第一章 1.1 1.1.1
一、选择题
1．构成空间几何体的基本元素为( )
A．点 B．线
C．面 D．点、线、面
[答案] D
[解析] 点、线、面共同构成空间几何体．
2．下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．故选B.
3．如图所示，下面空间图形画法错误的是( )
[答案] D
[解析] D项中的两个平面没有按照实虚线的画法规则作图，故选D.
4．下列是几何体的是( )
A．方砖 B．足球 C．圆锥 D．魔方
[答案] C
[解析] 几何体是一个几何图形，它只考虑物体占有空间部分的形状和大小，而不是实实在在的物体．
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1六个面中，与面ABCD垂直的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] 与面ABCD垂面的有面A1ADD1、面ABB1A1、面BCC1B1和面CDD1C1共4个．
6．如图所示是平行四边形ABCD所在的平面，下列表示方法中不正确的是( )
①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④AC；⑤平面α.
A．④ B．③⑤ C．②③④ D．③④
[答案] D
[解析] ③④不能表示平行四边形ABCD所在的平面．
二、填空题
7．在立体几何中，可以把线看成________运动的轨迹．如果点运动的方向始终不变，则其运动的轨迹为__________________；如果点运动的方向时刻变化，则其运动的轨迹为__________________．
[答案] 点 一条直线或一条线段 一条曲线或曲线的一段
8．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号)．
[答案] ③
[解析] 正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．
三、解答题
9．试分别画出满足下列条件的直线和平面：
(1)直线a在平面β内；
(2)直线a在平面β上方；
(3)直线a穿过平面β.
[解析] (1)如图①.(2)如图②.(3)如图③或④.
一、选择题
1．下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是( )
[答案] A
[解析] 根据图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断选项A正确．
2．一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此正方体的两种不同的放置状态，如果与C面相对的面上的字母是E，则与D面相对的面上的字母是( )
A．A B．B
C．E D．F
[答案] B
[解析] 与D面相对的面上的字母为B.
二、填空题
3．如图表示两个相交平面，其中正确的是________．
[答案] ④
[解析] 对于①，没有画出两个平面的交线；对于②和③，被遮住的线没有画成虚线；对于④，符合相交平面的画法．
4．下列关于长方体的说法中，正确的是________．
①长方体中有3组对面互相平行；
②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD、BC和AA1；
③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；
④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1平行且相等．
[答案] ①③④
[解析] 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD、BC、AA1外，还有B1C1、A1D1、BB1、CC1和DD1，故②错误；
这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1、BB1、CC1、DD1的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故正确的是①③④.
三、解答题
5．请将下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
[解析] 用虚线把被平面遮住的部分画出，如下图的立体图形．
6．根据图中给出的平面图形，折叠几何模型．
[解析]
7．下图为一个正方体表面的一种展开图，图中的线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不在同一平面内的共有多少对？
[解析] 如图，将展开图恢复为正方体，则有AB与CD，AB与GH，EF与GH共3对不在同一平面内的线段．
第一章 1.1 1.1.2 第1课时
一、选择题
1．下列几何体中是棱柱的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] C
[解析] ①③⑤为棱柱，故选C.
2．下面没有体对角线的一种几何体是( )
A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱
[答案] A
[解析] 由几何体对角线的概念可知，选A.
3．棱柱的侧面都是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．矩形
[答案] B
[解析] 根据棱柱的概念知，选项C正确．
4．设有三个命题：
甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；
丙：直四棱柱是直平行六面体．
以上命题中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 甲命题符合平行六面体的定义；乙命题是错误的，因为底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直；丙命题也是错的，因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故选B.
二、填空题
5．一个棱柱至少有________个面，有________个顶点，有________条棱．
[答案] 5 6 9
[解析] 最简单的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．
6．设有四个命题：
(1)底面是矩形的平行六面体是长方体；
(2)棱长相等的直四棱柱是正方体；
(3)有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
(4)对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
以上命题中，真命题的是________．(填序号)
[答案] (4)
[解析] (1)不正确，除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体；(2)不正确，当底面是菱形时就不是正方体；(3)不正确，两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面，故不一定是直平行六面体；(4)正确，因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以证明此时的平行六面体是直平行六面体．
三、解答题
7．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．
[解析] (1)这个长方体是四棱柱，因为上下两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，所以是棱柱，由于底面ABCD是四边形，所以是四棱柱．
(2)平面BCNM把这个长方体分成的两部分还是棱柱．
左边部分几何体的两个面ABMA1和DCND1平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，所以是棱柱，由于底面ABMA1是四边形，所以是四棱柱，即左边的部分几何体为四棱柱ABMA1－DCND1；同理右边部分的几何体为棱柱BMB1－CNC1.
一、选择题
1．斜四棱柱的侧面最多可有几个面是矩形( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 如图所示，在斜四棱柱AC′中，若AA′不垂直于AB，则DD′也不垂直于DC，故四边形ABB′A′和四边形DCC′D′就不是矩形．
2．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到下面的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．南 B．北 C．西 D．下
[答案] B
[解析] 将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上，可知“△”的方位为北，故选B.
二、填空题
3．若长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm.把这样的两个长方体全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为__________．
[答案] 5cm
[解析] 有以下三种重叠方式：
在(1)情形下，对角线长l1＝＝；
在(2)情形下，对角线长l2＝＝；
在(3)情形下，对角线长l3＝＝，
∴最长为l2＝5cm.
4．一棱柱有10个顶点，侧棱长相等，且所有侧棱长的和为100，则其侧棱长为________．
[答案] 20
[解析] 由题意知该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长相等，故其侧棱长为＝20.
三、解答题
5．长方体的三条棱长之比为1?2?3，全面积为88cm2，求它的对角线长．
[解析] 设长方体的三条棱长分别为x cm、2x cm、3x cm，
由题意，得2(x·2x＋x·3x＋2x·3x)＝88，
解得x＝2.
即长方体的三条棱长分别为2cm,4cm,6cm.
故它的对角线长为＝2cm.
6．底面是菱形的直平行六面体的高为12cm，两条体对角线的长分别是15cm和20cm，求底面边长．
[解析] 如图所示，
由已知得直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，高AA1＝12cm，对角线A1C＝20cm，对角线BD1＝15cm，在△ACA1中，
AC＝
＝＝16cm，
在△BDD1中，BD
＝＝＝9cm，
又∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且AC、BD互相平分，
∴AO＝8cm，BO＝3cm，
∴AB＝cm.故底面边长为cm.
7．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为多少？
[解析] 此题相当于把两个正三棱柱都沿AA1剪开拼接后得到的线段AA1的长，即最短路线长为10.
第一章 1.1 1.1.2 第2课时
一、选择题
1．棱锥至少由多少个面围成( )
A．3 B．4 C．5 D．6
[答案] B
[解析] 三棱锥有四个面围成，通常称为四面体，它是面数最少的棱锥．
2．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是1、2，侧棱长为，则该四棱台的高为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 如图所示，由题意知，四棱台ABCD－A1B1C1D1为正四棱台，
设O1、O分别为上、下底面的中心，连接OO1、OA、O1A1，过点A1作A1E⊥OA，E为垂
足，则A1E的长等于正四棱台的高，
又OA＝，O1A1＝，
∴AE＝OA－O1A1＝，
在Rt△A1EA中，AA1＝，AE＝，
∴A1E＝＝＝.
