110＝6×16＋14＝6E(16)，故选A.
9．如果数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2的平均数和方差分别为( )
A．，s2 B．5＋2，s2
C．5＋2,25s2 D．，25s2
[答案] C
[解析] 本题考查平均数与方差的计算公式．由平均数与方差的计算公式分析可得5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2的平均数为5＋2，方差为25s2，故选C.
10.扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C、D、E将弧AB等分成四份．连接OC、OD、OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[命题立意] 本题考查扇形面积公式及古典概型概率求解，难度中等．
[解析] 据题意若扇形面积为，据扇形面积公式＝×α×1?α＝，即只需扇形中心角为即可，列举可得这种情况共有3种，而整个基本事件个数共有10种，故其概率为.
11．(2013～2014·石家庄模拟)从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高 x(cm)
160
165
170
175
180
体重y(kg)
63
66
70
72
74
根据上表可得回归直线方程＝0.56x＋，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为( )
A．70.09 B．70.12
C．70.55 D．71.05
[答案] B
[解析] 由表中数据得＝＝170，＝＝69.
将(，)代入＝0.56x＋，∴69＝0.56×170＋，∴＝－26.2，∴＝0.56x－26.2.
∴当x＝172时，y＝70.12，故选B.
12．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A．90 B．75
C．60 D．45
[答案] A
[解析] 设样本容量是n，产品净重小于100克的概率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则＝0.300，所以n＝120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.
所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．102,238的最大公约数是________．
[答案] 34
[解析] 利用辗转相除法或更相减损术可得最大公约数是34.
14．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0 001,0 002，…，1 000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0 015，则第40个号码为________．
[答案] 0 795
[解析] 本题考查系统抽样方法的应用．根据系统抽样方法的定义，得第40个号码对应15＋39×20＝795，即得40个号码为0 795.
15.如图所示，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率是________．
[答案]
[解析] 由题设可知，该事件符合几何概型．正方形的面积为()2＝，半圆的面积为×π＝，故点落在正方形内的概率是＝.
16．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________.
[答案] i≤6？(i<7？) a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6
[解析] 由题意可知，程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知，判断框应填i≤6？，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，故输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2014·山东)海关对同时从A、B、C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A、B、C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解析] (1)因为工作人员是按分层抽样抽取样品，所以各地区抽取样品的比例为：A∶B∶C＝50∶150∶100＝1∶3∶2
各地区抽取的商品数分别别为A：6×＝1；B：6×＝3；C：6×＝2.
(2)设各地商品分别为A、B1、B2、B3、C1、C2
所以所含基本事件共有(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1B2)，(B1B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)15种不同情况，样本事件包括(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)4种情况．
所以，这两件商品来自同一地区的概率为P＝.
18．(本小题满分12分)高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．
[解析] (1)因为分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.008×10＝0.08，所以高一(1)班参加校生物竞赛的人数为＝25.
分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率为＝0.16，
所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为＝0.016.
(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A，将[80,90)之间的4人编号为1、2、3、4，[90,100]之间的2人编号为5、6.
在[80,100]之间任取2人的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．其中，至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个，
根据古典概型概率的计算公式，得P(A)＝＝.
[易错点拨] 在茎叶图的基础上，计算频率分布直方图中某个小矩形的高是较新颖的命题方式，计算时，要注意理解小矩形的高的意义．对于古典概型的概率的求解很重要的一步是列举基本事件，此时，要注意避免重复与迹漏．
19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区栽家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
[解析] (1)由题意知n＝10，＝i＝×80＝8，
＝i＝×20＝2.
又Ixx＝－n2＝720－10×82＝80，
Ixy＝iyi－n＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝＝0.3，
＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由(1)中所法语的线性回归方程知，变量y的值随x值的增加而增加(＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄约为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
[易错点拨] 由回归方程分析得出的数据只是预测值而不是精确值．此类问题的易错点是方程中b的计算，代入公式计算时要细心．在高考中，此题用到的公式会在试卷的首页中给出，不需要特别记忆，但作为常考的知识点，我们还是要对公式十分熟悉．另外防止出错的关键还是“熟能生巧”．
20．(本小题满分12分)(2014·福建)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP(单位：美元)
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000
(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
[解析] (1)设城市人口总数为a，该城市人均GDP为：
＝6400
因为6400∈[4085,12616)所以该城市人均GDP达到了中等偏上国家标准．
(2)从“5个行政区中随机抽取2个”所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10种情况，其中2个行政区都达到中等以上国家标准的有{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3种情况因此P＝.
21．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
[分析] (1)茎叶图中的数据越集中在上部，则说明该班的平均身高较高；(2)先求出平均数，再代入方差公式即可；(3)写出所有基本事件，再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型计算概率．
[解析] (1)由题中茎叶图可知：甲班身高集中于160～179 cm之间，而乙班身高集中于170～180 cm之间，因此乙班平均身高高于甲班．
(2)甲班的平均身高为
＝(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，
甲班的样本方差为
s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.
(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有
(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，
而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，
故P(A)＝＝.
22．(本小题满分12分)近年为，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余增圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率P；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a、b、c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a、b、c的方差s2最大时，写出a、b、c的值(结论不要求证明)，并求出此时s2的值．
[解析] (1)厨余垃圾投放正确的概率为
P＝＝＝.
