2022-2023学年人教A版高二文科数学下学期期末达标测评卷（A卷）（含解析）

2022-2023学年人教A版高二文科数学下学期
期末达标测评卷（A卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.“z为实数”是“是纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件
5.若椭圆的焦点为，，点P为椭圆上一点，且，则的面积为( )
A.9 B.12 C.15 D.18
6.用下列表格中的五对数据求得的线性回归方程为，则实数m的值为( )
x 196 197 200 203 204
y 1 3 6 7 m
A.8 B.8.2 C.8.4 D.8.5
7.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是( )
A.甲被录用了 B.乙被录用了 C.丙被录用了 D.无法确定谁被录用了
8.某品牌公司在海外设立了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中、青年员工该企业为了解这两个年龄层的员工是否愿意被外派，采用分层抽样的方法从中、青年员工中随机抽取了100位进行调查，得到数据如下表：
愿意被外派 不愿意被外派 总计
中年员工 20 30 50
青年员工 40 10 50
总计 60 40 100
得到的正确结论是( )
A.有90%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”
B.有90%的把握认为“是否愿意被外派与年龄无关”
C.有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”
D.有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄无关”
9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.实部为零的复数是纯虚数
C.可能是实数 D.复数的虚部是i
10.设，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，已知，，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
11.甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每个人帽子的颜色互不相同.乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为( )
A.红、黄、蓝 B.黄、红、蓝 C.蓝、红、黄 D.蓝、黄、红
12.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程，后来工作人员不慎将下表中的实验数据c丢失.
天数x/天 3 4 5 6 7
繁殖个数y/千个 c 3 4 4.5 6
则上表中丢失的实验数据c的值为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数为___________.
14.观察下列等式：
；
；
；
…
据此规律，第n个等式可为_______________.
15.甲、乙两支足球队进行一场比赛，A，B，C三位球迷赛前在一起聊天.A说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是____________（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）.
16.经市场调查，某款热销品的销售量y（万件）与广告费用x（万元）之间满足回归直线方程.若样本点中心为，则当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为_________________万元.
三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
18.（12分）销售费用预算是以销售收入预算为基础，通过分析销售收入、销售利润和销售费用的关系，力求实现销售费用的最有效使用.根据往年的相关数据显示，某高新技术企业的年销售费用占年销售收入的为合理区间，当年销售费用超出年销售收入的，说明企业的销售环节出现一定的问题，需要加强销售管理.下表为该企业的年销售费用x(单位：千万元)和年销售收入y(单位：千万元)的相关数据：
2017 2018 2019 2020 2021 2022
x 3 5 6 8 9 11
y 31 50 54 86 85 114
(1)求年销售费用x的方差.
(2)通过数据分析，该企业的年销售用x与年销售收入y之间符合线性相关关系，求出线性回归方程.
(3)若该企业2023年预算年销售费用为12千万元，试预测2023年的年销售收入，并判断2023年的年销售费用预测值是否在合理区间内.(精确到0.01千万元)
参考数据：374.
参考公式：，，，.
19.（12分）某研究机构为了研究华为公司由于技术创新对订单产生的影响，调查了技术创新前、后华为及其它公司在欧洲的订单情况，结果如下：
华为在欧洲的订单数 其他公司在欧洲的订单数
技术创新前 20 60
技术创新后 30 40
(1)是否有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单
(2)现从技术创新前、后华为在欧洲的订单数中，采用分层抽样的方法抽取5个进行调查，若从抽得的5个订单中随机抽取2个进行调查结果的比较，求这2个订单中恰好有一个是技术创新后的订单的概率.
附：，其中.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
20.（12分）“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间.某家庭有小明和小红两个孩子，父母每天为他们安排了自由阅读的时间，约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少.为了调查两人自由阅读时间的情况，父亲记录了两人某周每天的阅读时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的阅读时间a忘了记录，但知道，.
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
序号x 1 2 3 4 5 6 7
小明的阅读时间y/min 16 20 20 25 30 36 a
小红的阅读时间z/min 6 22 25 26 32 35 35
（1）求小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率；
（2）根据小明这一周前6天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日阅读时间a的值.
参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.
21.（12分）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的方程有3个不等实根，求证：.