3．过正棱台两底面中心的截面一定是( )
A．直角梯形 B．等腰梯形
C．一般梯形或等腰梯形 D．矩形
[答案] C
[解析] 过正棱台两底面中心的截面与两底面的交线一定平行且不相等．当截面过侧棱时，截面是一般梯形；当截面不过侧棱时，由对称性，截面与两侧面的交线一定相等，所以截面是等腰梯形．故选C.
4．下列命题中，真命题是( )
A．顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥
B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C．底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥
D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
[答案] D
[解析] 对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形的外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题．对于选项B，如右图所示，△ABC为正三角形，若PA＝AB，PA＝AC≠PC，PB＝BC≠PC，则△PAB，△PAC，△PBC都为等腰三角形，但此时侧棱PA＝PB≠PC，故该命题是假命题．对于选项C，顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题．对于选项D，顶点在底面内的射影是底面三角形的外心，且底面三角形为正三角形，因此，外心即中心，故该命题是真命题，故正确答案为D.
5．一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为( )
A．2 B．2 C．3 D．4
[答案] C
[解析] 如图所示，正三棱锥S－ABC中，
O为底面△ABC的中心，SO为正三棱锥的高，SO＝，
AB＝3，∴OA＝，
在Rt△SOA中，SA＝＝＝3.
6．棱台的上、下底面面积分别为4和16，则中截面面积为( )
A．6 B．8 C．9 D．10
[答案] C
[解析] 设中截面的面积为S，则
S＝＝9.
二、填空题
7．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高为__________．
[答案]
[解析] 如图，∵上、下底面正三角形边长分别1、2，
∴O1E1＝，OE＝，又OO1＝2，
∴斜高E1E＝＝.
8．正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面面积为__________．
[答案] a2
[解析] 截面三角形三边长分别为a、a、a，为等腰直角三角形．∴面积S＝a2.
三、解答题
9．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
[解析] 不一定．如图(1)所示，将正方体ABCD－A1B1C1D1截去两个三棱锥A－A1B1D1和C－B1C1D1，得如图(2)所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．
一、选择题
1．(2014·山东威海高一期末测试)用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积之比为1?4，截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是( )
A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm
[答案] D
[解析] 棱台的上、下底面面积之比为1?4，则截去的棱锥的高与原棱锥的高之比为1?2，故棱台的高是3cm.
2．在侧棱长为2的正三棱锥S－ABC中，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝40°，过A作截面AEF，则截面的最小周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．10
[答案] C
[解析] 将三棱锥沿SA剪开，展开如图．连接AA′交SB于E，交SC于F，则AA′即为△AEF的最小周长．
∵SA＝SA′＝2，∠ASA′＝120°，
∴AA′＝2×2sin60°＝6，故选C.
二、填空题
3．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则棱台的斜高等于__________．
[答案]
[解析] 如图，BDD1B1是等腰梯形，B1D1＝5，BD＝7，BD1＝9，∴OO1＝＝3，
又O1E1＝，OE＝，在直角梯形OEE1O1中，
斜高E1E＝＝.
4．一个正三棱锥P－ABC的底面边长和高都是4，E、F分别为BC、PA的中点，则EF的长为__________．
[答案] 2
[解析] 如图在正△ABC中，AE＝2，
在正△PBC中，PE＝2，
在△PAE中，AE＝PE＝2，PA＝4，F为PA中点，
∴EF⊥PA，∴EF＝＝2.
三、解答题
5．如图，将边长为8的正三角形沿三条中位线折成一个正四面体，求该四面体的高和斜高．
[解析] 由题设知正四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝CA＝4，
过点S作SO⊥面ABC，O为垂足，过点O作OD⊥AC，则D为AC中点．连接SD，
则SD⊥AC，故SO为正四面体的高，SD为斜高．
在Rt△SDA中，SA＝4，AD＝2，
∴SD＝＝＝6.
又∵△ABC为正三角形，
∴△ABC的高h＝×4＝6，
∴OA＝h＝×6＝4，∴在Rt△SOA中，
SO＝＝＝4.
∴该四面体的高为4，斜高为6.
6．已知正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为2?3，求此三棱锥的高与斜高的比．
[解析] 设正三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则一个侧面面积S1＝a·，底面面积S2＝a2，由题意得＝＝，
∴＝a，
∴此三棱锥的斜率h′＝a，
高h＝＝，
∴＝＝.
7.如图，正三棱台ABC－A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面梯形的面积为，O1、O分别为上、下底面正三角形中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长．
[解析] 由AB＝10，
则AD＝AB＝5，
OD＝AD＝.
设上底面边长为x，则O1D1＝x.
过D1作D1H⊥AD于H，
则DH＝OD－OH＝OD－O1D1＝－x，
在△D1DH中，D1D＝＝2，
∴在梯形B1C1CB中，S＝(B1C1＋BC)·D1D，
∴＝(x＋10)·2，
∴40＝(x＋10)(10－x)．
∴x＝2，
∴上底面的边长为2.
第一章 1.1 1.1.3
一、选择题
1．过球面上两点可能作出球的大圆( )
A．0个或1个 B．有且仅有一个
C．无数个 D．1个或无数个
[答案] D
[解析] 当这两点与球心共线时，可做出无数个，当这两点与球心不共线时，过这两点和球心的平面只有一个，故与球相截只能得一个球的大圆．
2．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，两底面间的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．2
[答案] D
[解析] 由题意，得圆台上、下底面半径分别为6和7，在圆台的轴截面等腰梯形中，易求得两底面距离d＝＝2.
3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，则这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球体 D．以上都可能
[答案] B
[解析] 球体被任何平面所截得的截面均为圆面；对圆锥，截面不能为四边形；对于圆柱，当截面过两条母线时，得到四边形．
4．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是( )
[答案] D
[解析] 过球心与正方体的对角面时为B，过球心与正方体一组平行棱的中点时为C，过球心及一组平行棱的位于顶点和中点之间的某种分点时为A，∴不可能为D.
5．在地球北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度相差180°，A、B两地沿纬线圈的弧长与A、B两点的球面距离之比为( )
A．3?2 B．2?3
C．1?3 D．3?1
[答案] A
[解析] 本题主要考查球面距离的求法，求球心角是求球面距离的关键．
由题知∠OAB＝60°，∴∠AOB＝60°，O1A＝.
∴AB两地的球面距离是l1＝πR＝πR.
而AB两地纬线圈的弧长为小圆的半个圆周，
∴l2＝π·＝πR.
∴l2?l1＝πR?πR＝3?2.
6．如果圆台两底面的半径分别是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积是( )
A．24π B．16π
C．8π D．4π
[答案] B
[解析] 截面圆的半径为＝4，面积为πr2＝16π.
二、填空题
7．给出下列说法：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．其中正确说法的序号是________．
[答案] ②④
[解析] 作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．
8．已知圆柱的底面半径是20cm，高是15cm，则平行于圆柱的轴且与此轴相距12cm的截面面积是________．
[答案] 480cm2
[解析] 设所求截面的底边长为x，则2＝202－122，解得x＝32，∴S截＝32×15＝480cm2.
三、解答题
9．一个圆台的母线长为12cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[解析] (1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底的一半O1A＝2cm，
下底的一半OB＝5cm.∵腰长为12cm，
∴高为AM＝
＝3(cm)．
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，
可得＝，∴l＝20(cm)．
即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
一、选择题
1．下列命题中，错误的是( )
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的
C．圆台的轴截面一定是等腰梯形
D．圆锥的轴截面是全等的等腰三角形
[答案] B
[解析] 当圆锥的轴截面的顶角是锐角或直角时，轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的，当轴截面的顶角是钝角时，轴截面的面积小于过顶点且顶角为直角的截面面积，故选B.
