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人教版八年级上册数学进阶课堂小测——11.2与三角形有关的角（二阶）
数学考试
考试时间：30分钟 满分：50分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．（2023七下·宝安期中）如图，直线a∥b，点C，D分别在直线b，a上，AC⊥BC，CD平分∠ACB，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
2．（2023·广东模拟）一副三角板按如图所示放置，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·松江期中）下列说法正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．从直线外一点到这条直线上的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
4．（2023·河源模拟）如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是( )
A． B． C． D．
5．（2023七下·滨海期中）如图，△ABC 的角平分线 CD、BE 相交于 F，∠A＝90°，EGBC，且CG⊥EG 于 G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG.其中正确的结论是（ ）
A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
6．（2023七下·义乌月考）一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则∠1的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
阅卷人 二、填空题
得分
7．一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为 度．
8．（2023·青海模拟）如图，在中，是的平分线，是的平分线，与相交于点，若，则的度数是 ．
9．（2023·郧西模拟）如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是 .
10．（2023八下·平遥月考）如下图，将一个等边三角形剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是 ．
11．（2023八上·嘉兴期末）一副三角尺，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为 .
12．（2023八下·凉州开学考）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则这个等腰三角形的顶角是
13．（2022八上·沙河口期末）如图，是的角平分线，，垂足为，连结．若，，则的度数为 ．
14．（2022八上·黄冈月考）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为 .
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
15．（2022七下·建平期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，FE垂直平分AD，垂足为E，EF交BC的延长线于点F，若∠CAF＝50°，求∠B的度数．
16．（2022八上·义乌月考）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：对图形进行点标注：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=45°.
∵∠1=70°，
∴∠2=∠DEC=180°-∠1-∠DCB=180°-70°-45°=65°.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，根据垂直的定义可得∠ACB=90°，由角平分线的概念可得∠DCB=45°，根据对顶角的性质可得∠2=∠DEC，然后结合内角和定理进行计算.
2．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠C=30°，∠E=45°，BE⊥AB，AC⊥AB，
∴∠CBA=90°-∠C=60°，∠EAB=90°-∠E=45°，
∴∠BDA=180°-∠CBA-∠EAB=180°-60°-45°=75°，
∴∠EDC=∠BDA=75°.
故答案为：B.
【分析】由余角的性质可得∠CBA、∠EAB的度数，利用内角和定理求出∠BDA的度数，根据对顶角的性质可得∠EDC=∠BDA，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，该说法错误，不符合题意；
B、三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，该说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法错误，不符合题意；
D、从直线外一点到这条直线上的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的定义，三角形外角的性质，平行公理，点到直线的距离的定义对每个选项一一判断即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】由图象可知：∠OCA=45°，∠BDC=60°，
∴∠OB=∠OCA+∠BDC=45°+60°=105°，
故答案为：B.
【分析】利用三角形外角的性质求解即可。
5．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①，
，
又是的角平分线，
，故正确；
④无法证明平分，故错误；
③，
，
平分，
，
.
，且，
，即，
，故正确；
②，，
，
，
，
，故正确.
正确的为：①②③，
故答案为：C.
【分析】由平行线性质得∠CEG=∠ACB，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB，据此即可判断①；由三角形的内角和定理及角平分线的定义得∠ADC+∠BCD=90°，由平行线的性质得∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，由同角的余角相等得∠ADC=∠GCD，据此判断③；由三角形外角性质、三角形内角性质及角平分线的定义得∠AEB+∠ADC=135°，根据四边形的内角和定理可得∠DFE=135°，由邻补角定义得∠DFB=45°=∠CGE，据此可判断②；无法证明CA平分∠BCG，据此判断④.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵BC∥DE，
∴∠2＝∠B＝45°，
∴∠1＝∠2＋∠D＝45°＋30°＝75°，故C正确.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠2＝∠B＝45°，根据外角的性质可得∠1＝∠2＋∠D，据此计算.
7．【答案】48
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】如图：
由三角形外角的性质可得：∠3=∠1-∠4=132°-90°=42°，
∴∠2=90°-∠3=90°-42°=48°，
故答案为：48°，
【分析】利用三角形外角的性质及角的运算求解即可。
8．【答案】30°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的度数是30°．
【分析】根据角平分线的定义先求出，，再求出，，最后计算求解即可。
9．【答案】36
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，
∴可设这一内角为x，则它的外角为4x，
∴有x+4x＝180°，
则x＝36°，4x＝144°.
又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，
∴这个与它不相邻的内角为144°÷2＝72°，
∴第三个内角的度数为180°－72°－36°＝72°，
∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°，
∴此三角形最小内角的度数是36°.
故答案为：36.
【分析】可设这一内角为x，则它的外角为4x，根据三角形的一个外角与其相邻的内角互补建立方程可求出x的值，从而求出与之相邻的外角的度数，进而根据“这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍”求出三角形另一个内角的度数，进而根据三角形的内角和定理算出第三个内角的度数，即可解决此题.
10．【答案】240°
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：这是一个等边三角形，
两底角和，
．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出两底角和，再求解即可。
11．【答案】15°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知∠C=45°，∠B=60°，∠ADB=∠BAE=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=90°-30°=60°，
∵∠DAE=∠C+α，
∴α=60°-45°=15°.
故答案为：15°
【分析】利用直角三角形的两锐角互余可得到∠BAD的度数，由此可求出∠DAE的度数；再利用三角形的外角的性质可求出α的度数.