(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A，则事件表示“生活垃圾投放正确”．事件的概率为“厨余垃圾”箱里厨余增圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()＝＝，
所以P(A)＝1－P()＝1－＝.
(3)当a＝600，b＝0，c＝0时，方差s2取得最大值．
因为＝(a＋b＋c)＝200，
所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.
[名题点睛] 本题结合一个特殊设计的表格给出各类数据，显然，可用的与不可用的数据均在表中，合理应用表中的数据是求解本题的关键．在求解事件的概率时，可考虑利用对立事件求解题．在限定条件下，可根据条件及方差公式判断何时“方差最大”，抓住这一关键性的条件，结合就容易产生．
课件30张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修3 算法初步第一章章末总结第一章
[答案]①通常是指按照一定的规则解决某一类问题的明确和有限的步骤 ②有限性、确定性、可行性、有序性、普遍性、不唯一性 ③顺序结构 ④条件结构 ⑤循环结构 ⑥直到型循环结构 ⑦当型循环结构 ⑧INPUT“提示内容”；变量 ⑨PRINT“提示内容”；表达式 ⑩变量＝表达式 专题1 算法设计
算法与一般意义上具体问题的解法既有区别又有联系．它们之间是一般与特殊的关系．算法是对一类问题的一般解法的抽象和概括．算法设计应注意以下步骤：
(1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼算法；
(2)将问题的步骤划分为若干个可执行的步骤；
(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达；
(4)用最简炼的语言将各个步骤表达出来；
(5)算法步骤有些可以重复多次，但最终都必须在有限个步骤内完成．[例1] 已知平面直角坐标系中的两点A(－1,0)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．
专题2 程序框图的应用
程序框图是用规定的图形和流程线来准确、直观、形象地表示算法的图形．画程序框图之前应先对问题设计出合理有效的算法．然后分析算法的逻辑结构，画出相应的程序框图，算法的逻辑结构有三种：顺序结构、条件结构和循环结构．
①条件结构是一种重要的选择结构．比如比较两个数的大小、对一组数进行排序筛选等问题都要用到条件结构．②在利用循环结构画程序框图前，常确定三件事：一是确定循环变量的初始条件；二是确定算法中反复执行的部分，即循环体；三是循环终止的条件．[例2] 设计一个计算10＋11＋12＋…＋200的值的算法．并画出程序框图．
[解析] 算法如下：
第一步，使i＝10.
第二步，使p＝0.
第三步，使p＝p＋i.
第四步，使i＝i＋1.
第五步，若i≤200.则返回第三步；否则，输出p，算法结束．
程序框图如图．专题3 程序的编写
算法设计和程序框图是设计程序的基础．编写程序的基本方法是“自上而下逐步求精”，步骤如下：
(1)把一个复杂的大问题分解成若干相对独立的小问题．若小问题仍较复杂，则可以把小问题分解成若干个子问题．这样不断地分解．使小问题或子问题简单到能直接用程序的三种基本结构甚至是五种基本语句表达清楚为止．(2)对应每一个小问题或子问题编写出一个功能上相对独立的程序块来．(3)把每一个模块统一组装，完成程序．
[例3] 某高中男子体育小组的50 m赛跑成绩(单位：s)如下：
6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5,7.6,6.3，6.4，6.4,6.5,6.7, 7.1, 6.9,6.4,7.1,7.0设计一个程序从这些成绩中搜索出小于6.8 s的成绩．并画出程序框图．程序框图如下图．
思想1 分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，需对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得结论，这就是分类讨论思想．在具体问题的算法设计中，往往需要根据条件进行逻辑判断，并进行不同的处理(如条件结构和循环结构)，这实际上运用了分类讨论的数学思想方法．[解析] 算法的程序框图如下图所示． 规律总结：在求分段函数的函数值时，由于自变量x的取值不同，其函数值的求法也不同，应先对x的值进行判断，然后根据x的取值选择不同的计算方法，故采用条件语句进行算法设计．注意IF和ENDIF要一一对应．
思想2 方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程(或方程组)，通过解方程(或方程组)或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想在算法中有着广泛的应用，特别是求不定方程的整数解，其常规解法就是试值，但如果解的范围比较大，试值的次数就比较多，工作量较大，我们就可以通过循环语句让计算机重复执行，代替人工单一重复的计算．
程序如下：
m＝2
WHILE m MOD 3<>2 OR m MOD 5<>3 OR m MOD 7<>2
m＝m＋1
WEND
PRINT “m＝”；m
END 规律总结：(1)当待解决的问题需要重复相同的步骤时，要实现算法必须通过循环结构，程序的书写也必须用循环语句来描述．本例程序框图中，m的值从2开始循环，直到有满足条件的m出现为止．
(2)注意程序语言的正确书写：
在编程时，“≠”应写作“＜＞”；“OR”表示“或者”；“AND”表示“并且”． 课件50张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修3 统计第二章章末总结第二章
专题1 三种抽样方法的比较
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较如下表：
研究统计问题的基本思想方法就是从总体中抽取样本，用样本估计总体，因此选择适当的抽样方法抽取具有代表性的样本对整个统计问题起着至关重要的作用．高考中主要考查三种抽样方法的比较和辨析以及应用．[例1] 某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人．现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,154；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A．②③都不能为系统抽样
B．②④都不能为分层抽样
C．①④都可能为系统抽样
D．①③都可能为分层抽样
[解析] 分层抽样时，在各层所抽取的样本个数与该层个体数的比值等于抽样比；系统抽样抽取的号码从小到大排列后，每一个号码与前一个号码的差都等于分段间隔．
[答案] D
专题2 用样本的频率分布估计总体分布
总体分布反映了总体在各个范围内取值的可能性的大小．在实际问题中，总体分布可以为合理的决策提供依据，因此问题的解答就转化为求总体的分布问题，其解决的途径是通过样本来估计总体．
[例2] 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)：
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比．[分析]
[解析] (1)列出样本的频率分布表如下：(2)画出频率分布直方图，如下图所示．