2．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是( )
A．1 B．7
C．3或4 D．1或7
[答案] D
[解析] 如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝－＝1.
如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝＋＝7.
3．正方体的内切球与外接球的半径之比为( )
A.?1 B.?2
C．1? D．2?
[答案] C
[解析] 设正方体的内切球半径为r，外接球半径为R，棱长为a，则r＝，R＝a，r?R＝?a＝1?.
4．半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为( )
A．4 B．3
C．2.5 D．2
[答案] B
[解析] 设截面圆半径为r，则πr2＝16π，∴r＝4.球心到截面的距离为d＝＝＝3.
二、填空题
5．过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48πcm2，则球的半径为________．
[答案] 8cm
[解析] 如图，过球心作垂直于截面的平面，
由截面面积为48πcm2，
可得AC＝4cm ，
设OA＝R，则OC＝R，
∴R2－2＝(4)2，解得R＝8(cm)．
6．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________(填序号)．
[答案] ①⑤
[解析] 组合体的上底面已经挖去，故②错．当截面不过轴时，与圆锥的截线不可能是直线，故③④错．
三、解答题
7．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的截面面积为16cm2，求其底面周长和高．
[解析] 如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD.由题意知，四边形ABCD为正方形．设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.
其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16(cm2)，
解得r＝2cm.
所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，
高2r＝4cm.
8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
[解析] 圆台的轴截面如图所示，
设圆台上、下底面半径分别为xcm、3xcm，
延长AA1交OO1的延长线于S.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，
∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x.
S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7.
故圆台的高OO1＝14cm，母线长A1A＝OO1＝14cm，
两底面半径分别为7cm、21cm.
第一章 1.1 1.1.4
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
[答案] D
[解析] 梯形的平行投影是梯形或线段，∴B不对；平行投影把平行直线投射成平行直线或一条直线，把相交直线投射成相交直线或一条直线，把线段中点投射成投影的中点，∴C错，D对，矩形的平行投影可以是线段、矩形或平行四边形，∴A错．
2．下列图形中采用中心投影画法的是( )
[答案] A
[解析] 由中心投影与平行投影的图形特征及性质可知选A.
3．夜晚，人在路灯下的影子是________投影，人在月光下的影子是________投影．( )
A．平行 中心 B．中心 中心
C．平行 平行 D．中心 平行
[答案] D
[解析] 路灯的光是从一点发出的，故影子是中心投影；而月光可以近似看作平行的，月光下的影子是平行投影．
4．下列命题中真命题的个数是( )
①正方形的平行投影一定是菱形；
②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；
③三角形的平行投影一定是三角形；
④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影仍是这个三角形平行投影的中位线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，∴①②③均错，④对．
5．水平放置的矩形ABCD长AB＝4，宽BC＝2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为( )
A．4 B．2 C．4 D．2
[答案] B
[解析] 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A′B′C′D′为平行四边形，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4，
A′D′＝×2＝1，
∴D′E＝1×sin45°＝，
∴S四边形A′B′C′D′＝A′B′·D′E＝4×＝2.
6．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( )
①角的水平放置的直观图一定是角．
②相等的角在直观图中仍相等．
③相等的线段在直观图中仍然相等．
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对，而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．
二、填空题
7.如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
[答案] 2
[解析] △ABC为直角三角形，由D为AC中点，∴BD＝AD＝CD.
∴与BD的长相等的线段有两条．
8．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐示系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
[答案]
[解析] 画出该正方形的直观图，则易得点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d，则O′A′＝OA＝1，∠C′O′A′＝45°，所以d＝O′A′＝.
三、解答题
9.如图所示，有一灯O，在它前面有一物体AB，灯所发出的光使物体AB在离灯O为10 m的墙上形成了一个放大了3倍的影子A′B′，试求灯与物体之间的距离．
[解析] 如图所示，作OH⊥AB于H，延长OH交A′B′于H′，则OH即为所求．
由平面几何及光线沿直线传播知，△AOB∽△OA′B′，
∴＝，∵＝，且OH′＝10 m.
∴OH＝m，即灯与物体AB之间的距离为 m.
一、选择题
1．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m，若按1?500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )
A．4cm,1cm,2cm,1.6cm
B．4cm,0.5cm,2cm,0.8cm
C．4cm,0.5cm,2cm,1.6cm
D．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm
[答案] C
[解析] 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.
2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是10，则皮球的直径是( )
A．53 B．15
C．10 D．83
[答案] B
[解析] 设皮球的半径为R，由题意得：DC＝2R，DE＝10，∠CED＝60°，解得DC＝DEsin60°＝15.
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是( )
A．8a cm ．6a cm
C．(2a＋2a) cm D．4a cm
[答案] A
[解析] 由斜二测画法的规则可知，
在原图形中OB＝2a，OA＝a，且OA⊥OB，∴AB＝3a，
∴OABC的周长为2(a＋3a)＝8a cm.
4．已知正△ABC的边长为a，以它的一边为x轴，对应的高线为y轴，画出它的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
[答案] D
[解析] 如图为△ABC及其直观图A′B′C′.
则有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝·a＝a，
∠B′O′C′＝45°，
∴S△A′B′C′＝A′B′·O′C′·sin45°＝a×a×＝a2，故选D.
二、填空题
5．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD的直观图，若A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′＝2，A′D′＝1，则四边形ABCD的面积是____________．
[答案] 5
[解析] 原图形ABCD为直角梯形，AD为垂直于底边的腰，AD＝2，AB＝2，CD＝3，∴S四边形ABCD＝5.
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
[答案]
[解析] 原图中AC＝3，BC＝4，且△ABC为直角三角形，故斜边上的中线长为＝.
三、解答题
7．如图所示的平行四边形A′B′C′D′是一个平面图形的直观图，且∠D′A′B′＝45°，请画出它的实际图形．
[解析] ①在直观图A′B′C′中建立坐标系x′A′y′，再建立一个直角坐标系xOy，如图所示．
②在x轴上截取线段AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′.
③过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为四边形A′B′C′D′的实际图形．
8．小昆和小鹏两人站成一列，背着墙，面朝太阳，小昆靠近墙，在太阳光照射下，小昆的头部影子正好落在墙角处．如果小昆身高为1.6m，离墙距离为3m，小鹏的身高1.5m，离墙的距离为5m，则小鹏的身影是否在小昆的脚下，请通过计算说明．
[解析] 如图设小鹏的影长为xm，
根据太阳光平行的特征有＝，
x≈2.81,2.81m＋3m＝5.81m>5m，
所以小鹏的身影会在小昆的脚下．
第一章 1.1 1.1.5
一、选择题
1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的是( )
A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段
B．平行直线的平行投影仍是平行的直线
C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等
D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比
[答案] B
[解析] ∵图形中的直线或线段与投射线不平行，∴直线或线段的平行投影不可能为一点，仍是直线或线段；平行直线的平行投影可以是平行直线或一条直线；而与投射面平行的平面图形的投影形状大小均不变，∴A、C、D均正确，B错．
2．(2014·山东文登市高一期末测试)一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )
A．三棱锥 B．底面不规则的四棱锥
C．三棱柱 D．底面为正方形的四棱锥
[答案] C
[解析] 根据三视图可知，该几何体是一个倒放的三棱柱．
3．如图所示的图形中，是正四棱锥的三视图的是( )
[答案] B
[解析] 由俯视图可排除A、C、D，故选B.
