2022-2023学年人教A版(2019)高二数学下学期期末达标测评卷（B卷）（含解析）

2022-2023学年人教A版(2019)高二数学下学期
期末达标测评卷（B卷）
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等比数列中，，，则( )
A.512 B.1024 C.512或-512 D.1024或-1024
2.某校随机调查了110名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：
男 女
喜欢篮球 40 20
不喜欢篮球 20 30
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”
3.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱 问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲 乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有( )
A.60 B.66 C.72 D.80
4.展开式中的系数为( )
A.-21 B.21 C.-35 D.35
5.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为( )
A.0.785 B.0.845 C.0.765 D.0.215
6.已知函数，有4个不同的零点，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知某产品的营销费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示：
营销费用x/万元 2 3 4 5
销售额y/万元 15 20 30 35
根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为( )
A.40.5万元 B.41.5万元 C.42.5万元 D.45万元
8.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，尽管我国粮食生产连年丰收，但对粮食安全还是始终要有危机意识，今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟.某市有关部门为了宣传“节约型社会”，面向该市市民开展了一次网络问卷调查，目的是了解人们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分X(满分：100分)服从正态分布，则(附：若随机变量服从正态分布，则，)( )
A.0.34135 B.0.47725 C.0.6827 D.0.8186
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则( )
A. B. C. D.
10.已知随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
P b a
则( )
A.有最小值 B.没有最值
C.有最小值0 D.有最大值
11.已知变量x，y之间的经验回归方程为，且变量x，y的数据如表所示，则下列说法正确的是( )
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.变量x，y之间呈正相关关系
B.m的值等于5
C.变量x，y之间的相关系数
D.该回归直线必过点
12.已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是( )
A.展开式中的常数项为1
B.展开式中二项式系数最大的项为第三项与第四项
C.
D.展开式中x的指数均为偶数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门App.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔个答题板块的学习方法有__________种.
14.某种细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间具有线性相关系，其样本数据如下表所示：
存放温度x/(℃) 20 15 10 5 0 -5 -10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归方程为___________.
15.一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X，则X的均值___________.
16.已知函数，若对任意的，都有，则负实数k的取值范围为_________.
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知数列的前n项和为.
(1)记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n.
18.（12分）为响应国家在《“十四五”工业绿色发展规划》中提出的“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”理念，某企业计划生产一批太阳能电池板，现有甲、乙两种生产工艺可供选择.为了解两种生产工艺所生产的电池板的质量情况，从中各随机抽取100件进行质量检测，得到如下所示的频率分布直方图.
并规定：
综合得分
质量等级 二等品 一等品
(1)从这100个甲工艺所生产的电池板中按质量等级分层抽样抽取4个，再从这4个中随机抽取2个做进一步研究，求恰有1个质量等级为一等品电池板的概率；
(2)根据频率分布直方图完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为电池板的质量等级与生产工艺有关
一等品 二等品
甲生产工艺
乙生产工艺
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19.（12分）为了改善小学生在校午休的质量，让小学生的午休从“趴睡”变“躺睡”，应市场需求，某公司推出了一款午休课桌椅，为小学生提供舒适角度定位.这款午休课桌椅的靠背调节器和脚托的操作小学生都可以独立完成，使用起来非常方便.这款午休课桌椅上市后好评不断，该公司销售部给出了2022年9月至2023年3月该款午休课桌椅的销售数据，记2022年9月至2023年3月的代码分别为1，2，…，7，其销售数据如下表所示：
月份代码x 1 2 3 4 5 6 7
销量y(万套) 21 25 28 34 36 39 41
并计算得，，.
(1)用相关系数r说明y与x之间线性相关性的强弱；(若，则认为相关性较强)
(2)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，并预测2023年6月该款午休课桌椅的销量.
附：相关系数，，
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
20.（12分）国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球.中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表.
树苗高度
树苗售价(元/株) 4 6 8
(1)现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选3株，求售价之和高于16元的概率；
(2)已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布，并用该企业采购的120株树苗作样本，来估计总体期望和方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，且.
(i)若该育苗基地共有5000株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，得到数列，求的估计值.
(ii)若从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，记树苗高度超过的株数为，求随机变量的分布列和期望.
参考数据：若，，
，.
21.（12分）第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行.某体校田径队正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和，总成绩为累计积分和.考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止.对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格.已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，选手乙三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立.
(1)用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；
(2)证明：无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值.
22.（12分）已知函数.
（1）若，求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设等比数列的公比为q，所以，所以.故选A.
2.答案：C
解析：由题意，，因此有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”.
故选：C.
3.答案：C
解析：5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有种.
故选：C.
4.答案：A
解析：因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为-21.
故选：A
5.答案：A
解析：记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知，，，，
因此.
故选：A.
6.答案：B
解析：当时，，，可得在上单调递减，在上单调递增，且，所以的大致图象如图所示，由，解得或.由的图象可知，当时，有1个根，所以要有3个根，故实数m的取值范围为，故选B.
