珠海市斗门区第一中学高一年级数学 6月月考答案
5 5 ( 2 i) 5
2. B【详解】 = = 2 i，因此，复数 的共轭复数为 2 + i .故选 B.
i 2 ( 2+ i)( 2 i) i 2
4. B【详解】对A ：若 m//l，则 m与 α，β都平行，或m 在平面 ，或者 内，故A 错误；
对 B ：若 m与 α，β都平行，容易知 m//l，故 B 正确；
对C ：若 m与 l异面，则 m与 α，β都相交，或m 与其中一个平面相交，与另一个平行，
故C 错误；
对 D ：若 m与 α，β都相交，则 m与 l异面，或者m 与 l 相交，故D 错误.
综上所述， B 选项正确.故选：B.
6． A 解：取 AB的中点 E，PB的中点 F，连接 DE，EF，DF，DB，如图所示：
∵CD∥AB，且 CD＝ ，∴CD∥BE，CD＝BE，又 CD⊥BC，CD＝BC
∴四边形 CDEB为正方形，∴DE∥BC，
∵E，F分别为 AB，PB的中点，∴EF∥PA，
∴异面直线 PA与 BC所成的角为∠DEF，
设 AB＝2BC＝2CD＝2PD＝2，∴DE＝BC＝1，
又∵PD⊥平面 ABCD，CD⊥BC，
∴PA＝ ＝ ，PB＝ ＝ ，
∴EF＝ PA＝ ，DF＝ ＝ ，
高一数学试卷第 1 页，共 8 页
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在△DEF中，cos∠DEF＝ ＝ ＝ ．故选：A．
8. A【详解】如图所示，
设点M为 ABC 外接圆的圆心，当点P、O、M 三点共线时，且P、M 分别
位于点O 的异侧时，三棱锥P ABC 的体积取得最大值.
9 3
因为 ABC 的面积为 ，所以边长为 3，
4
1 9 3 9 3
由于三棱锥P ABC 的体积的最大值为 PM = ，得PM = 3，
3 4 4
易知 SM⊥平面 ABC，则三棱锥P ABC 为正三棱锥，
3
2AM = = 2 3
ABC 的外接圆直径为 ，所以 AM = 3 ,
sin
3
设球 O的半径为 R，则R2 =OA2 = AM 2 + (PM PO)2 = 3+ (3 R)2 ,解得 R = 2 ,
所以球的表面积为 S = 4 R2 =16 .故选：A
9. ABC【详解】解:对于 A 选项,由题知B =180 A C =180 45 75 = 60 ,此时三角形已知三角
和一边,有唯一解,故 A 选项满足;
对于 B 选项,两边及夹角已知,由唯一解,故 B 选项正确;
1
b a 16
对于 C 选项,由正弦定理 = 得 bsin A 2 ,故B = ,此时三角形为直角三角
sin B sin A sin B = = =1 2
a 8
形,由唯一解,故 C 选项正确;
对于 D 选项, 因为a =12 c =15 ,故 A C ,由于 A =100 ,故三角形无解.故选：ABC
10. ABC【详解】连接GF , BC F ,G, M CC , BB , B C MG // BC1，因为点 分别为 1 1 1 1的中点，所以 1 ，
GF // B1C1 且GF = B1C1，正方体中， A1D1与 B1C1 平行且相等， AB 与C1D1平行且相等，
高一数学试卷第 2 页，共 8 页
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所以 A1D1与GF 平行且相等，所以 ABC1D1是平行四边形，
A1GFD1是平行四边形，所以 AD1 / /BC1， A1G / /D1F ，
由 AD1 / /BC1得 AD1 / /MG ，
由 A1G 平面 AD1F ，D1F 平面 AD1F ，得 A1G / / 平面 AD1F ，
同理MG / / 平面 AD1F ，
而 A1G GM = G． A1G,GM 平面 A1GM ，所以平面 AD1F / / 平面 A1MG ，A 正确；
由以上证明过程知 A1GM （或其补角）是直线 AD1 与直线 A1G 所成角，
1 2 √5 1 2 1 2 √2
= 2 ， ，三角形 A GM 是等腰三角形， 1 1 = √1 + ( ) = = √( ) + ( ) = 12 2 2 2 2
1 2
10
所以 cos A1GM =
2 2 = ，所以 B 正确．
5 10
2
因为平面 ADD1A1 / /平面BCC1B1，所以截面 AD1F 与这两个平面的交线平行，因此取BC 中点 N ，