专题3 用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征可分为两大类，一类是反映样本数据的集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数，另一类是反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差．通常，我们用样本的数字特征估计总体的数字特征．有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点．
[例3] 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示．
[点拨] 由上图可知甲、乙射靶10次命中的环数，根据中位数、平均数、方差的定义及计算公式可分别求得甲、乙两人的中位数、平均数及方差，通过比较它们的大小，可以分析出甲、乙两人成绩的稳定程度(偏离程度)、成绩的好坏及有无潜力等问题．
(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．
②甲、乙平均水平相同，而乙的中位数比甲大，可见乙射靶环数的优秀次数比甲多．
③甲、乙平均水平相同，而乙命中9环以上(包括9环)的次数比甲多2次，可见乙的射靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，有潜力可挖．
[解题策略] (1)本例由图转化成数，由数填表，由表读数，体现了转化与化归思想．
(2)由图知甲、乙射靶10次命中的环数，根据中位数、平均数、方差的定义及计算公式可分别求得甲、乙两人的中位数、平均数及方差，从而可以通过比较它们的大小来分析成绩的好坏、稳定程度及有无潜力等问题．
专题4 回归直线与回归方程
除了函数关系这种确定性的关系外，还有大量因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系．分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据的散点图给出判断．若是线性相关，还可以利用最小二乘法求出回归方程．[答案] C
(1)求出由于机器速度的影响，每小时生产有缺点物件数的回归直线方程．
(2)若实际生产中允许每小时最多生产有缺点物件数为10，那么机器的速度不得超过多少转每秒？专题5 思想方法总结
思想1 数形结合思想 (1)频率分布表中的①和②位置应填什么数据？
(2)补全频率分布直方图(如下图)，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数．
思想2 转化与化归思想
转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．转化与化归思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．统计中充分体现了转化与化归的思想方法，如部分与整体的转化、数与图的转化、随机性问题与确定性问题的转化等．[解析] 解法一：先求样本容量x，再分别计算A2，A3，…，A6.在频率分布直方图中，小长方形的高是频率/组距，所以
A1＝4 000＝0.000 8×500x，解得x＝10 000.
从而，A2＝0.000 4×500×10 000＝2 000，
A3＝0.000 3×500×10 000＝1 500，
A4＝0.000 25×500×10 000＝1 250，
A5＝0.000 15×500×10 000＝750，
A6＝0.000 1×500×10 000＝500，
所以图乙输出的S＝A2＋A3＋…＋A6＝6 000.
解法二：先求样本容量x，再计算A2＋A3＋…＋A6.
在频率分布直方图中，小长方形的高是频率/组距，所以A1＝4 000＝0.000 8×500x，解得x＝10 000.
所以，图乙输出的S＝A2＋A3＋…＋A6＝10 000－A1＝10 000－4 000＝6 000.
[答案] 6 000 规律总结：本例由程序框图转化到频率分布直方图，由图读数，体现了转化与化归思想．课件54张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修3 概率第三章章末总结第三章
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
[分析] 弄清频率与概率的含义及它们之间的关系是解题的关键.
[解析] (1)由题意，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．
(4)不一定. 规律总结：概率是一个理论值，频率是概率的近似值，当做大量的重复试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值．
[例2] 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
[分析] 用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．
[解析] 把3个选择题记为x1、x2、x3,2个判断题记为p1、p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x2，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种． 规律总结：本题利用分类讨论思想，把甲、乙抽题情况先分为四类，即“甲抽到选择题，乙抽到判断题”、“甲抽到判断题，乙抽到选择题”、“甲、乙都抽到选择题”和“甲、乙都抽到判断题”这四个互斥事件，而在每个互斥事件中，又按抽某个具体题目分类，从而写出了所有可能的基本事件．第(2)问利用对立事件求解更为方便． [例3] 有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．
(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A，B，C，D表示)；
(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．[分析] 本题旨在考查对古典概型的理解及运用．
[解析] (1)树状图如图所示．
列表如下：[例4] 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高：(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
[分析] 由茎叶图中数据的分布情况判断哪个班的平均身高较高；写出基本事件，利用古典概型的概率公式求概率．
几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三种类型分别为长度型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型解题．
当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是等可能的，我们把这样的试验称为几何概型．由于试验的结果不能一一列举出来，所以在计算概率时可利用试验的全部结果构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度量的比值来计算．常用的几何度量有长度，面积，体积和角度等，解题时要适当选择．[解析] 如图所示，作AD⊥BC于D，PE⊥BC于E.
