2022-2023学年人教A版高二理科数学下学期期末达标测评卷（B卷）（含解析）

2022-2023学年人教A版高二理科数学下学期
期末达标测评卷（B卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则( )
A.2 B. C. D.
2.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是( )
A.甲被录用了 B.乙被录用了
C.丙被录用了 D.无法确定谁被录用了
3.已知复数，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
5.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：
甲说：“A作品获得一等奖”；
乙说：“C作品获得一等奖”；
丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“A或D作品获得一等奖”.
评奖揭晓后发现这四位同学中只有两位预测正确，则获得一等奖的作品是( )
A.A作品 B.B作品 C.C作品 D.D作品
6.已知某产品的营销费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示：
营销费用x/万元 2 3 4 5
销售额y/万元 15 20 30 35
根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为( )
A.40.5万元 B.41.5万元 C.42.5万元 D.45万元
7.已知随机变量，且，则的最小值为( )
A.9 B.8 C. D.6
8.已知的展开式中的系数为40，则m的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
9.已知函数(e为自然对数的底数)，若在区间上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有( )
A.249种 B.498种 C.1052种 D.8640种
11.若离散型随机变量X的分布列为（，），则的值为( )
A. B. C. D.
12.已知恰有三个不同零点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.5名志愿者被随机地分到A，B，C，D4个不同的岗位服务，每个岗位至少有1名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，则X的数学期望为_____________.
14.某种细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间具有线性相关系，其样本数据如下表所示：
存放温度x/(℃) 20 15 10 5 0 -5 -10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归方程为___________.
15.展开式中含有x的整数次幂的项的系数之和为______.（用数字作答）
16.若对任意，不等式恒成立，则实数a取值的集合为__________.
三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响.
（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；
（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.
18.（12分）销售费用预算是以销售收入预算为基础，通过分析销售收入、销售利润和销售费用的关系，力求实现销售费用的最有效使用.根据往年的相关数据显示，某高新技术企业的年销售费用占年销售收入的为合理区间，当年销售费用超出年销售收入的，说明企业的销售环节出现一定的问题，需要加强销售管理.下表为该企业的年销售费用x(单位：千万元)和年销售收入y(单位：千万元)的相关数据：
2017 2018 2019 2020 2021 2022
x 3 5 6 8 9 11
y 31 50 54 86 85 114
(1)求年销售费用x的方差.
(2)通过数据分析，该企业的年销售用x与年销售收入y之间符合线性相关关系，求出线性回归方程.
(3)若该企业2023年预算年销售费用为12千万元，试预测2023年的年销售收入，并判断2023年的年销售费用预测值是否在合理区间内.(精确到0.01千万元)
参考数据：374.
参考公式：，，，.
19.（12分）某省在高考改革试点方案中规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；从2020年开始，高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低依次划分为A，B+，B，C+，C，D+，D，E共八个等级，参照正态分布的原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
（1）求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间的人数，求X的分布列和数学期望.
附：若随机变量，则，，.
20.（12分）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性.
(2)若，求证：.
21.（12分）由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的列联表.
非常喜欢 喜欢 合计
A 30 15
B x y
合计
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.
（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？
（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；
（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望.
附：，，
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
22.（12分）已知函数，.
( 1 )证明: 函数 存在唯一的极值点;
(2)证明:.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得，，所以，所以，所以.
故选B.
2.答案：A
解析：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；
假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立.故甲被录用.
若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立.
故选A.
3.答案：C
解析：因为复数，所以复数z在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，故选C.
4.答案：C
解析：由题意得：
5名同学参加演讲比赛出场顺序总的方法：种；
将小红小明捆在一起，然后张三李四两个排列，再后小芳与小红小明组插空，总的方法数有：种
在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为.
故选：C.
5.答案：C
解析：若获得一等奖的作品是A，则甲、丙、丁预测正确，与已知矛盾，A不正确；
若获得一等奖的作品是B，则甲、乙、丙、丁预测都不正确，与已知矛盾，B不正确；
若获得一等奖的作品是C，则只有乙、丙预测正确，与已知相符，C正确；
若获得一等奖的作品是D，则只有丁预测正确，与已知矛盾，D不正确.
故选C.
6.答案：C
解析：由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，
所以回归直线方程为，将代入，得.
所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元.
故选：C.
7.答案：B
解析：由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为.
故选：B.
