2022-2023学年人教A版高二理科数学下学期期末达标测评卷（A卷）（含解析）

2022-2023学年人教A版高二理科数学下学期
期末达标测评卷（A卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每个人帽子的颜色互不相同.乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为( )
A.红、黄、蓝 B.黄、红、蓝 C.蓝、红、黄 D.蓝、黄、红
3.已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是( )
A.252 B.-252 C.210 D.-210
4.设复数z的共轭复数满足，则等于( )
A.1 B. C. D.
5.某产品的宣传费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：
宣传费用x/万元 2 3 4 5
销售额y/万元 24 30 42 50
根据上表可得回归方程，则宣传费用为6万元时，销售额最接近( )
A.55万元 B.60万元 C.62万元 D.65万元
6.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
7.已知随机变量，且，则( )
A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.9
8.我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅衣发展.某校高一新生中的5名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑倶乐部”“篮球之家”“围棋苑”4个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法种数为( ).
A.72 B.108 C.180 D.216
9.某商场为了解销售活动中某商品销售量y与活动时间x之间的关系，随机统计了某5次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：
活动时间x 2 4 5 6 8
销售量y 25 40 60 70 80
由表中数据，销售量y与活动时间x之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，则的值为( )
A.10.75 B.10.25 C.9.75 D.9.25
10.设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
11.随机变量的分布列为
1 2 3
P
则当p在内增大时，有( )
A.增大，增大 B.增大，先增大后减小
C.减小，先增大后减小 D.减小，减小
12.已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在处的切线与直线垂直，则实数_________.
14.己知，则________.（用数字作答）
15.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若，则____________.
16.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如下表所示.（残差=观测值-预测值）
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 m
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为-0.15，则表中m的值为__________.
三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）某物流公司运用新技术进行公司管理.为了解其管辖的收发部的经营状况，运用大数据技术随机记录了该部开业后第1~5月的月营业额y（单位：万元）与月份x的数据，如表：
x 1 2 3 4 5
y 10 12 15 14 19
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）若在这些样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率.
附：回归直线方程中，，.
18.（12分）2020年，国产操作系统银河麒麟V10面世，它不仅可以充分适应5G时代需求，其独创的技术还能支持海量安卓应用，并已经将300万余款安卓适配软硬件无缝迁移到国产平台.银河麒麟V10作为国内安全等级最高的操作系统，是首款实现具有内生安全体系的操作系统，关键技术上不断实现创新和突破，有能力成为承载国家基础软件的安全基石.为了解用户对银河麒麟的使用情况，某电脑公司抽取100户电脑购买者进行调查，数据如下:40名40岁以上的电脑购买者中有10名不愿意使用银河麒麟，60名40岁以下的调查者中有5名不愿意使用银河麒麟.
(I)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意安装银河麒麟系统与年龄有关
愿意安装 不愿意安装 合计
40岁以上的用户
40岁以下的用户
合计
(Ⅱ)以频率作为概率，为了解不愿意安装银河麒麟系统的原因，从样本中不愿意安装银河麒麟系统的用户中抽取2人，再从除样本外的所有购买者中不愿意安装银河麒麟系统的用户中随机抽取2人，共4人进行座谈，求参与座谈的4人中恰有3人年龄在40岁以下的概率.
附：.
0.050 0.010 0.005
3.841 6.635 7.879
19.（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质量检测部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如图所示：
(1)求所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)(ⅰ)由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；
(ⅱ)将频率视为概率，若某人从该市某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和数学期望.
附：计算得所抽取的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差.
若，则，.
20.（12分）已知函数.
(1)若函数在上恒成立，求a的取值范围；
(2)若是函数的两个零点，证明：.
21.（12分）为了弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，大力营造校园冰雪运动文化氛围，助力2022年冬奥会和冬残奥会，某校组织全校学生参与“激情冰雪，相约冬奥”冰雪运动知识竞赛.为了了解学生竞赛成绩，从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生，将其成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，，，，已知成绩在内的有60人.
（1）求样本容量，并估计该校本次竞赛成绩的中位数.
（2）将成绩在内的学生定义为“冰雪达人”，成绩在内的学生定义为“非冰雪达人”.请将下面的列联表补充完整，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关？
男生 女生 合计
冰雪达人 40
非冰雪达人 30 60
合计 60
（3）根据（2）中的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取2人，记被抽取的2人中“冰雪达人”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.
附：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
，.
22.（12分）已知函数，.
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：，，，故在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.
2.答案：B
解析：本题考查简单的逻辑推理.丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄小；又乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人是丙.综上所述，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝.故选B.
3.答案：B
解析：由的展开式中二项式系数的和是1024，故，所以.由二项式定理得展开通项为，
当时为常数项，
故选：B.
4.答案：B
解析：，，.故选B.
5.答案：B
解析：，，由回归直线过样本点的中心，得，得，所以.当时，，所以销售额最接近60万元，故选B.
6.答案：A
解析：三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：（1）若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；（2）若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测也正确，与题设矛盾；（3）若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意，故选A.
7.答案：A
解析：因为，所以，所以，故选A.
8.答案：C
解析：根据题意分析可得，必有2人参加同一社团.首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则有3种情况.再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有种情况；若甲是单独1个人参加一个社团，则有种情况.则除甲外的4人有种参加方法.故不同的参加方法种数为.故选C.