专题5 概率与统计的综合问题
概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属于中档以下难度．(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．
专题6 思路方法总结
思想1 转化与化归思想
转化与化归思想，简单地说就是将复杂的问题转化成简单的问题，将未解决的问题转化成已解决的问题．本章中，有两个主要应用这种思想的解题方法：一是将所求事件的概率转化成所求事件的对立事件的概率；二是在几何概型中，将求概率的问题转化成求长度(面积或体积)比值的问题．[答案] A 规律总结：本题将求有关方程的根的概率问题转化为面积型几何概型问题，求解的关键是由一元二次方程根与系数的关系求得所求事件对应的区域面积．先构设变量(a，b)，用(a，b)表示每次试验的结果，再用相应的区域表示出试验的全部结果和所求事件包含的结果，然后球出各区域的面积，代入几何概型的概率公式计算. 思想2 数形结合思想
数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明事件之间的联系．本章常用的数形结合思想实例如下．
1．树形图(列举基本事件)
举例：一个袋中有2个红球，1个白球，试写出不放回地先后抽取2个球的所有结果．结合下图求解．2．Venn图(理解古典概型)
举例：某班42人共订阅了3种学习刊物A，B，C订A的有23人，订B的有16人，订C的有24人，3种全部订阅的有6人．在该班中任选一人，求其至少订阅2种学习刊物的概率．结合右图求解．
5．三维图形(求体积型几何概型的概率)
举例：在区间(0,1)内，任取三个数，求以这三个数为边长可构成三角形的概率．结合图2求解． 规律总结：几何概型的求解，关键是找到全体基本事件的区域度量及某事件的基本事件的区域度量．做题时，可以先据题意作出图形后再确定区域的度量． 第一章综合素能检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构和循环结构．下列说法中，正确的是( )
A．一个算法只能含有一种逻辑结果
B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构
D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合
[答案] D
2．下列赋值语句错误的是( )
A．i＝i－1 B．m＝m2＋1
C．k＝ D．x*y＝a
[答案] D
[解析] 执行i＝i－1后，i的值比原来小1，则A正确；执行m＝m2＋1后，m的值等于原来m的平方再加1，则B正确；执行k＝后，k的值是原来的负倒数，则C正确；赋值号的左边只能是一个变量，则D错误．
3．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )
A．1,3 B．4,1
C．0,0 D．6,0
[答案] B
[解析] 把1赋给变量a，把3赋给变量b，由语句“a＝a＋b”得a＝4，即把4赋给定量a，由语句“b＝a－b”得b＝1，即把1赋给变量b，输出a，b，即输出4,1.
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值时，需要________次乘法运算和________次加法(或减法)运算．( )
A．4,2 B．5,3
C．5,2 D．6,2
[答案] C
[解析] f(x)＝4x5－x2＋2＝(((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要5次乘法程算和2次加法(或减法)运算．
5．利用秦九韶算法计算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝5时的值为( )
A．4881 B．220
C．975 D．4818
[答案] A
[解析] 依据秦九韶算法，把多项式改写为f(x)＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6.按照从内到外的顺序，依次计算x＝5时的值：
v0＝1；
v1＝1×5＋2＝7；
v2＝7×5＋3＝38；
v3＝38×5＋4＝194；
v4＝194×5＋5＝975；
v5＝975×5＋6＝4881.
故f(5)＝4881.
6．(2014全国高考重庆卷)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是( )
A．s＞ B．s＞
C．s＞ D．s＞
[答案] C
[解析] ∵s＝1···＝，∴选C.
7．执行下图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 输入a＝1，b＝2，k＝3，n＝1时，M＝1＋＝，a＝2，b＝；n＝2时；M＝2＋＝，a＝，b＝；n＝3时；M＝＋＝，a＝，b＝；n＝4时；输出M＝，选D.
8．下列各进位制数中，最大的数是( )
A．11111(2) B．1221(3)
C．312(4) D．56(8)
[答案] C
[解析] 11111(2)＝1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1＝31,1221(3)＝1×33＋2×32＋2×3＋1＝52,312(4)＝3×42＋1×4＋2＝54,56(8)＝5×8＋6＝46，故选C.
9．(2013～2014·山东淄博一模)某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f(x)＝x2，f(x)＝，f(x)＝ex，f(x)＝x3，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝ex D．f(x)＝x3
[答案] D
[解析] 由程序框图知，输出的函数应该即是奇函数，又存在零点．故选D.
10．(2013·全国卷Ⅰ)运行如下程序框图，如果输入t∈[－1,3]，则输出S属于( )
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
[答案] A
[解析] 有题意知，当t∈[－1,1)时，S＝3t∈[－3,3)，当t∈[1,3]时，s＝4t－t2∈[3,4]，故输出S∈[－3,4]，选A.