连接 AN , NF ，则 NF // BC1 ，所以 NF // AD ，所以截面就是梯形 ANFD1 1，
2 2
5 2 5 2 3 2
AD1 = 2 ， AN = D F = ，FN = ，梯形的高为1 h = =
，
2 2
2 4 4
1 2 3 2 9
截面面积为 S = + 2 = ．C 正确． 2 2 4 8
MG // BC1 // FN ，且C1G 与 BC1在平面 AD FN 的同侧，MG, BC1, FN1 在同一平面内，所以C1G 与BC1
到平面 AD1FN 的距离不相等，也即点C1与点G 到平面 AFD1的距离不相等，D 错．故选：ABC．
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14.【答案】2
高一数学试卷第 4 页，共 8 页
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【详解】因为向量e ， e 为单位正交基底，a = 2e1 e2 ，b = e1 + ke2 ， a ⊥ b 1 2
2 2
所以 (2e1 e2 ) (e1 + ke2 ) = 0 ，即2e1 + (2k 1)e e 1 2 ke2 = 0
所以2 k = 0，即 k = 2故答案为：2
15． 4 + 2 2 【详解】由题意得， AC ⊥ BC ，且 AC = BC = 2，则
AB = 4 + 4 = 2 2 ，则 ABC 的周长为2+ 2+ 2 2 = 4+ 2 2 .
故答案为： 4 + 2 2 .
16.【答案】30 3
【详解】解:如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为 AA '，
因为圆锥形礼品盒，其母线长为 l = 30cm ，底面半径为
2
r =10cm ，设 ASA ' = ，所以 AA ' = 2 r = l ，即 = ，
3
所以在等腰三角形 ASA '中，取 AA '中点 B ，则 ABS 为直角三角形，
3
且 SAB = 30 , ASB = 60 ， AS = 30，所以 AB = AS sin ASB = 30 =15 3 ，
2
所以 AA ' = 2AB = 30 3 .故答案为：30 3
17
2
4
5
6
7
8
9
10
18．解：（1）∵ 共线，∴ ，
即 ，
∴s ，又 A∈（0，π），∴ ，
∴ ，解得： ．
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（2）∵a＝2，△ABC的周长为 6，∴b+c＝4，
由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣3bc＝4，
解得：bc＝4，∴△ABC的面积 ．
19.解：(1) BC ∥平面PAD, BC 平面 ABCD,
平面PAD 平面 ABCD = AD ,所以BC∥AD .
(2)因为平面PAD ⊥平面 ABCD,平面PAD 平面 ABCD = AD ，
BA ⊥ AD ，所以BA ⊥平面PAD ，又因为BA 平面PAB，
所以平面PAB ⊥平面PAD .
(3)取 AD 的中点 N ，连接CN , EN ，E, N 分别为 PD, AD 的中点，
所以EN ∥PA，
1
EN 平面PAB， PA 平面PAB，所以EN∥平面PAB，又因为BC = AD ，BC∥AD，所以四边
2
形 ABCN 为平行四边形，所以CN∥ AB ，CN 平面PAB， AB 平面PAB，所以CN 平面
PAB，CN NE ，所以平面CNE 平面PAB，又因为MN 平面CNE ，所以MN ∥平面PAB .线段
AD 上存在点 N，使得MN ∥平面PAB .
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21.解（1）证明：因为 AB ⊥ AA1 ， AB ⊥ AC ， AC∩AA1 = A
所以 AB ⊥平面 ACC1A1 ， A1C 平面 ACC1A1 ，所以 AB ⊥ A1C
又因为直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 = AC ，
所以四边形 ACC1A1 为正方形，所以 AC1 ⊥ A1C .
因为 AC1 AB = A，所以 A1C ⊥平面 ABC1，
BC1 平面 ABC1，所以 A1C ⊥ BC1 .