9.答案：C
解析：线性回归方程过样本中心点，，
，，.故选：C.
10.答案：C
解析：令，则，因为，所以，所以在R上单调递减.因为，所以不等式可转化为，即，又在R上单调递减，所以，故不等式的解集为，故选C.
11.答案：B
解析：，，所以，所以p在内增大时，增大，先增大后减小，故选B.
12.答案：D
解析：因为函数与的图象关于直线对称，，
所以，所以，则.
当时，，是上的增函数.
因为，所以，
函数在上有唯一零点，不符合题意；
当时，有唯一零点，不符合题意；
当时，令，得，在上，，函数是增函数；
在上，，函数是减函数，故在上有极大值为.
若无零点，则，解得，
故实数k的取值范围是，故选D.
13.答案：-2
解析：由题可知，可得在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得.
14.答案：34
解析：令，得；令，得.
二项式的通项公式为，
又，，
所以.
故答案为：34.
15.答案：
解析：由题意，知，得，所以，，，所以，所以.
16.答案：4.5
解析：由在样本处的残差为，可得，则，解得.
由题表可知，，产量x的平均数为，
由经验回归方程为过点，
可得.则，
解得.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）根据表中数据得，，，
，，
所以，
于是，
所以y关于x的回归直线方程为.
（2）用m，n分别表示所取的两个样本点所在的月份，
则该试验的基本事件可以表示为实数组，
于是该试验的基本事件空间
，
共10个基本事件.
当或，即m，n取1或2时，点在回归直线上.
设“恰有一点在回归直线上”为事件A，
则中，
共6个满足条件的事件，
所以.
18.答案：(I)
愿意安装 不愿意安装 合计
40岁以上的用户 30 10 40
40岁以下的用户 55 5 60
合计 85 15 100
有95%的把握认为是否愿意安装银河麒麟系统与年龄有关
(Ⅱ)
解析：(I)由题意得2×2列联表，
愿意安装 不愿意安装 合计
40岁以上的用户 30 10 40
40岁以下的用户 55 5 60
合计 85 15 100
则，
所以有95%的把握认为是否愿意安装银河麒麟系统与年龄有关.
(Ⅱ)由题意共抽取4人参加座谈，所抽取的4人中40岁以下的用户有3人的情形包含两种情况，第一种情况为从样本中不愿意安装银河麒麟系统的用户中所抽取的2人都在40岁以下，而从样本外不愿意安装银河麒麟系统的用户中所抽取的2人中有1人在40岁以下，其概率为
;
第二种情况为从样本中不愿意安装银河麒麟系统的用户中所抽取的2人中1人在40岁以下，而从样本外不愿意安装银河麒麟系统的用户中所抽取的2人都在40岁以下，其概率为，
所以参与座谈的4人中恰有3人的年龄在40岁以下的概率.
19.答案：(1)
(2)(ⅰ)0.6827；(ⅱ)
解析：(1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的平均数为
.
(2)(ⅰ)服从正态分布，且，，
，落在内的概率是0.6827.
(ⅱ)根据题意得，；
；；
；.
的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.
20.答案：(1)取值范围是.
(2)证明过程见解析.
解析：(1)定义域为，
，即在上恒成立.
令，则.
当时，；
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
.
若函数在上恒成立，
则，
a的取值范围是.
(2)证明，.
是的两个零点，
故，
两式相减得.
要证，
只需证，即证，
即证，
证，即成立，
即证成立.
不妨设，则，
故只需证.
令，设.
，
在上单调递增，则，
故，即成立，
不等式成立.
21.答案：（1）样本容量为100，估计该校本次竞赛成绩的中位数为76.875
（2）列联表见解析，有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关
（3）
解析：（1）设样本容量为n，则，解得，所以样本容量为100.
由频率分布直方图可知，，，，各组频率分别为0.08，0.20，0.32，0.28，0.12，
所以前三组的频率之和为0.6，所以中位数在中.设中位数为x，则，解得，
所以估计该校本次竞赛成绩的中位数为76.875.
（2）完成列联表如下：
男生 女生 合计
冰雪达人 30 10 40
非冰雪达人 30 30 60
合计 60 40 100
，
故有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关.
（3）根据（2）可得随机抽取一人为“冰雪达人”的概率，
根据题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的数学期望.
22、（1）答案：当时，在上单调递增
解析：解法一：(根据根是否存在和根与端点的大小比较分类讨论)
函数的定义域为，，
①当时，在恒成立，f(x)在上单调递增；
②当时，令，则，
设，令，则.
a.若，则，则在恒成立，
在单调递增，，
所以在恒成立，
b.若时，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，
，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增.
解法二：(根据导数值恒同号，参数范围进行讨论)
函数的定义域为，，
由，令则，
令，则，
当时，；当时，；当时，；
所以函数在单调递减，在单调递增，
当时，，
所以当时，在恒成立，此时，
当时，在上单调递增.
解法三：(根据导数值放缩，恒同号讨论)
函数的定义域为，，
，，，
，
令，
，，
当时，，单调递减，
当x＞1时，，单调递增，
.
在恒成立，在上单调递增；
所以，当时，在上单调递增；
（2）答案：的最大值为3
解析：依题意，，则，所以.
设，则，，，
，，，
设则，
设，则，
在单调递增，则，
，则在单调递增，
又，即，，
，所以的最大值为3.