11．(2013·福建)阅读图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是( )
A．计算数列{2n－1}的前10项和 B．计算数列{2n－1}的前9项和
C．计算数列{2n－1}的前10项和 D．计算数列{2n－1}的前9项和
[答案] A
[解析] 由程序框图可知，输出S＝1＋2＋22＋…＋29，所以该算法的功能是计算数列{2n－1}的前10项和．
12．(2013·江西)阅读图所示的程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )
A．S＝2*i－2 B．S＝2*i－1
C．S＝2*i D．S＝2*i＋4
[答案] C
[解析] 题中框图依次执行如下循环：
第一次：i＝1，S＝0，i＝1＋1＝2，i是奇数不成立，S＝2*2＋1＝5，继续循环；
第二次：i＝2＋1＝3，i是奇数成立，继续循环；
第三次：i＝3＋1＝4，i是奇数不成立，S＝2*4＋1＝9，继续循环；
第四次：i＝4＋1＝5，i是奇数成立，由题意知此时应跳出循环，输出i＝5，即S＜10不成立．
故应填S＝2*i(此时S＝10＜10不成立)．若填S＝2*i＋4，则在第二次循环中就跳出循环．故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．217与155的最大公约数是________．
[答案] 31
[解析] 217＝155×1＋62,155＝62×2＋31,62＝31×2，所以217与155的最大公约数为31.
14．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值时，v4的值为________．
[答案] 80
[解析] v0＝1，v1＝v0x＋a5＝1×2－12＝－10，v2＝v1x＋a4＝－10×2＋60＝40，v3＝v2x＋a3＝40×2－160＝－80，v4＝v3x＋a2＝－80×2＋240＝80.
15．已知程序如下：
若输入x的值为85，则通过以上程序运行后，输出的结果是________．
[答案] 13
[解析] 由程序可知，
m＝8，n＝5，
所以x＝8＋5＝13.
16．(2014·全国高考湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．
[答案] 1067
[解析] S＝0＋(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(29＋9)＝(21＋22＋…＋29)＋(1＋2＋3＋…＋9)＝＋＝1067.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知一个正三角形的周长为a，求这个正三角形的面积，设计一个算法解决这个问题．
[解析] 算法步骤如下：
第一步，输入a的值．
第二步，计算l＝的值．
第三步，计算S＝l2的值．
第四步，输出S的值．
18．(本小题满分12分)(1)用辗转相除法求567与405的最大公约数．
(2)用更相减损术求2 004与4 509的最大公约数．
[解析] (1)∵567＝405×1＋162,405＝162×2＋81,162＝81×2.∴567与405的最大公约数为81.
(2)∵4 509－2 004＝2 505,2 505－2 004＝501,2 004－501＝1 503,1 503－501＝1 002,1 002－501＝501.
∴2 004与4 509的最大公约数为501.
19．(本小题满分12分)求函数y＝的值的程序框图如图所示．
(1)指出程序框图中的错误，并写出算法；
(2)重新绘制解决该问题的程序框图，并回答下面提出的问题．
①要使输出的值为正数，输入的x的值应满足什么条件？
②要使输出的值为8，输入的x值应是多少？
③要使输出的y值最小，输入的x值应是多少？
[解析] (1)题中程序框图上的一段流程线缺少表达程序执行顺序的箭头；再者由于是求分段函数的函数值，输出的函数值的计算方法取决于输入的x值所在的范围，所以必须引入判断框，应用条件结构．正确的算法步骤如下：
第一步，输入x.
第二步，如果x＜2，那么y＝－2；否则，y＝x2－2x.
第三步，输出y.
(2)根据以上算法步骤，可以画出如图所示的程序框图．
①要使输出的值为正数，则x2－2x＞0，∴x＞2或x＜0(舍去)．故当输入的x＞2时，输出的函数值为正数．②要使输出的值为8，则x2－2x＝8，∴x＝4或x＝－2(舍去)．故输入x的值应为4.③当x≥2时，y＝x2－2x≥0，当x＜2时，y＝－2，又－2＜0，故要使输出的y值最小，只要输入的x满足x＜2即可．
20．(本小题满分12分)利用秦九韶算法判断方程x5＋x3＋x2－1＝0在[0,2]上是否存在实根．
[解析] 利用秦九韶算法求出当x＝0及x＝2时，f(x)＝x5＋x3＋x2－1的值，f(x)＝x5＋x3＋x2－1可改写成如下形式：f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋0)x－1.
当x＝0时，v0＝1，v1＝0，v2＝1，v3＝1，v4＝0，v5＝－1，即f(0)＝－1.
当x＝2时，v0＝1，v1＝2，v2＝5，v3＝11，v4＝22，v5＝43，即f(2)＝43.
由f(0)f(2)<0知f(x)在[0,2]上存在零点，即方程x5＋x3＋x2－1＝0在[0,2]上存在实根．
21．(本小题满分12分)如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并画出程序框图．
[解析] 由题意可得y＝
程序框图如图：
22．(本小题满分12分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，…
(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值．
(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少？
(3)写出程序框图的程序语句．
[解析] (1)由程序框图知：当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝－2；当x＝9时，y＝－4，所以t＝－4.
(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2011时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1005.
(3)程序框图的程序语句如下：
第二章综合素能检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②科技报告厅有32排座位，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；
③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．
较为合理的抽样方法是( )
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
[答案] A
[解析] ①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样．
2．林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是( )
A．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
D．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐
[答案] D
[解析] 甲种树苗的高度的中位数为(25＋29)÷2＝27，乙种树苗的高度的中位数为(27＋30)÷2＝28.5，即乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数．由图可知甲种树苗的高度比较集中，因此甲种树苗比乙种树苗长得整齐．
3．某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人、本科生有3 000人、研究生有1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )
A．65人，150人，65人 B．30人，150人，100人
C．93人，94人，93人 D．80人，120人，80人
[答案] A
[解析] 抽样比为＝，所以专科生应抽取×1 300＝65(人)，本科生应抽取×3 000＝150(人)，研究生应抽取×1 300＝65(人)，故选A.