4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
[答案] D
[解析] ①的三个视图都是正方形，因此排除A、B、C，故选D.
5．在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为( )
[答案] D
[解析] 此几何体为一个半圆锥和一个三棱锥的组合体，其左视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形．
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的正投影不可能是( )
[答案] B
[解析] 首先向上、下两个相对的面投影，如向ABCD投影，E的射影为A，F，G的射影分别为CD与BC中点，∴其正投影为A；再向左、右两个侧面上投影，如向面BCC1B1上投射，则A，F的射影分别为B，C1，而B、C1、G共线，E点射影为BB1中点，∴其正投影为图D，再向前后两个对面上投影，如向平面ABB1A1投影，F，G的投影分别为A1B1与BB1的中点，∴其正投影为图C，∴不可能为B.
二、填空题
7．给出以下结论，其中正确的结论的序号是________．
①一个点光源把一个平面图形照射到一个平面上，它的投影与这个图形全等；
②平行于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形全等；
③垂直于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形相似；
④在平行投影下，不平行、也不垂直于投射面的线段的投影仍是线段，但与原线段不等长．
[答案] ②④
[解析] 由定义知，②④正确．
8．如图所示的是一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．
[答案] 圆锥 圆柱
[解析] 因为主视图和左视图的上部是三角形，下部是长方形，俯视图是个带圆心的圆，所以几何体的上部是圆锥，下部是圆柱．
三、解答题
9．画出如图所示几何体的三视图．
[解析] 已知几何体为正六棱柱，其三视图如图所示．
一、选择题
1．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为( )
[答案] B
[解析] 本题考查了根据几何体的直观图来判断其三视图．
左视图为，实线为AD1，虚线为B1C.
2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )
[答案] C
[解析] 由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，从正前方看在观察者左侧，从左向右看时在观察者右侧，故俯视图为C.
二、填空题
3．桌子上放着一个长方体和圆柱(如图所示)，则下列三幅图分别是什么图(主视图、俯视图、左视图)①________、②________、③________.
[答案] 俯视图 主视图 左视图
[解析] 由三视图的定义可知，①是俯视图，②是主视图，③是左视图．
4．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，正视图是边长为2的正方形，则其左视图的面积为________．
[答案] 2
[解析] ∵左视图的高与正视图的高相等，故高为2，
左视图的宽与俯视图的宽相等，即为直三棱柱底面△ABC的高，故左视图的宽为，
∴左视图的面积为2×＝2.
三、解答题
5．如图是某希望学校的一座水塔，试画出它的三视图(尺寸不作严格要求)．
[解析] 三视图如图所示．
第一章 1.1 1.1.6
一、选择题
1．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A．32 B．16＋16
C．48 D．16＋32
[答案] B
[解析] 由三视图知，四棱锥为正四棱锥，四个侧面为四个全等的三角形，且三角形的高h＝2，S′＝×4×2×4＝16，所以表面积为S′＋4×4＝16＋16.
2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是( )
A．3π B．3π
C．6π D．9π
[答案] A
[解析] 设轴截面正三角形边长为a，
则面积为a2＝，
∴a＝2，∴母线长l＝2，底半径r＝1，
S全＝S底＋S侧＝π×12＋π×1×2＝3π.
3．(2014·甘肃天水一中高一期末测试)球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )
A. B.
C. D．π
[答案] C
[解析] 设正方体的棱长为a，球半径为R，则3a2＝4R2，∴a2＝R2，
球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积 S2＝6a2＝6×R2＝8R2，∴S1?S2＝.
4．(2014·河南洛阳高一期末测试)已知圆锥的表面积为12πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( )
A.cm B．2cm
C．2cm D．4cm
[答案] B
[解析] 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则有，
解得r＝2(cm)．
5．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
[答案] B
[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.
6．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 设正方体的棱长为a，
S正方体全＝6a2，而正四面体的棱长为a，
S正四面体全＝4××(a)2＝2a2，
∴＝＝.
二、填空题
7．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为3，则它的侧面积是________．
[答案] 36
[解析] 设正四棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，则，解得a＝3，b＝3，则侧面积为4ab＝36.
8.若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．
[答案] 3π
[解析] 由主视图知该圆锥母线长为3，底面半径为1，则侧面积为S＝π×1×3＝3π.
三、解答题
9．(2014·沈阳高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示矩形．主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)判断该几何体形状；
(2)求该几何体的侧面积S.
[解析] (1) 这个几何体是四棱锥．
(2)作出该几何体的直观图，如图，E、F为AB、BC的中点，则AB＝8，PO＝4，BC＝6.在Rt△POF中，PF＝＝4，
∴S△PBC＝×6×4＝12，在Rt△POE中，PE＝＝5，∴S△PAB＝×8×5＝20，
所以侧面积为2(12＋20)＝24＋40.
一、选择题
1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12 D．60＋12
[答案] B
[解析] 由三视图可得该几何体为三棱锥，如图所示．利用垂直关系和三角形面积公式，得：
S△ACD＝S△ABD＝S△BCD＝10，
S△ABC＝×2×6＝6.
因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6.
2．过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离是球半径R的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是( )
A．100π B．300π
C. D.π
[答案] D
[解析] 如图所示，作OH⊥面ABC，
∵OA＝OB＝OC＝4，∴H是△ABC的外心，
∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴△ABC为直角三角形，
∴H是AC的中点，即截面圆的半径r＝AC＝5，
∴＝5，
解得R＝，∴S球＝4πR2＝π.
3．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是( )
A．1?1 B．2?1
C．3?2 D．4?3
[答案] C
[解析] ∵圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为2R，则圆柱全面积S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，球表面积S2＝4πR2，∴＝.
4. (2014·广东揭阳一中高一阶段测试)如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )
A. B．2π
C．π D．4π
[答案] A
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为，高为1的圆柱．S圆柱侧＝2πRh＝2π××1＝π.
S圆柱底＝2πR2＝，
∴圆柱的全面积为π＋＝.
二、填空题
5．如果一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积是________cm2.
[答案] 80＋16
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个棱长为4的正方体和一个底边长为4，高为2的正四棱锥组合而成的，如图所示．其表面积为S＝5×4×4＋4××4×2＝80＋16(cm2)．
6．若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为________．
[答案] π
[解析] 如图所示，
∵球的表面积为16π，∴球的半径R＝2，
又球心O到截面的距离为，
∴截面圆的半径r＝1，
∴截面圆的面积为πr2＝π.
三、解答题
7．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
[解析] 如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，
∴SA＝20.同理可得SB＝40，
∴AB＝SB－SA＝20，
∴S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
8．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，求该几何体的表面积．
[解析] 由三视图可知该几何体是正六棱锥(如图)，其底面边长为BC＝×2＝1，侧棱长为AC＝2，
斜高AD＝
＝＝.
S侧面＝6××1×＝，
S底面＝6××12＝，
S表面＝S侧面＋S底面＝＋＝(＋)．
第一章 1.1 1.1.7
一、选择题
1．(2014·山东威海市高一期末测试)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案] A
[解析] 由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为2、3的直角三角形，面积是×2×3＝3，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2，∴三棱锥的体积V＝×3×2＝2.
2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A．1 B. C. D.
[答案] D
[解析] 设圆柱与圆锥的底半径分别为R，r，高都是h，由题设，2R·h＝×2r·h，
∴r＝2R，V柱＝πR2h，V锥＝πr2h＝πR2h，
∴＝，选D.
