2022-2023学年人教A版高二文科数学下学期期末达标测评卷（B卷）（含解析）

2022-2023学年人教A版高二文科数学下学期
期末达标测评卷（B卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，使得”的否定形式是( )
A.，使得 B.，使得
C.，使得 D.，使得
2.已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3.某大型汽车销售店销售某品牌A型汽车，已知该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系:
价格x/（万元/辆） 25 23.5 22 20.5
月销售量y/辆 30 33 36 39
若A型汽车的月销售量y与价格x之间的关系满足线性回归方程，则A型汽车价格降到19万元/辆时，月销售量大约是( )
A.39辆 B.42辆 C.45辆 D.50辆
4.设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.某校高三年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛.甲、乙、丙三位同学预测比赛结果，甲说：“2班得冠军，4班得第三”；乙说：“1班得第四，3班得亚军”；丙说：“3班得第三，4班得冠军”.赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是( )
A.1班 B.2班 C.3班 D.4班
7.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下列联表.
男 女 合计
关注冰雪运动 35 25 60
不关注冰雪运动 15 25 40
合计 50 50 100
参考公式：，其中.
附表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
根据列联表可知( )
A.该市女性居民中大约有的人关注冰雪运动
B.该市男性届民中大约有的人关注冰雪运动
C.有的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关
D.有的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关
8.已知某产品的营销费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示：
营销费用x/万元 2 3 4 5
销售额y/万元 15 20 30 35
根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为( )
A.40.5万元 B.41.5万元 C.42.5万元 D.45万元
9.过抛物线的焦点F，作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与抛物线E的准线交于点C，若，则( )
A.2 B. C.3 D.
10.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：
甲说：“A作品获得一等奖”；
乙说：“C作品获得一等奖”；
丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“A或D作品获得一等奖”.
评奖揭晓后发现这四位同学中只有两位预测正确，则获得一等奖的作品是( )
A.A作品 B.B作品 C.C作品 D.D作品
11.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在C上，若，O为坐标原点，且的面积为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
12.若对于任意实数，函数恒大于零，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是___________.
14.抗击新冠疫情期间A，B，C，D共4名医学专家被分配到甲、乙、丙、丁四所医院指导抗议工作，每所医院只去1人，其中专家A不去甲医院也不去乙医院，专家B与专家C不去甲医院也不去丁医院，如果专家B不去乙医院，则去丁医院的是专家_________.
15.已知，，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为______.
16.某种细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间具有线性相关系，其样本数据如下表所示：
存放温度x/(℃) 20 15 10 5 0 -5 -10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归方程为___________.
三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）某食品专卖店为调查某种零售食品的受欢迎程度，通过电话回访的形式，随机调查了200名年龄在岁的顾客.以28岁为分界线，按喜欢不喜欢，得到下表，且年龄在岁间不喜欢该食品的频率是.
喜欢 不喜欢 合计
年龄岁（含28岁） 80 m
年龄岁（含40岁） n 40
合计
（I）求表中m，n的值；
（Ⅱ）能否有的把握认为顾客是否喜欢该食品与年龄有关？
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.（12分）已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次的模拟考试成绩如表所示，
次数（x） 1 2 3 4 5
考试成绩（y） 498 499 497 501 505
设变量x，y满足回归直线方程.
（1）假如高考也符合上述的模拟考试的回归直线方程，高考看作第10次模拟考试，预测2021年的高考的成绩；
（2）从上面的5次考试成绩中随机抽取3次，其中2次成绩都大于500分的概率.
参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
19.（12分）为了提高学生的艺术修养，复兴中学在高一、高二年级开设美术和音乐两类艺术选修课程，其中美术类有三门课程，音乐类有二门课程，要求每位同学在四个学期任意修完其中四门不同的课程，每学期选修一门.
(1)根据高一上学期学生选修课程种类的抽样统计数据(如下表)判断，是否有的把握认为学生选修美术类或音乐类课程与性别有关 说明理由.
美术类 音乐类 总计
男生 40 20 60
女生 20 20 40
总计 60 40 100
(2)求某同学在高一上、下两个学期选择不同种类的选修课程的概率.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.01
2.072 2.706 3.841 6.635
20.（12分）2019年12月27日，国家统计局公布全国规模以上工业企业月累计营业收入利润率数据如下表：
月份累计 1~ 2月 1~ 3月 1~ 4月 1~ 5月 1~ 6月 1~ 7月 1~ 8月 1~ 9月 1~ 10月 1~ 11月
月份累计代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
营业收入利润 率y（%） 4.79 5.31 5.52 5.72 5.86 5.87 5.87 5.91 5.85 5.91
(1)根据表中有关数据请在下图中补充完整y与x的折线图，判断与哪一个更适宜作为y关于x的回归方程类型，并说明理由；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
(3)根据(2)得出的回归方程，预测1~12月月累计营业收入利润率（%）的值为多少？
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：
5.50 5.66 2.25 82.50 4.52 8.14 2.07
表中，，.
21.（12分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段，的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
22.（12分）已知函数(其中e为自然对数的底数，).
(1)当时，求曲线在点处的切线方程;
(2)若，方程有两个不同的实数根，求证：.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“，使得”的否定形式为“，，使得”.
2.答案：C
解析：复数， 所以复数z 的共轭复数为， 故选C.