4．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故大于或等于31.5的数据约占＝.
5．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
[答案] B
[解析] 根据分层抽样的概念知，＝，解得N＝808.
6．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)．若第16组抽出的号码是126，则第1组抽出的号码是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] C
[解析] 系统抽样一般是按照事先确定的规则，即通常是将k加上间隔l的整数倍，得到第2个编号k＋l，第3个编号k＋2l，…，这样继续下去，直到获取整个样本，其中k是第1组中抽出的样本号码．题中的分段间隔是160÷20＝8，且第16组抽出的号码是126，则k＋15×8＝126，解得k＝6.故选C.
7．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1，2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有( )
A．1＞2，s＜s B．1＝2，s＞s
C．1＝2，s＝s D．1＝2，s＜s2
[答案] D
[解析] 本题主要考查茎叶图中均值和方差的计算．根据题意，由甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图，知1＝＝15，2＝＝15，s＝[(－6)2＋(－1)2＋02＋02＋12＋62]＝，s＝[(－7)2＋(－2)2＋02＋02＋22＋72]＝，所以s＜s，故选D.
8．一名小学生的年龄(单位：岁)和身高(单位：cm)的数据如下表．由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为＝8.8x＋，预测该学生10岁时的身高约为( )
年龄x
6
7
8
9
身高y
118
126
136
144
A.154 cm B．153 cm
C．152 cm D．151 cm
[答案] B
[解析] 本题考查线性回归方程及其应用．将＝＝7.5，＝＝131代入＝8.8x＋，得＝65，即＝8.8x＋65，所以，预测该学生10岁时的身高约为153 cm.故选B.
9．为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到如图所示的频率分布直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数和为40，后6组的频数和为87.设最大频率为a，视力在4.5到5.2之间的学生数为b，则a，b的值分别为( )
A．0.27,96 B．0.27,83
C．2.7,78 D．2.7,83
[答案] A
[解析] 本题考查频率分布直方图的应用．由频率分布直方图知组距为0.1，前3组频数和为13，则4.6到4.7之间的频数最大为27，故最大频率a＝0.27，视力在4.5到5.2之间的频率为0.96，故视力在4.5到5.2之间的学生数b＝96.故选A.
10．对“小康县”的经济评价标准：
①年人均收入不小于7000元；
②年人均食品支出不大于收入的35%.
某县有40万人，调查数据如下：
年人均收入/元
0
2000
4000
6000
8000
10 000
12 000
16 000
人数/万人
6
3
5
5
6
7
5
3
则该县( )
A．是小康县
B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县
C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县
D．两个标准都未达到，不是小康县
[答案] B
[解析] 由图表可知：年人均收入为7050＞7000，达到了标准①；年人均食品支出为2695，而年人均食品支出占收入的×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②，所以不是小康县．
11．一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )
A．40.6,1.1 B．48.8,4.4
C． 81.2,44.4 D．78.8,75.6
[答案] A
[解析] 设原数据的平均数为，则2－80＝1.2，解得＝40.6.设原数据的方差为s2，则4s2＝4.4，即s2＝1.1.
12．如图1是某高三学生进入高中－二年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
[答案] D
[解析] 本题考查循环结构以及茎叶图．解决此类问题的关键是弄清算法流程图的含义，分析程序中各变量、各语句的作用．根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为10，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(2013～2014·河南省淇县高级中学高一月考)将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m＝________.
[答案] 20
[解析] 由题意知第一组的频率为1－(0.15＋0.45)＝0.4，
∴＝0.4，∴m＝20.
14．一组数据为15,17,14,10,15,17,17,14,16,12，设其平均值为m，中位数为n，众数为p，则有m，n，p的大小关系为________．
[答案] m＜n＜p
[解析] m＝14.7，n＝15，p＝17.
15．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本容量
130
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据：________，________，________，________.(从左到右依次填入)
[答案] 900 800 90 80
[解析] 由产品B的数据可知该分层抽样的抽样比k＝＝，设产品C的样本容量为x，则产品A的样本容量为(x＋10)，那么x＋10＋130＋x＝3 000×，解之得x＝80，所以产品A的样本容量为90，产品A的数量为90÷＝900，产品C的数量为80÷＝800.