8.答案：B
解析：由题意可得，
在的展开式中，由，
令无解，即的展开式没有项；
在的展开式中，由，
令解得，即的展开式中的项的系数为，又的系数为40，所以，解得.
故选：B.
9.答案：C
解析：因为，记，则.
当时，，所以函数在上单调递减.
又，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
当时，有极大值也是最大值，.
若在上有两解，应有，，
所以，此时，所以在上有两解成立，故选C.
10.答案：D
解析：先安排值班领导：选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有（种）方案.再安排值班员工：若4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有（种）选法；若1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班，则有（种）选法；若3名员工各值两天班，1名员工值一天班，则有（种）选法，故安排4名员工值班共有（种）方案.因此，该单位在春节七天的假期间值班表安排方案共有（种）.故选D.
11.答案：A
解析：离散型随机变量X的分布列为
（，），
，
，
解得，
，
故选A.
12.答案：D
解析：本题考查利用导数研究函数的零点个数问题.令，所以，两边同时除以得.令，则.因为，所以方程有两个不等实根，.，当时，，单调递减；当时，，单调递增，且时，；时，，，，作出函数的大致图像如图，所以，或.当时，由方程，得，此时方程，即，解得或，有两个根，不合题意；当时，方程，则，解得，此时方程为，解得或，有两个根，不合题意，所以，，所以解得，故选D.
13.答案：
解析：5名志愿者被随机分配到A，B，C，D4个不同岗位，每个岗位至少1名，共有种分法，分析知，且，，故.
14.答案：
解析：由题意知更正后，，，，所以，.所以更正后的回归直线方程为.
15.答案：72
解析：由题意得展开式的通项为，，
当时为整数，此时为含x的整数次幂的项，
所以展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为，
故答案为：72.
16.答案：
解析：由题意可知，，即.
令，则.
当时，，此时函数在上单调递增，
当时，，因此不能满足恒成立；
当时，方程在上只有一个解，
令，则当时，，，函数在上单调递增；
当时，，，函数在上单调递减，
.
令，则，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
，要使得恒成立，
则，当时符合题意，故实数a取值的集合为.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为.
设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则
.
（2）由题意可知，3，4，5，
则，
，
，
，
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
.
18.答案：(1)
(2)
(3)2023年的年销隺费用预测值在合理区间内
解析：(1)由已知，得，
所以.
(2)因为，
所以.
由题表中的数据，得.
又因为，所以，
所以，
所以该企业的年销售费用x与年销售收入y之间的线性回归方程为.
(3)由(2)可得2023年的年销售收入的预测值(千万元).
所以2023年的年销售费用预测值在合理区间内.
19.答案：（1）1637
（2）
解析：（1）因为该校高一年级学生的物理原始成绩，
所以，
所以该校高一年级学生的物理原始成绩在区间的人数为.
（2）由题意得，从全省考生中随机抽取1人，其该门选考科目的等级成绩在区间的概率为，即，
若随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且，
所以，，
，.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为，所以数学期望.
20.答案：(1)见解析
(2)证明见解析
解析：(1)函数的定义域为R.因为，所以.
①当时，因为，所以，都有，
所以在区间上单调递减.
②当时，由，得，由，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(2)证明：依题意，要证明只需证明，
即证明.
.
由(1)知，当时，在上单调递增，所以，
即，即，
所以
.
令，
则.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，
即成立.
21、（1）答案：从A地抽取6人，从B地抽取7人
解析：由题意得，解得，
所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人).
（2）答案：表格见解析，没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系
解析：完成表格如下：
非常喜欢 喜欢 合计
A 30 15 45
B 35 20 55
合计 65 35 100
所以的观测值
，
所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.
（3）答案：分布列见解析，期望是2
解析：从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，
从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
22.答案： (1)见解析
(2)见解析
解析：(1) 证明: 因为 的定义域为 ， 的定义域为R，
所以 的定义域为.
函数，
则.
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
又，，
故存在唯一， 使得.
当 时， ，在 上单调递增;
当 时， ，在 上 单调递减，
因此， 函数 存在唯一的极值点.
(2)证明: 令
其中 且.
当 时， ， 所以， 要证，
即证;
同理， 当 时， ， 所以，
要证， 即证.
令 ，且，
再令， 则，，
令， 则，
当 时， ，单调递减;
当 时， ，单调递增，
假设m(1) 能取到， 则，
故， 即， 即，
故 得证.