3．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线的长度为5，体积为2，则＋＋等于( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] ∵4(a＋b＋c)＝24，V＝abc＝2，a2＋b2＋c2＝25，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，
∴36＝25＋2(ab＋bc＋cc)，
∴ab＋bc＋ac＝.
∴＋＋＝＝.
4．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是( )
A．9π B．9
C．3π D．3
[答案] C
[解析] 设圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr＝6π，∴r＝3.
又母线长l＝8，∴圆锥的高h＝＝，
∴它的体积V＝πr2h＝π×9×＝3π.
5．(2014·重庆文，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．12 B．18
C．24 D．30
[答案] C
[解析] 此题考查三视图与几何体的体积计算，考查空间想象能力．
其直观图为
底面为直角三角形的直三棱柱割三棱锥D－A1B1C1，
∴所求几何体的体积V＝V柱－V锥＝×3×4×5－××3×4×3＝30－6＝24.
6．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π
C．4π D．6π
[答案] B
[解析] 本题考查球的截面性质，考查利用公式求球的体积．
设球O的半径为R，则R＝＝，
故V球＝πR3＝4π.
解题时应注意找出球心与圆心之间的距离、截面圆的半径、球的半径这三条线段，然后用勾股定理串联起来．
二、填空题
7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
[答案] cm3
[解析] 由主视图、左视图、俯视图可知此几何体为一个四棱锥，底面是边长为20的正方形，高为20，∴该几何体的体积为×20×20×20＝(cm3)．
8．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为____________．
[答案] πR3
[解析] 设圆锥的底面半径为r，由题意，
得πR＝2πr，∴r＝R.
∴圆锥的高h＝＝R，
故圆锥的体积V＝πr2h＝π·R2·R
＝πR3.
三、解答题
9．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．
[解析] 如图所示，
VA1－EBFD1＝VA1－EBF＋VA1－EFD1＝VF－A1EB＋VF－A1ED1
＝·a·＋·a·＝.
一、选择题
1．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是( )
A．S球>S正方体 B．S球＝S正方体
C．S球
[答案] C
[解析] 设球的半径为R，正方体的棱长为a，则＝a3，∴a＝R，S正方体＝6a2＝6×R2＝R2，
S球＝4πR2＝R2＝R2，
∴S球2．一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 轴截面如图，由题意＝＝，
V圆锥PO1＝·PO1，V圆锥PO＝π·PO，
∴V圆台O1O＝V圆锥PO－V圆锥PO1
＝π·PO－·PO1＝π·PO－··PO＝π·PO，
∴＝＝.
(或由：截得小圆锥底半径为1，原来底半径为4，∴相似比为1?4，故小圆锥与原来大圆锥体积比为1?64，∴截得圆台与原来大圆锥的体积比为63?64)．
二、填空题
3．一个圆柱的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的n倍，则所得的圆柱的体积为原来的________．
[答案] n倍
[解析] 设原来圆柱的底面半径为r，高为h，根据题意，得新圆柱的底面半径为nr，高为，∴V原柱＝πr2h，V新柱＝π×(nr)2×＝nπr2h，∴V新柱?V原柱＝nπr2h，?πr2h＝n?1，故所得的圆柱的体积为原来的n倍．
4．(2014·天津理，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
[答案] π
[解析] 本题考查三视图及几何体体积公式，根据三视图还原回成一个上面为圆锥、下面为一圆柱的组合体．
该几何体的体积V＝π×4×2＋π×1×4＝π.
三、解答题
5．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
[分析] 剩余部分的几何体不是规则几何体，可利用长方体和棱锥的体积之差来求得剩余部分的体积．
[解析] 已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′－BCC′B′.
设它的底面ADD′A′的面积为S，高为h，
则棱锥C－A′DD′的底面积为S，高是h，
故棱锥C－A′DD′的体积为VC－A′DD′＝×Sh＝Sh.
余下的体积是Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1?5.
6．(2014·邵阳一中月考)如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N、K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
[解析] 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知得，
解得r＝，l＝4，
h＝＝，
∴S＝πrl＋πr2＝10π，V＝πr2h＝π.
第一章 1.2 1.2.1
一、选择题
1．下列命题中，正确命题的个数为( )
①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；
②四边形的两条对角线必相交于一点；
③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] A
[解析] ①中，l∈α不对，应为l?α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线，故选A.
2．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是( )
A．AB?α B．AB?α
C．由线段AB的长度而定 D．以上都不对
[答案] A
[解析] 如果直线上有两点在平面内，则这条直线就在该平面内，故选A.
3．若三条直线两两相交，则由这三条直线所确定的平面的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．1个或3个
[答案] D
[解析] 如图(1)所示的三条两两相交直线确定一个平面；
如图(2)所示的三条两两相交直线确定三个平面．
4．已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面，那么这四个点中( )
A．必定只有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
[答案] B
[解析] 四点A、B、C、D确定惟一一个平面，则AB与CD相交或平行，AB∥CD时，选项A、C错，AB与CD相交于点A时，D错．
5．文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )
A.?A?α B.?A∈α
C.?A∈α D.?A?α
[答案] B
[解析] 点与线或面之间的关系是元素与集合的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合的关系，用“?”表示．
6．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
[答案] D
[解析] 如图①所示有1条交线．
如图②所示有2条交线．
如图③所示有3条交线．
二、填空题
7．四条线段顺次首尾相连，它们最多可以确定平面的个数为________．
[答案] 4
[解析] 如图，
四条线段AB、BC、CD、DA顺次首尾相连，它们最多可以确定4个平面，分别是：平面ABC、平面BCD、平面ACD、平面ABD.
8．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系．
(1)图①可以用符号语言表示为__________________________________________；
(2)图②可以用符号语言表示为__________________________________________．
[答案] (1)α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，m∥l
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B
三、解答题
9．如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．
[解析] 如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，
∵DA?平面ABCD，∴P∈平面ABCD，
∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，
又B是两平面的一个公共点，
∴PB为两平面的交线.
一、选择题
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、Q分别是AB、BB1、C1D1的中点，过M、N、Q的平面与正方体相交，截得的图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
[答案] D
[解析] 作出截面，如下图．
2．下列说法正确的是( )
A．a?α，b?β，则a与b是异面直线
B．a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
[答案] D
[解析] 如图所示，
a?α，b?β，但a∥b，故A错，C错；
如图所示，
长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC异面，BC与DD1异面，但AA′与DD1平行，故B错，故只有D选项正确．
二、填空题
3．(2014·山东泰安肥城高一期末测试)如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
[答案] ③
[解析] ①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
4.如图，在正方体ABCD－EFMN中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[答案] ②④
[解析] 观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确．即正确命题的序号是②、④.
三、解答题
5．过直线l外一点P引两条直线PA、PB和直线l分别相交于A、B两点．求证：三条直线PA、PB、l共面．
[解析] 如图所示．
∵P?l，
∴P、l确定一个平面α.
∵A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，P∈α，
∴PA?α，PB?α，
∴PA、PB、l共面．
6．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出直线l；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．
[解析] (1)设过D、M、N三点的平面为α，α与平面AA1D1D的交线为直线DM.
设DM∩D1A1＝Q.由于D1A1?平面A1B1C1D1，所以Q∈平面A1B1C1D1，所以α与平面A1B1C1D1的交线为QN，则QN即为所要画的直线l.如图所示．
(2)设QN∩A1B1＝P，
因为△A1MQ≌△AMD，
所以A1Q＝AD＝A1D1，
即A1是QD1的中点，
所以A1P＝D1N＝a，故PB1＝a.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
一、选择题
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
[答案] D
[解析] a，b为异面直线，c，d分别与a，b都相交．
图(1)中c，d异面，图(2)中c，d相交．
2．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，＝＝λ，＝＝μ，则下列结论中不正确的为( )
A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形
D．当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形
[答案] D
[解析] 由＝＝λ，得EH∥BD，且＝λ，
同理得FG∥BD且＝μ，当λ＝μ时，EF綊FG.