16．(2013～2014·哈尔滨第三中学月考)许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的回归直线方程为＝0.8x＋4.6，斜率的估计值等于0.8说明________，成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数________(填“大于0”或“小于0”)．
[答案] 受过9年或更少教育的人数每增加1个百分比，那么低于官方规定的贫困线的人数占本州人数就增加0.8个百分比 大于0
[解析] 根据回归直线方程＝0. 8x＋4.6是反映美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)这两个变量的，而0.8是回归直线的斜率，又0.8>0，即b>0，根据b与r同号的关系知r>0.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)2013年春节前，有超过20万名来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个休息站，让过往的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就对其省籍询问一次，询问结果如图所示：
(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？
[解析] (1)根据题意，因为有相同的间隔，符合系统抽样的特点，所以交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．
(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(人)，四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)，
设四川籍的驾驶人员应抽取z名，依题意得＝，解得x＝2，
即四川籍的应抽取2名．
[名师点睛] 本题主要考查随机抽样，随机抽样分为简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，它们有各自的特点和适用范围，要灵活选择．第(1)问符合系统抽样方法的特点，是系统抽样，第(2)问要注意分层抽样中的比例关系．
18．(本小题满分12分)下表是某单位在2013年1～5月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
5
用水量y
4.5
4
3
2.5
1.8
若由线性回归方程得到的预测数据与实际检验数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，通过公式得＝－0.7，那么用该单位前4个月的数据所得到的线性回归方程预测5月份的用水量是否可靠？并说明理由．
[解析] 由前4个月的数据，得＝2.5，＝3.5，
且＝－0.7，所以，＝－＝5.25，
所以y关于x的线性回归方程为＝－0.7x＋5.25，
当x＝5时，得估计值＝－0.7×5＋5.25＝1.75，
而|1.75－1.8|＝0.05≤0.05，
所以，所得到的回归方程是“预测可靠”的．
[名师点睛] 首先计算，，由于已知＝－0.7，则通过＝－计算出，从而求出线性回归方程，再比较线性回归方程的值与实际值的差的绝对值即可．
19．(本小题满分12分)某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并且都比高三年级多1人．为了响应市教育局“阳光体育”号召，该校开展了跑步和跳绳两项比赛，要求每人都参加而且只参加其中一项，各年级参与项目人数情况如下表：
年级
项目
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
跳绳
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与跳绳的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意度，采用分层抽样从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级中参与跑步的同学应抽取多少人？
[解析] 全校参与跳绳的人数占总人数的，则跳绳的人数为×2 000＝800，所以跑步的人数为×2 000＝1 200.
又a∶b∶c＝2∶3∶5，所以a＝×1 200＝240，b＝×1 200＝360，c＝×1 200＝600.
抽取样本为200人，即抽样比例为＝，
则在抽取的样本中，应抽取的跑步的人数为×1 200＝120，则跑步的抽取率为＝，
所以高二年级中参与跑步的同学应抽取360×＝36(人)．
[名师点睛] 先求出全校参与跑步学生的人数，从而得到高二学生中参加跑步学生的人数，根据分层抽样的特点，高二年级中参与跑步的同学应抽取360×＝36(人)．
20．(本小题满分12分)(2013～2014·山东省滨州市测试)某校高二期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表.
分组
频数
频率
[0,30]
3
0.03
(30,60]
3
0.03
(30,90]
37
0.37
(90,120]
m
n
(120,150]
15
0.15
合计
M
N
(1)求出表中m，n，M，N的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率分布直方图；
(2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数．
[解析] (1)由频率分布表得M＝＝100，
所以m＝100－(3＋3＋37＋15)＝42，n＝＝0.42，
N＝0.03＋0.03＋0.37＋0.42＋0.15＝1.
频率分布直方图如图：
(2)由题意知，全校在90分以上的学生估计有×600＝342(人)．
21．(本小题满分12分)(2014·北京)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)
[解析] (1)根据频数分布表，100名学生中，课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在[4,6)的人数为17人，频率为0.17，所以，a＝＝＝0.085
同理，b＝＝0.125.
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．
22．(本小题满分12分)已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放同池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数日，立即放回池塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图的茎叶图．
(1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；
(2)为了估计池塘中鱼的总重量，现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重，根据称重鱼的重量介于[0,4.5](单位：千克)之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0,0.5)，第二组[0.5,1)，…，第九组[4,4.5 ]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
①估汁池塘中鱼的重量在3千克以上(含3千克)的条数；
②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数也比第三组多7条，请将频率分布直方图补充完整；
③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数及池塘中鱼的总重量．
[解析] (1)根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80,20.
由题意知，池塘中鱼的总数目为1 000÷＝20 000(条)，
则估计鲤鱼数目为20 000×＝16 000(条)，鲫鱼数目为20 000－16 000＝4 000(条)．
(2)①根据题意，结合直方图可知，池塘中鱼的重量在3千克以上(含3千克0的条数约为20 000×(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝2 400(条)．
②设第二组鱼的条数为x，则第三、四组鱼的条数分别为x＋7、x＋14，则有x＋x＋7＋x＋14＝100×(1－0.55)，解得x＝8，
故第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别为0.16，0.30，0.44，据此可将频率分布直方图补充完整(如图)．
③众数为2.25千克，平均数为0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋…＋4.25×0.02＝2.02(千克)，
所以鱼的总重量为2.02×20 000＝40 400(千克)．
第三章综合素能检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列事件：①如果a、b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%.其中是随机事件的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] 由随机事件的概念得：①③是必然事件，②④是随机事件．
2．下列试验是古典概型的是( )
A．从装有大小完全相同的红、绿、黑各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色
B．在适宜条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
C．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，观察出现正面、反面、一正面一反面的次数
D．从一组直径为(120±0.3)mm的零件中取出一个，测量它的直径
[答案] A
[解析] 根据古典概型具有有限性和等可能性进行判断．
3．(2013～2014·吉林油田一中月考)红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥事件但不是对立事件 D．以上答案都不对
[答案] C
[解析] 记事件A＝“甲分得红牌”，记事件B＝“乙分得红牌”，它们不会同时发生，所以是互斥事件，但事件A和事件B也可能都不发生，所以他们不是对立事件，故选C.