（2）过 A1作 A1D ⊥ B1C1 ，垂足为D ，连CD，则 A1D ⊥平面BCC1B1，
A1CD 为 A1C 与平面BCC1B1所成的角.因为 AA1 = AC =1，则 A 1C = 2 ，
A D A
所以sin ACD = 1 = 1
D 2 1
= ，所以 A1D =1 .
AC 2 4 21
A D 1
在 Rt A1C1D
1
中，sin A1C1D = = ，所以 A1C1D = 30 .
A1C1 2
在Rt△A1B C
3
1 1 中， A B = AC . 1 1 1 1 tan 30 =
3
1 1 3 3
所以VA A BC =VB A AC = 1 1 = . 1 1 3 2 3 18
22．（1）解：因为a + 2c = b cosC + 3bsin C ，由正弦定理得：
sin A + 2sin C = sin B cosC + 3 sin B sin C ，
A = (B +C) sin A = sin(B +C)
则 sin (B +C ) + 2sin C = sin B cosC + 3 sin B sin C，
即 sin B cosC + cos B sin C + 2sin C = sin B cosC + 3 sin Bsin C ，
所以2sin C = 3 sin B sin C cos B sin C ，
又C (0, )，则sin C 0 ，
所以 3 sin B cos B = 2 ，即sin B =1，
6
5 2
由 B (0, )，得B , ，所以B = ，所以B = ；
6 6 6 6 2 3
（2）解：因为b2 = a2 + c2 2ac cos B ，所以a2 + c2 + ac = 9，
1
因为 D为 AC的中点，所以BD = (BA+ BC )，
2
1 a2 22 2 2 + c ac 9 2ac
则 BD = (BA + BC + 2BA BC ) = = ，
4 4 4
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a b c
因为 = = = 2 3 ，
sin A sin B sin C
所以a = 2 3 sin A，
c = 2 3 sin C = 2 3 sin A = 3cos A 3 sin A，
3
1 cos 2A
则 ac = 2 3 sin A(3cos A 3 sin A) = 3 3 sin 2A 6
2
= 3 3 sin 2A + 3cos 2A 3
，
= 6sin 2A + 3
6
5
因为 A 0, ，所以2A+ , ，
3 6 6 6
1
所以sin 2A+ ,1 ，
6 2
9 2ac 3 9 3 3
则 ac (0,3 ，所以 , ，所以BD , . 4 4 4 2 2
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{#{QQABBYAAoggIQBAAAAACUwXiCgCQkgGAAKgOAAAYoEABiRNABAA=}#}珠海市斗门区第一中学高一年级数学 6月月考
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
2
1．已知sin = ，则cos ( 2 )＝ （ ）
3
1 1 5 5
A． B． C． D．
9 9 3 3
5
2．已知 i 为虚数单位，复数 的共轭复数为 （ ）
i 2
A． i + 2 B． i 2 C． 2 i D．2 i
3．如图，在 ABC 中D、E 分别是 AB、AC的中点， F 是CD、BE的交
→ → →
点, AF = AB+ AC ，则 + = （ ）
2 4
A． B．
3 3
5 7
C． D．
6 6
4. 在空间中，α，β 表示平面，m 表示直线，已知 α∩β=l，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 m//l，则 m 与 α，β 都平行 B. 若 m 与 α，β 都平行，则 m//l
C. 若 m 与 l 异面，则 m 与 α，β 都相交 D. 若 m 与 α，β 都相交，则 m 与 l 异面
π
5．函数 f (x) = sin2x cos2x x 0, 的值域为 （ ）
2
A． 2,2 B． 2, 2 1,1 1, 2 C． D．
6．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，CD⊥BC，CD∥AB，AB
＝2BC＝2CD＝2PD，则异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为（ ）
3 6
A． B．
3 3
3 6
C． D．
6 6
7．已知向量a = (2,1)，b = (0,1)，若向量 c 满足 a c = 8，b c = 2，则 c = （ ）
A．13 B．12 C． 13 D．2 3
9 3
8．已知 ABC 是面积为 的等边三角形，其顶点均在球O 的表面上，当点 P 在球O 的表
4
9 3
面上运动时，三棱锥P ABC 的体积的最大值为 ，则球O 的表面积为 （ ）
4
32 27
A．16 B． C． D． 4
3 4
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二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，由已知条件解三角形，其中有唯一解的
是 （ ）
A． b = 30, A = 45 ,C = 75 B．a =15,c =14, B = 75
C．a = 8,b =16, A = 30 D．a =12,c =15, A =100