当λ≠μ时，EF∥FG，但EH≠FG，故A、B、C都对，只有D错误．
3．a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．都有可能
[答案] D
[解析] 直线a与c的位置关系有以下三种情形(如下图)：
∴直线a与c的位置关系可能平行(如图(1))；
可能相交(如图(2))；可能异面(如图(3))，故选D.
4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．0条或1条
[答案] D
[解析] 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例．
令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A、B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B、C不能作直线与l平行，故选D.
5．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
[答案] D
[解析] 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与CC1是异面直线，DC∥AB，DD1∥CC1，DC∩DD1＝D.
BB1∥CC1，DC与BB1异面，故选D.
6．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
[答案] D
[解析] 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠D1A1A＝∠DAB，且D1A1与DA
平行且方向相同，而A1A与AB相交；∠D1A1B1＝∠DAB，D1A1与DA平行且方向相同，而A1B1∥AB，故选D.
二、填空题
7．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为________．
[答案] 梯形
[解析] 如右图
在△ABD中，∵＝＝，
∴EH∥BD且EH＝BD.
在△BCD中，∵＝＝，
∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形．
8．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
[答案] 平行
[解析] 如图所示，MN綊AC，
又∵AC綊A′C′，
∴MN綊A′C′.
三、解答题
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：∠NMP＝∠BA1D.
[解析] 如图，连接CB1、CD1，
∵CD綊A1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.
∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1.
∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，
∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP＝∠BA1D.
一、选择题
1．若直线a、b与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．三种关系都有可能
[答案] D
[解析] 以正方体ABCD－A1B1C1D1为例．
A1B1，AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1，BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB，BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D.
2．下列说法中正确的是( )
A．空间中没有交点的两条直线是平行直线
B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交
C．空间四条直线a、b、c、d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c
D．分别在两个平面内的直线是平行直线
[答案] C
[解析] A、B中，两直线可能异面，D中两直线可能相交，也可能异面．
二、填空题
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1＝O，E、F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有________条．
[答案] 4
[解析] ∵E、F分别是B1O与C1O的中点，
∴EF∥B1C1，
又∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1∥BC∥AD，
∴EF∥A1D1，EF∥BC，EF∥AD.
故在长方体的各棱中与EF平行的有4条．
4．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________．
[答案] ①②
[解析] 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．
三、解答题
5．求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．
[解析] 已知：点P?直线a.
求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．
∵P?a，∴点P和直线a确定一个平面α，在平面α内过点P作直线b与直线a平行(由平面几何知识)，故存在．
假设过点P，还有一条直线c与a平行．
∵a∥ b，a∥c，
∴b∥c，这与b、c共点P矛盾，故假设不成立，因此直线b惟一．
即过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．
6．已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：AE与DF是异面直线．
[解析] 由已知，得E、F不重合．
设△BCD所在平面为α，
则DF?α，A?α，E∈α，E?DF，
∴AE与DF异面．
7．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
[解析] ∵梯形ABCD中，AB∥CD，
E、F分别为BC、AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G、H分别为AD′、BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，
∴GH綊EF，∴四边形EFGH为平行四边形．
第一章 1.2 1.2.2 第2课时
一、选择题
1．(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a、b和平面α，下列命题中正确的是( )
A．若a∥α，b?α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b?α，则a∥α
D．若a∥b，a∥α，则b?α或b∥α
[答案] D
[解析] 若a∥α，b?α，则a∥b或a与b是异面直线；若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面；若a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故选D.
2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：
①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 由已知OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正确的只有①③，选B.
3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或都交于同一点
[答案] D
[解析] 当直线与平面平行时，a∥b∥c…，
当直线与平面α相交时，设l∩α＝O，则a、b、c，…是过O点的直线，故选D.
4．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 当a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；
直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；
l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；
a∥b，b∥α时a∥α或a?α，故④错；
l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，∴⑤正确；
如图长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，
∴⑥正确．
二、填空题
5．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是________．
[答案] 平行
[解析] ∵M∈AB，N∈AD，＝，∴MN∥BD，
∵MN?平面BDC，BD?平面BCD，∴MN∥平面BDC.
6．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是__________________．
[答案] l∥α或l?α
[解析] l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；
l?α时，直线l上所有点与α距离都是0；
l⊥α时，直线l上只能有两点到α距离相等；
l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．
三、解答题
7．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.
[解析] 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
∵O、M分别是AC、EF的中点，四边形ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形．
∴AM∥OE.
又∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
一、选择题
1．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
[答案] D
[解析] 如图所示，设M、N、P、Q为所在边的中点，则过这四个点中的任意两点的
直线都与面DBB1D1平行，这种情形共有6条；同理，经过BC、CD、B1C1、C1D1四条棱的中点，也有6条；故共有12条，故选D.
2．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] B
[解析] 如图①中，连接BC交NP于点E，则E为NP的中点，连接ME，则ME∥AB，
又AB?平面MNP，
ME?平面MNP，
∴AB∥平面MNP.
如图④中，连接CD，则AB∥CD，NP∥CD，
∴AB∥NP，又AB?平面MNP，NP?平面MNP，∴AB∥平面MNP.
二、填空题
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱CC1的位置关系是________，截面BA1C1和直线AC的位置关系是________．
[答案] 平行 平行
[解析] 如图所示，
平面AA1C1C∩平面BB1D1D＝OO1，
O为底面ABCD的中心，O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴OO1∥CC1.
又AC∥A1C1，A1C1?平面BA1C1，AC?面BA1C1，
∴AC∥面BA1C1.
4.如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交平面α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
[答案]
[解析] ∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，
∴＝，则EG＝＝＝.
三、解答题
5．如图，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
[解析] 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，
则PM∥QN.∴＝，＝.
∵AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，EA＝BD，
∴PM＝QN.
故四边形PMNQ是平行四边形．∴PQ∥MN.
∵PQ?平面CBE，MN?平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
6．在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF綊BC，证明：FO∥平面CDE.
[解析] 如图所示，取CD中点M，连接OM.
在矩形ABCD中，OM綊BC，又EF綊BC.
则EF綊OM，连接EM，
∴四边形EFOM为平行四边形，∴FO∥EM.
又∵FO?平面CDE，且EM?平面CDE，
∴FO∥平面CDE.
7．如图所示，一平面与空间四边形对角线AC、BD都平行，且交空间四边形边AB、BC、CD、DA分别于E、F、G、H.
(1)求证：EFGH为平行四边形；
(2)若AC＝BD，EFGH能否为菱形？
(3)若AC＝BD＝a，求证：平行四边形EFGH周长为定值．
[解析] (1)∵AC∥平面EFGH，平面ACD∩平面EFGH＝GH，且AC?面ACD，
∴AC∥GH，同理可证，AC∥EF，BD∥EH，BD∥FG.
∴EF∥GH，EH∥FG.∴四边形EFGH为平行四边形．
(2)设AC＝BD＝a，EH＝x，GH＝y，＝.
∵GH∥AC，
∴GH?AC＝DH?DA＝DH?(DH＋HA)．
即：y?a＝n?(m＋n)，
∴y＝a.