22.（12分）已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为复数，所以复数z在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，故选C.
2.答案：D
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，则题中命题的否定是.
3.答案：C
解析：由函数的图象在点处的切线方程是，得，.由，得，则.
4.答案：B
解析：设，z为实数且是纯虚数且，所以“为实数”是“是纯虚数”的必要不充分条件，故选B.
5.答案：A
解析：设，，则由且，
可得，且，
可得，所以.
故选：A.
6.答案：A
解析：依题意，得,,回归直线必经过点,所以,解得,故选A.
7.答案：A
解析：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；
假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立.故甲被录用.
若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立.
故选A.
8.答案：C
解析：由题意，可得,所以有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，故选C.
9.答案：C
解析：A.，说法不正确；
B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
C.当时，是实数，说法正确；
D.复数的虚部是1，说法不正确.故选C.
10.答案：C
解析：设双曲线的半焦距为.在中，由余弦定理，得，即，解得(负值已舍去).又双曲线的实轴长，所以，所以双曲线的离心率.故选C.
11.答案：B
解析：本题考查简单的逻辑推理.丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄小；又乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人是丙.综上所述，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝.故选B.
12.答案：D
解析：本题考查回归直线方程在实际中的应用.由表中数据可得，，将点代入中，得，解得，所以丢失的实验数据c的值为2.5.故选D.
13.答案：
解析：由于，所以，，
所以.
故答案为：.
14.答案：
解析：观察等式知，第n个等式的左边有个式子相乘，等式的右边是，故答案为.
15.答案：甲胜
解析：若甲胜，则A，B的判断都正确；若乙胜，则只有C的判断是正确的；若是平局，则只有B的判断是正确的.因为只有一人的判断是正确的，所以比赛的结果不可能是甲胜.
16.答案：70
解析：本题考查线性回归方程.依题意，将代入回归直线方程（提示：回归直线必过样本点中心），得，解得，所以回归直线方程为.令，得.
17.答案：（1），
（2）有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关
解析：（1）由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为，
B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为.
（2），
所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
18.答案：(1)
(2)
(3)2023年的年销隺费用预测值在合理区间内
解析：(1)由已知，得，
所以.
(2)因为，
所以.
由题表中的数据，得.
又因为，所以，
所以，
所以该企业的年销售费用x与年销售收入y之间的线性回归方程为.
(3)由(2)可得2023年的年销售收入的预测值(千万元).
所以2023年的年销售费用预测值在合理区间内.
19.答案：(1)有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单.
(2)所求概率.
解析：(1)由题意知，，
所以有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单.
(2)由题意知，从技术创新前、后的订单数中应分别抽取的订单数为2个和3个.
将来自技术创新前的订单分别记作，来自技术创新后的订单分别记作.
则从这5个订单中抽取2个订单的所有结果有，，共10种情况，其中恰有一个是来自技术后的订单的情况有，共6种情况，故所求概率.
20.答案：（1）小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为
（2）估计小明周日阅读时间a的值为38
解析：（1）由题意知，，所以a的取值一共有25种情况.
令，解得，
又，，
所以当小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间时，a的取值一共有16种情况.
所以小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为.
（2）由题可得，
，
，
，
所以，
则，
所以y关于x的线性回归方程为.
当时，.
故估计小明周日阅读时间a的值为38.
21.答案：(1)在上单调递增，在上单调递减.
(2)见解析.
解析：(1)依题意得，.
令，得；
令，得或.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)由(1)可知函数的极小值，极大值.
当时，，当时，，
画出的大致图象如图所示.
方程有3个不等实根等价于直线与函数的图象有3个不同交点，
不妨设，由图象可知.
构造函数，
则.
当时，，
则在上单调递减，.
所以，故，
由(1)知，在上单调递减，所以，
即，又，故.
22、
（1）答案：方程为
解析：设，，
因为抛物线C的焦点为，所以当直线l过C的焦点时，
直线AB的方程为，
由得.
则，，
，
整理得，
所以，故抛物线C的方程为.
（2）答案：方程为
解析：易知直线AB的斜率在在具不为零，设直线AB的方程为，
由得，
则，即或，.
易知直线AQ的方程为，
由得，
设，则，，
设，同理可得，
则
，
得，，故直线AB的方程为.