3.答案：B
解析：由表中数据可求得，，代入线性回归方程，得，所以.将代入线性回归方程，得，即月销售量大约为42辆.
4.答案：A
解析：由可推出，进而可推出，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件.
5.答案：A
解析：由得，则，
因此复数z在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故选A.
6.答案：B
解析：分以下四种情况讨论：
(1)若1班得冠军，乙猜对一半，则3班得亚军，丙猜对一半，则4班得冠军，矛盾；
(2)若2班得冠军，甲猜对一半，则4班不是第三名，丙猜对一半，则3班得第三，乙猜对一半，则1班得第四，合乎题意；
(3)若3班得冠军，乙、丙各猜对一半，则1班得第四，4班得冠军，矛盾；
(4)若4班得冠军，甲猜对一半，则2班得冠军，矛盾.
综上所述，2班得冠军.
故选B.
7.答案：C
解析：由列联表中的数据可得，因此，有的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关.故选：C.
8.答案：C
解析：由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，
所以回归直线方程为，将代入，得.
所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元.
故选：C.
9.答案：A
解析：由得，.
过B作垂直于准线，垂足为，
则.
由得，.
因此直线l的斜率为，从而直线l的方程为.
由
得，
解得，，
，故选A.
10.答案：C
解析：若获得一等奖的作品是A，则甲、丙、丁预测正确，与已知矛盾，A不正确；
若获得一等奖的作品是B，则甲、乙、丙、丁预测都不正确，与已知矛盾，B不正确；
若获得一等奖的作品是C，则只有乙、丙预测正确，与已知相符，C正确；
若获得一等奖的作品是D，则只有丁预测正确，与已知矛盾，D不正确.
故选C.
11.答案：A
解析：在中，，由余弦定理得，
得，故的面积，所以.
因为O是的中点，所以，两边同时平方得
，
因为，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，故选A.
12.答案：D
解析：当时，a为任意实数，恒成立.
当时，恒成立，
即当时，恒成立，
设，则.
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
则要使时， 恒成立，
实数a的取值范围是.
故选D.
13.答案：
解析：因为命题“存在”的否定是“对任意”，且原命题是假命题，所以原命题的否定是真命题，则所以.
14.答案：A
解析：A，B，C不去甲，所以D去甲，又A，B不去乙，则C去乙，B不去丁，所以B去丙，A去丁.故答案为A.
15.答案：-1
解析：由题意可得，即，
根据两个复数相等的充要条件可得，解得，
故答案为：-1.
16.答案：
解析：由题意知更正后，，，，所以，.所以更正后的回归直线方程为.
17.答案：（1），（2）有
解析：（1）由题中表格中数据可得
，解得，
且，解得.
（2）由（1）可补充列联表为
喜欢 不喜欢 合计
年龄岁（含28岁） 80 20 100
年龄岁（含40岁） 60 40 100
合计 140 60 200
则，
所以有的把握认为顾客是否喜欢该食品与年龄有关.
18.答案：（1）预测2021年的高考成绩为511.2分
（2）
解析：（1）由表得，
，
.
将点代入回归直线方程可得，
解得，
回归直线方程为.
当时，，
预测2021年的高考成绩为511.2分.
（2）记“从5次考试成绩中选出3次成绩”为事件A，则事件A的情况有
，，，，，，，，，，共10种情况，
其中2次成绩都大于500分情况有，，，共3种情况，
所求的概率.
19.答案：(1)有的把握认为学生选修美术类或音乐类课程与性别有关
(2)
解析：(1)由已知，得.
因为，
所以有的把握认为学生选修美术类或音乐类课程与性别有关.
(2)设三门美术类课程分别为x，y，z，两门音乐类课程分别为u，v.
高一上、下两学期，从中任意选出两门，列表如下：
x y z u v
x
y
z
u
v
可知基本事件有20个.
其中，选修的两门课程为不同种类的基本事件有12个.
故该同学在高一上、下两个学期选择不同种类的选修课程的概率为.
20.答案：(1)选用更适宜.理由见解析
(2)
(3)6.16
解析：(1)补充完整的折线图如图所示，可知选用更适宜.理由：根据折线图知折线的形状更接近的图象.
(2)令，先建立y关于w的线性回归方程.
，
，
关于w的线性回归方程为，
关于x的回归方程为.
(3)由(2)可知，当时，，
预测1~12月月累计营业收入利润率（%）的值为6.16.
21、（1）答案：
解析：M，N分别为线段，的中点，O是坐标原点，
，，
四边形OMPN的周长为，
，
，，
，
椭圆C的标准方程为.
（2）答案：直线l过定点
解析：设，，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
，.
易知，
，
化简得，
或(舍去)，
直线l的方程为，即，直线l过定点.
当直线l的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此时直线l过点.
综上，直线l过定点.
22.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)当时，，
则，
因此，
故曲线在点处的切线方程为.
(2)由题意知方程有两个不同的实数根.
对于函数，
令，解得，
令，解得，
则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得.
又当时，，所以方程的两个不同的实数根均大于0.
当时，方程即方程，
则原问题等价于有两个不同的正实数根.
令，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则.
令，
则，
因此在上单调递增，
从而当时，，
所以，
因为，函数在上单调递减，
所以，即，
则，
故原命题得证.