同理可得：x＝EH＝a.
∴当AC＝BD时，若m＝n即AH＝HD时，则EH＝GH，四边形EFGH为菱形．
(3)设EH＝x，GH＝y，
H为AD上一点且AH?HD＝m?n.
∵EH∥BD，∴＝.
即＝，∴x＝a.
同理：y＝a，
∴周长＝2(x＋y)＝2a(定值)．
第一章 1.2 1.2.2 第3课时
一、选择题
1．两个平面平行的条件是( )
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
[答案] D
[解析] 如图，平面β内可以有无数条直线与平面α平行，而平面α与平面β相交．
2．若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么a、b的位置关系是( )
A．无公共点 B．平行
C．既不平行也不相交 D．相交
[答案] A
[解析] ∵平面α∥平面β，∴α与β没有公共点，
又∵a?α，b?β，
∴a与b无公共点．
3．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题．
①?a∥b; ②?a∥b；
③?α∥β； ④?α∥β；
⑤?α∥a; ⑥?α∥a.
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①④⑤
C．①④ D．①③④
[答案] C
[解析] ①平行公理；②两直线同时平行于一平面，这两直线可相交，平行或异面；③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行；④面面平行传递性；⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内；⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可能平行也可能在平面内，故①、④正确．
4．可以作为平面α∥平面β的条件的是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
[答案] D
[解析] a∥β，则β中存在a′∥a，则面α内存在b′，使b∥b′，且a′与b相交，a与b′相交，∴α∥β.故选D.
二、填空题
5．若两直线a、b相交，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
[答案] 相交或平行
[解析] 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为模型．
A1B1∩A1D1＝A1，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD；
A1B1∩A1A＝A1，A1B1∥平面ABCD，
A1A∩平面ABCD＝A，
故b与α相交或平行．
6．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α、β、γ分别表示平面，a、b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.
其中正确的有________．(填序号)
[答案] ③
[解析] ①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．
三、解答题
7.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M为PC的中点，在DM上任取一点G，过G和AP作平面PAHG交平面DMB于GH，求证：AP∥GH.
[解析] 连接AC交BD于O点，在△PAC中，因为M、O分别为PC、AC的中点，所以OM∥PA，因为OM?平面MBD，PA?平面MBD，所以PA∥平面MBD，又因为平面PAHG∩平面MBD＝GH，PA?平面PAHG，所以PA∥GH.
一、选择题
1．若平面α∥β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条直线与a平行
C．存在无数条直线与a平行
D．存在惟一一条与a平行的直线
[答案] D
[解析] ∵α∥β，B∈β，∴B?α.
∵a?α，∴B、a可确定平面γ且γ∩α＝a，
γ与β交过点B的直线，∴a∥b.
∵a、B在同一平面γ内，
∴b惟一，即存在惟一一条与a平行的直线．
2．已知a是一条直线，过a作平面β，使β∥平面α，这样的β( )
A．只能作一个 B．至少有一个
C．不存在 D．至多有一个
[答案] D
[解析] 本题考查线面平行的性质．∵a是一条直线，∴a∥α或a与α相交或在平面α内．当a∥α时，β只有一个；当a与α相交或在平面α内时，β不存在，故选D.
二、填空题
3．已知α∥β，O是两平面外一点，过O作三条直线和平面α交于不在同一直线上的A、B、C三点，和平面β交于A′、B′、C′三点，则△ABC与△A′B′C′的关系是________，若AB＝a，A′B′＝b，B′C′＝c，则BC的长是________．
[答案] 相似
[解析] 已知α∥β，则AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，
∴△ABC与△A′B′C′相似，则两三角形的对应边成比例，即＝＝，
∴有＝，∴BC＝.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________________时，有MN∥平面B1BDD1.
[答案] M在线段FH上移动
[解析] 此时HN∥BD，MH∥DD1，
∴平面MNH∥平面BDD1B1，
∴MN∥平面B1BDD1.
三、解答题
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点，如图所示．
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
(2)求证：平面AMN∥平面EFBD.
[解析] (1)分别连接BD、ED、FB，由正方体性质知，B1D1∥BD.
∵E、F分别是C1D1和B1C1的中点，
∴EF綊B1D1，EF綊BD.
∴E、F、B、D四点共面．
(2)连接A1C1交MN于P点，交EF于点Q，分别连接PA、QO.∵M、N分别为A1B1、A1D1的中点，
∴MN∥EF，EF?面EFBD，∴MN∥面EFBD.
∵PQ綊AO，∴四边形PAOQ为平行四边形，
∴PA∥QO.而QO?面EFBD，
∵PA∥面EFBD，且PA∩MN＝P，PA、MN?面AMN，
∴平面AMN∥面EFBD.
6．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D.若PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
[解析] 因为点P的位置不确定，应分以下三种情况讨论．
(1)当点P在α上方时，如图，
∵PA∩PB＝P，β∩平面PCD＝CD，
α∩平面PCD＝AB，又α∥β，
∴AB∥CD.∴＝.
又PA＝6，AC＝9，PD＝8，
∴PC＝PA＋AC＝15.
∴PB＝＝.
∴BD＝PD－PB＝8－＝.
(2)当点P在α、β中间时，如图，
∵α∥β，∴AB∥DC.
∴△PAB∽△PCD.
∴＝.
∵AC＝9，PA＝6，∴PC＝3.
又PD＝8，∴PB＝＝＝16.
∴BD＝8＋16＝24.
(3)当点P在β下方时，由PA∴BD的长为或24.
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点．问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
[解析] 如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，
所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
第一章 1.2 1.2.3 第1课时
一、选择题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
[答案] B
[解析] 三角形两边所在直线必相交，该直线必垂直于三角形所在平面，故该直线与第三边也垂直．
2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
[答案] D
[解析] 当l∥α时，直线l上所有点到α的距离都相等；当l与α相交(包括垂直)时，对于l上任一点P，在平面另一侧的直线上总存在一点P′，有P、P′到平面的距离相等，∴不确定．
3．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．不能确定
[答案] B
[解析] 设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥平面α，直线l⊥a，l⊥b.
过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.
同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，
∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.
4．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是( )
A．b⊥β B．b∥β
C．b?β D．b?β或b∥β
[答案] D
[解析] 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为模型．
A1A⊥平面ABCD，A1A⊥A1B1，AA1⊥AB，A1B1∥平面ABCD，AB?平面ABCD，故选D.
5．下列命题
①?a⊥b； ②?b⊥α；
③?a⊥b; ④?a⊥α；
⑤?b⊥α； ⑥?b∥α.
其中正确命题的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] A
[解析] 因为a⊥α，则a与平面α内的任意直线都垂直，∴①正确．又若b∥α，a⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a⊥b成立，∴③对；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面；∴②正确；由线面垂直的判定定理知④错；
a∥α，b⊥a时，b与α可以平行相交(垂直)也可以b?α，∴⑤错．当a⊥α，b⊥a时，有b∥α或b?α，∴⑥错．
6．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．a在平面α内 D．不确定
[答案] D
[解析] 直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a?α，或a∥α，或a⊥α，或a与α斜交．
二、填空题
7．如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α的关系是________．
[答案] PO⊥地面α
[解析] ∵PO＝4，OA＝OB＝3，PA＝PB＝5，
∴PO2＋AO2＝PA2，PO2＋OB2＝PB2，
∴PO⊥OA，PO⊥OB.
又OA∩OB＝O，∴PO⊥平面AOB，∴PO⊥地面α.