4．下列命题不正确的是( )
A．根据古典概型概率计算公式P(A)＝求出的值是事件A发生的概率的精确值
B．根据几何概型概率计算公式P(A)＝求出的值是事件A发生的概率的精确值
C．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值是P(A)的近似值
D．根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N和事件A发生次数N1，得到的值是P(A)的精确值
[答案] D
[解析] 很明显A，B项是正确的；随机模拟中得到的值是概率的近似值，则C项正确，D项不正确．
5．(2013～2014·甘肃嘉峪关一中高一月考)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
[答案] D
[解析] 由题意知事件A、B、C互为互斥事件，记事件D＝“抽到的是二等品或三等品”，则P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3，故选D.
6．(2011·安徽)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为＝.故选D.
7．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机扔一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积均为( )
A． B．
C． D．无法计算
[答案] B
[解析] 由几何概型的概率计算公式知≈，而S正方形22＝4，所以S阴影≈.
8．(2011·新课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝.
9．设一元二次方程x2＋bx＋c＝0，若b、c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 因为b，c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝b2－4c≥0，显然b≠1.
当b＝2时，c＝1(1种)；当b＝3时，c＝1,2(2种)；当b＝4时，c＝1,2,3,4(4种)；当b＝5时，c＝1,2,3,4,5,6(6种)；当b＝6时，c＝1,2,3,4,5,6(6种)．
故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是.
10．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y＝ax2－2bx＋1在(－∞，]上为减函数的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 由题意，函数y＝ax2－2bx＋1在(－∞，]上为减函数满足条件.∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，∴a取1,2时，b可取1,2,3,4,5,6；a取3,4时，b可取2,3,4,5,6；a取5,6时，b可取3,4,5,6，共30种．
∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6×6＝36种等可能发生的结果，
∴所求概率为＝.故选D.
11．欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 本题显然是几何概型，用A表示事件“这滴油正好落入孔中”，可得P(A)＝＝＝.
12．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，
设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，
则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
2位工人不在同一组的结果有
(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．
则选取这2人不在同一组的概率为.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
[答案] 0.18
[解析] S＝×12＝0.18.
14．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只作过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中作过标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚________只．
[答案] 160 000
[解析] 设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝160 000.
15．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．
[答案]
[解析] 由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，知该校共有教师120÷＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，因为在分层抽样中，每一层所占的比例相等，所以不同层中每位教师被抽到的概率相等．则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝.
16．已知函数f(x)＝log2x，x∈[，2]，若在区间[，2]上随机取一点，则使得f(x0)≥0的概率为________．
[答案]
[解析] 由函数f(x0)≥0得log2x0≥0，解得x0∈[1,2]，又函数f(x)的定义域为[，2)，故f(x0)≥0的概率为＝.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2014·天津)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X、Y、Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(1)用表中字母列举出所有可能的结果．
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
[解析] (1)从6名同学中选出2人所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}共6种．
因此事件M发生的概率P(M)＝＝.
18．(本小题满分12分)(2013～2014·辽宁模拟)某种日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如右图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，按照指针所指区域的数字购买商品的件数，每人只能参加一次这个活动．
(1)某顾客参加活动，求购买到不少于5件该产品的概率；
(2)甲、乙两位顾客参加活动，求购买该产品件数之和为10的概率．
[解析] (1)设“购买到不少于5件该产品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)设“甲、乙两位顾客参加活动，购买该产品数之和为10”为事件B，甲、乙购买产品数的情况共有12×12＝144种，
则事件B包含(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，共9种情况，故P(B)＝＝.
19．(本小题满分12分)(2013～2014·山东聊城市水城中学高一3月调研)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，
(1)求点数之和是5的概率；
(2)设a、b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求等式2a－b＝1成立的概率．
[解析] (1)该试验所有可能的结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，基本事件总数为36，记事件A＝“点数之和是5”，则事件A，所含的基本事件为：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，基本事件总数为4，所以P(A)＝＝.
(2)要使等式2a－b＝1成立，则须a－b＝0，即先后抛掷两次向上的点数相等，记事件B＝“向上的点数相等”，则事件B所含的基本事件为：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，基本事件总数为6，所以P(B)＝＝.
20．(本小题满分12分)(2013·辽宁)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解析] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
21．(本小题满分12分)(2013～2014·河北邯郸市一模)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可人肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值茎叶图如图(十位为茎，个位为叶)，若从这6天的数据中随机抽出2天，
(1)求恰有一天空气质量超标的概率；
(2)求至多有一天空气质量超标的概率．
[解析] 由茎叶图知：6天中有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．
记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f，则从6天中抽取2天的所有情况为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15.
(1)记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8，
∴P(A)＝.
(2)记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，
故P(C)＝，∴P(B)＝1－P(C)＝1－＝.
22．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5.现从一批该日用品中随机抽以20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值．
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1、x2、x3，等级系数为5的2件日用品记为y1、y2购买往往x1、x2、x3、y1、y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
[解析] (1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，
所以c＝＝0.1，
从而a＝0.35－b－c＝0.1，
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x1、x2、x3、y1、y2中任取两件，所有可能情况为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y1}，{y1，y2}．
设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个．
又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝＝0.4.