7.答案：C
解析：由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，
所以回归直线方程为，将代入，得.
所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元.
故选：C.
8.答案：D
解析：因为随机变量X服从，所以，，
所以，，
所以，
，
所以.
9.答案：ABD
解析：A项，由两端同除以，得，解得或-1.又是正项等比数列，所以，故A项正确；
B项，，故B项正确；
C项，，故C项错误；
D项，，故D项正确.
10.答案：BD
解析：由题意知，，即.又，则，所以，所以没有最值.因为.又，所以当时，有最大值.故选BD.
11.答案：BD
解析：由题意，可知，，由回归直线一定经过点，可得，解得，则回归直线必过点.由表中的数据，知变量y随着x的增大而减小，所以呈负相关关系.由表中数据可得相关系数.所以A，C错误.故选BD.
12.答案：CD
解析：令代入二项式得各项的系数和为，则.
对于选项A，设展开式的通项为，令，则常数项为，故选项A错误；
对于选项B，由可得展式中二项式系数最大的项仅有第四项，故选项B错误；
对于选项C，，故选项C正确；
对于选项D，由展开式的通项可得展开式中x的指数均为偶数，故选项D正确，故选CD.
13.答案：432
解析：本题考查排列与组合中的相邻问题.“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为种；“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为种，共有432种方法.
14.答案：
解析：由题意知更正后，，，，所以，.所以更正后的回归直线方程为.
15.答案：2
解析：任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X，则X的可能取值为1，2，3，
则，
，
则，
故答案为：2.
16.答案：
解析：解法一：由化简可得，
令，则，可知在上单调递减，在上单调递增.
，，.
要使在上恒成立，则需满足，即.
记，则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
可得，则.
又，故k的取值范围为.
解法二：由化简可得，
，.
令函数，则在上恒成立，
在上单调递增，
在上恒成立，即，
于是.
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
因此，，即.
又，故k的取值范围为.
17.答案：(1)证明过程见解析，.
(2)n为5.
解析：(1)由，得，
即，
.
即，
又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
.
(2)由(1)知.
，①
，②
①-②，得
，
，
是递增数列，
，
使不等式成立的最大正整数n为5.
18.答案：(1)
(2)有的把握认为电池板的质量等级与生产工艺有关
解析：(1)根据综合得分与质量等级的关系，结合频率分布直方图可知，
甲生产工艺所生产的100件产品中，一等品有件，
二等品有件，
从这100个甲工艺所生产的电池板中按质量等级分层抽样抽取4个，则一等品抽取3个，记为A，B，C；二等品抽取1个，记为a.
再从这4个中随机抽取2个，所有可能的结果为AB，AC，Aa，BC，Ba，Ca，共6种，
其中恰有1个质量等级为一等品的电池板对应的结果有Aa，Ba，Ca，共3种，
故所求概率为.
(2)由(1)可知，甲生产工艺所生产的100件产品中，一等品有75件，二等品有25件；
乙生产工艺所生产的100件产品中，一等品有件，
二等品有件.
得到列联表如下：
一等品 二等品
甲生产工艺 75 25
乙生产工艺 45 55
故有的把握认为电池板的质量等级与生产工艺有关.
19.答案：(1)y与x的线性相关性较强
(2)预测2023年6月该款午休课桌椅的销量为52.58万套
解析：(1)由题意知.
所以y与x的线性相关性较强.
(2)由表格数据，得，，
则，
所以，
所以y关于x的回归方程为.
由题意知，将2023年6月所对应的代码代入回归方程，得，
所以预测2023年6月该款午休课桌椅的销量为52.58万套.
20.答案：(1)
(2)(i)177.2cm(ii)
解析：(1)树苗高度在内的占比为，
树苗高度在内的占比为
树苗高度在内的占比为，
从这120株树苗中，按售价分层抽取8株，其中2株4元，4株6元，2株8元，
再从中任选3株，售价之和高于16元，
可以为，，，，，
故所求概率为.
(2)(i)，
，
因为，
所以.
(ii)若从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，高度超过的概率为，
由题意可知，则，
，，
，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3 4 5
P
随机变量的数学期望为.
21.答案：(1)分布列见解析；数学期望为
(2)证明见解析
解析：(1)选手甲考核积分的总成绩所有可能的取值为0，，，.
，
，
，
.
所以的分布列为
0
P
数学期望
.
(2)证明：记选手乙考核积分的总成绩为，则所有可能的取值为0，，，.
，
，
，
.
所以的分布列为
0
P
数学期望.
所以，
所以，即无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值.
22.答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知函数的定义域为.
由，
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
又，所以，解得，
所以a的取值范围为.
（2）解法一：不妨设，则由（1）知，.
令，
则.
令，
则，
所以当时，，
所以当时，，所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
即在上.
又，所以，即.
由（1）可知，函数在上单调递增，
所以，即.
解法二（同构构造函数化解等式）不妨设，则由（1）知，.
由，得，
即.
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又，
所以在上单调递减，
所以，即.