10．已知正方体 ABCD — A1B1C1D1的棱长为1，如图，点F ,G, M 分别为CC1, BB1, B1C1的中
点，则下列说法正确的是 （ ）
A．平面 AD1F / / 平面 A1MG
10
B．直线 AD1 与直线 A1G 所成角的余弦值为
10
9
C．平面 AFD1截正方体 ABCD — A1B1C1D1 所得截面的面积为
8
D．点C1与点G 到平面 AFD1的距离相等
π
11．已知函数 f ( x)的图象是由函数 y = 2sin x cos x的图象向右平移 个单位得到，则（ ）
6
π π
A． f ( x)的最小正周期为 π B． f ( x)在区间 , 上单调递增
6 3
π π
C． f ( x)的图象关于点 ,0 对称 D． f ( x)的图象关于直线 x = 对称
6 3
12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1 是一个正八
边形窗花，图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形 ABCDEFGH 的边
长为 2 ，P 是正八边形 ABCDEFGH 边上任意一点，则下列结论正确的是 （ ）
A．BG = 2AH
2
B． AD 在 AB 向量上的投影向量为 +1 AB
2
C．若 P 在线段BC 上，且 AP = xAB + y AH ，则
x + y 的取值范围为 1,2+ 2
D．若OA FC = (1+ 2 )PA ED，则 P 为 ED的中点
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．1+ i + i2 + i3 + + i2024 = __________．
14．设向量 e ， e 为单位正交基底，若a = 2e1 e2 ，b = e1 + ke1 2 2 ，且 a ⊥ b，则 k = ______．
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15．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的 ABC 的直观
图，已知 A C ∥ y 轴，B C ∥ x 轴且2A C = B C = 2，则 ABC
的周长为___________.
16．现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为30cm，底面半径为10cm，从底面圆周上一点A
处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A 点，则所用金色彩线的最短长度为
______cm．
四、解答题：第 17题 10分，18-22题每题 12分。
5(1 i) 2
17．（10 分）已知复数 z = + (2+ i) ， i 为虚数单位．
1+ 2i
(1)求 | z |和 z ；
(2)若复数 z 是关于 x 的方程 x2 +mx + n = 0的一个根（其中m, n R ），求 m+n 的值．
18. （12 分） 已知△ABC 的三内角 A，B，C，m = (2sin A, 1)与 n = (3, sin A+ 3 cos A)共
线．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a＝2，△ABC 的周长为 6，求△ABC 面积 S
19．（12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD ⊥平面
1
ABCD, BC ∥平面PAD, BC = AD ， ABC = 90 ，E 是PD的中
2
点．
(1)求证：BC∥AD；
(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；
(3)若 M 是线段CE 上任意一点，试判断线段 AD 上是否存在点 N，
使得MN ∥平面PAB？请说明理由．
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20．（12 分）珠海长隆的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮
的半径为 30 米，轮上最低点与地面的距离为 2 米，沿逆时
针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T = 24 分钟．在圆周
上均匀分布 12 个座舱，标号分别为1 ~ 12（可视为点）．现
4 号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为 t
分钟．
(1)当 t =18时，求 1 号座舱与地面的距离；
(2)记 1 号座舱与 5 号座舱高度之差的绝对值为H 米，若在0≤ t ≤ t0 这段时间内，H 恰有
三次取得最大值，求 t0 的取值范围．
21. （12 分） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，
BAC = 90 ， AA1 = AC =1 .
（1）求证： A1C ⊥ BC1 ；
2
（2）若 A1C 与平面BCC1B1所成角的正弦值为 ，求三棱锥
4
A A1 BC 的体积.
22．（12 分）
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知a + 2c = b cosC + 3bsin C .
(1)求角 B；
(2)若b = 3，D 为 AC 的中点，求线段 BD 长度的取值范围.
高一数学试卷第 4 页，共 4 页
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