8.如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是⊙O上异于A、B的点，则△PAB、△PAC、△PBC、△ABC中，直角三角形的个数是________个．
[答案] 4
[解析] ∵PA⊥⊙O所在的平面，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∴△PAB、△PAC为直角三角形．
又∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，
∴△ABC为直角三角形．
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC为直角三角形．
三、解答题
9．(2014·山东临沂高一期末测试)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.
[解析] ∵在正方形ABCD中，AD⊥AE，DC⊥CF，
∴折起之后的几何体中，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
A′E∩A′F＝A′，
∴A′D⊥平面A′EF，
∴A′D⊥EF.
一、选择题
1．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多有一个
C．有无数多个 D．一定不存在
[答案] B
[解析] 当a⊥b时，有且只有一个．
当a与b不垂直时，不存在．
2．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝r，则球的体积与三棱锥体积之比是( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
[答案] D
[解析] 此三棱锥的高为球的半径，ABC所在大圆面积为πr2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形．腰长为r，所以三棱锥底面面积为()2＝r2，∴球体积与三棱锥体积之比为4π，故选D.
二、填空题
3．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)
[答案] 直线
[解析] 过点A与AB垂直的所有直线都在同一个平面β内，
∵AB是α的斜线，∴β与α不平行．从而β与α的所有公共点都在同一条直线上，即β与α的交线上．从而β内所有过点A与α相交的直线，其交点都在此交线上．
4.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
[答案] 2
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，
又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ.
∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，
当圆与BC相切时，点Q只有一个，
故BC＝2AB＝2.
三、解答题
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥面B1ED1.
[解析] ∵ABCD－A1B1C1D1为长方体，
∴AB⊥平面BB1C1C，
又∴B1E?平面BB1，C1C，
∴AB⊥B1E，又∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴B1E⊥平面ABC1，
∴B1E⊥AC1，连接A1C1，∵AB＝AD，∴长方体上、下底
面ABCD、A1B1C1D1为正方形．∴A1C1⊥B1D1.
又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，B1E∩B1D1＝B1，
∴AC1⊥平面B1ED1.
6.如图所示，△ABC中，∠B为直角，P是△ABC外一点，且PA＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MN⊥AB.
[解析] ∵CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，
∴CB⊥平面APB.过M作ME∥CB，
则ME⊥平面APB，
∴ME⊥AB.若MN⊥AB，
∵ME∩MN＝M，则AB⊥平面MNE，
∴AB⊥EN.取AB中点D，连接PD，
∵PA＝PB，∴PD⊥AB，∴NE∥PD.
又M为PC中点，ME∥BC，
∴E为PB中点．∵EN∥PD，
∴N为BD中点，故当N为AB的四等分点(AN＝3BN)时，MN⊥AB.
7．(2014·山东济南一中月考)如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上异于A、B的任意一点，AN⊥PM，点N为垂足，求证：AN⊥平面PBM.
[解析] 连接AM，BM.
∵AB是圆O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
第一章 1.2 1.2.3 第2课时
一、选择题
1．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列四个命题：
①α∥β，l?β?l⊥m ②α⊥β?l∥m
③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α∥β
其中正确的两个命题是( )
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
[答案] D
[解析] ?l⊥m，故①对；
?l∥β或l?β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；
?α⊥β，∴③对；
?m?α或m∥α，无论哪种情况与m?β结合都不能得出α∥β，∴选D.
2．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
[答案] D
[解析] 由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，且CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故选D.
3．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
[答案] D
[解析] 如图(1)，β∥α，m?β，n?β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；
如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；
如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m?α，m∥l，故C错．故选D.
点评：D选项证明如下：
α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，
∵m⊥β，∴m∥n，∵n?α，m?α，∴m∥α.
4．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
[答案] C
[解析] α⊥β，a?α，b?β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C.
二、填空题
5．Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是6，那么点P到平面α的距离等于__________．
[答案] 12
[解析] 作PO⊥平面α，作OE⊥AC，OF⊥AB，则AC⊥平面POE，AB⊥平面POF，
∴PE＝PF＝6，从而OE＝OF，
∴∠EAO＝∠FAO＝45°，
在Rt△PAE中，PA＝24，PE＝6，
∴AE2＝PA2－PE2＝216，
又在Rt△OEA中，OE＝AE，
∴在Rt△POE中，PO＝
＝＝＝12.
6．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．
[答案] MN⊥AB
[解析] 如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC.∵MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB?平面ABCD，∴MN⊥AB.
三、解答题
7．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.
[解析] 如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．
取BC的中点N，连接AN、DN，
则DN∥A1B.
又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.
又△ABC是正三角形，
∴AN⊥BC.
又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN?平面ABC，
∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C?平面BB1C1C，
∴B1C⊥AN.
又AN?平面AND，DN?平面AND，AN∩DN＝N，
∴B1C⊥平面AND.
又C1A?平面AND，∴B1C⊥AC1.
一、选择题
1．(2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
[答案] C
[解析] 该题考查立体几何中线线、线面、面面的平行与垂直，考查推理论证能力与空间想象能力．
A选项可以m?α，B可以m?α或m∥α，C选项证明m⊥β，n⊥β，∴m∥n，又n⊥α，∴m⊥α，D可以m?α.举反例说明命题错误，正确的命题要有充分的说理根据(证明)．
2．已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 如图，PH⊥平面ABC于H，
PA⊥BC，PB⊥AC，AH⊥BC，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；对于②，易知PB⊥平面PAC，所以PB⊥AC，同理，PA⊥BC，同①，所以H是△ABC的垂心；对于③，∠ABC＝90°，H是AC的中点，所以HA＝HC＝HB，又∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，所以PA＝PB＝PC；对于④，∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，PA＝PB＝PC，所以HA＝HC＝HB，即H是△ABC的外心．①②③④都正确，故选D.
二、填空题
3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)
[答案] BM⊥PC(其它合理即可)
[解析] ∵四边形ABCD的边长相等，
∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.
若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．
∴当BM⊥PC时，PC⊥面BDM.
∴面PCD⊥面BDM.
4．(2014·河南南阳一中高一月考)下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．
[答案] ①④⑤
[解析] ①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A－PMN是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②.
三、解答题
5.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．
(1)求证：DE＝DA；
(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；
(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.
[解析] (1)取EC的中点F，连接DF.
∵CE⊥平面ABC，
∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.
∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.
(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊CF.
∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.
又∵BN?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，
∴DM⊥平面ECA.
又∵DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.
6．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点．
(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
[解析] (1)解法一：取A1B1的中点F1，连接FF1、C1F1，
∵FF1∥BB1∥CC1，∴F1∈平面FCC1，
∴平面FCC1即为平面C1CFF1，
连接A1D、F1C，∴A1F1綊D1C1綊CD，
∴四边形A1DCF1为平行四边形，∴A1D∥F1C.
又∵EE1∥A1D，∴EE1∥F1C，
∵EE1?平面FCC1，F1C?平面FCC1，
∴EE1∥平面FCC1.
解法二：∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，
∴CD綊AF，
∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1，
又EE1?平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1.
(2)证明：连接AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，
又F为AB的中点，∴AF＝FC＝FB，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，
∴AC⊥平面BB1C1C，而AC?平面D1AC；
故平面D1AC⊥平面BB1C1C.
7．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D?DC1的值．
[解析] (1)∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，
又∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C，
∴平面AB1C⊥平面A1BC1 .
(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
∵A1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，∴A1B∥DE.
又E是BC1的中点，∴D为A1C1的中点．
即A1D?DC1＝1.