12．【答案】132°或48°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当△ABC为锐角三角形时
∵BD是高，
∴∠BDA=90°，
∵∠ABD=42°，
∴∠A=90°-∠ABD=90°-42°=48°；
当△ABC是钝角三角形时
∠ACD=42°，
∴∠DAC=90°-∠ACD=90°-42°=48°，
∴∠BAC=180°-∠DAC=180°-48°=132°.
∴这个等腰三角形的顶角为132°或48°.
故答案为：132°或48°
【分析】分情况讨论：当△ABC为锐角三角形时，利用三角形高的定义可得到∠BDA=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；当△ABC是钝角三角形时，利用三角形的内角和定理求出∠DAC的度数，根据∠BAC=180°-∠DAC，可求出∠BAC的度数，即可求解.
13．【答案】28°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在中，，，
．
平分，
．
，
，
，
．
故答案为：28°．
【分析】根据角平分线的定义可得，再求出，最后利用角的运算求出即可。
14．【答案】34°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：，，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：34°.
【分析】根据三角形外角性质可得∠BAC=∠ACE-∠B=32°，根据角平分线的定义得∠BAD=16°，再根据三角形外角的性质可得∠ADC的度数，进而根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
15．【答案】解：∵FE垂直平分AD
∴FA=FD
∴∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠BDA=180°
∠BDA+∠FDA=180°
∴∠B+∠BAD=∠FDA
∴∠B+∠BAD=∠FAD
∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD
∴∠B=∠CAF
∵∠CAF=50°
∴∠B=50°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再利用三角的内角和及角的运算求出∠B=∠CAF，再结合∠CAF=50°，即可得到∠B=50°。
16．【答案】解：【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，
∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】 【习题回顾】 根据同角的余角相等得 ∠B＝∠ACD， 根据角平分线的定义得∠CAF＝∠DAF， 根据三角形外角性质得 ∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， 据此即可得出答案；
【变式思考】 根据角平分线的定义得 ∠GAF＝∠DAF， 根据三角形高线定义得∠ADF＝∠ACE＝90°，根据对顶角相等得∠CAE＝∠GAF，根据三角形的内角和定理得∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】根据平角的定义及角平分线的定义得∠EAN＝90°，结合对顶角相等得∠GAN＝∠CAM，
根据直角三角形两锐角互余得∠M+∠CEF＝90°，根据三角形外角性质得∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，结合∠ACD＝∠B，可得∠CEF＝∠CFE，再等量代换即可得出 ∠M+∠CFE＝90° .
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考试时间：30分钟 满分：50分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．（2023七下·宝安期中）如图，直线a∥b，点C，D分别在直线b，a上，AC⊥BC，CD平分∠ACB，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：对图形进行点标注：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=45°.
∵∠1=70°，
∴∠2=∠DEC=180°-∠1-∠DCB=180°-70°-45°=65°.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，根据垂直的定义可得∠ACB=90°，由角平分线的概念可得∠DCB=45°，根据对顶角的性质可得∠2=∠DEC，然后结合内角和定理进行计算.
2．（2023·广东模拟）一副三角板按如图所示放置，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠C=30°，∠E=45°，BE⊥AB，AC⊥AB，
∴∠CBA=90°-∠C=60°，∠EAB=90°-∠E=45°，
∴∠BDA=180°-∠CBA-∠EAB=180°-60°-45°=75°，
∴∠EDC=∠BDA=75°.
故答案为：B.
【分析】由余角的性质可得∠CBA、∠EAB的度数，利用内角和定理求出∠BDA的度数，根据对顶角的性质可得∠EDC=∠BDA，据此解答.
3．（2023七下·松江期中）下列说法正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．从直线外一点到这条直线上的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
【答案】D
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，该说法错误，不符合题意；
B、三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，该说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法错误，不符合题意；
D、从直线外一点到这条直线上的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的定义，三角形外角的性质，平行公理，点到直线的距离的定义对每个选项一一判断即可。
4．（2023·河源模拟）如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】由图象可知：∠OCA=45°，∠BDC=60°，
∴∠OB=∠OCA+∠BDC=45°+60°=105°，
故答案为：B.
【分析】利用三角形外角的性质求解即可。
5．（2023七下·滨海期中）如图，△ABC 的角平分线 CD、BE 相交于 F，∠A＝90°，EGBC，且CG⊥EG 于 G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG.其中正确的结论是（ ）
A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①，
，
又是的角平分线，
，故正确；
④无法证明平分，故错误；
③，
，
平分，
，
.
，且，
，即，
，故正确；
②，，
，
，
，
，故正确.
正确的为：①②③，
故答案为：C.
【分析】由平行线性质得∠CEG=∠ACB，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB，据此即可判断①；由三角形的内角和定理及角平分线的定义得∠ADC+∠BCD=90°，由平行线的性质得∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，由同角的余角相等得∠ADC=∠GCD，据此判断③；由三角形外角性质、三角形内角性质及角平分线的定义得∠AEB+∠ADC=135°，根据四边形的内角和定理可得∠DFE=135°，由邻补角定义得∠DFB=45°=∠CGE，据此可判断②；无法证明CA平分∠BCG，据此判断④.
6．（2023七下·义乌月考）一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则∠1的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵BC∥DE，
∴∠2＝∠B＝45°，
∴∠1＝∠2＋∠D＝45°＋30°＝75°，故C正确.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠2＝∠B＝45°，根据外角的性质可得∠1＝∠2＋∠D，据此计算.
阅卷人 二、填空题
得分
7．一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为 度．
【答案】48
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】如图：
由三角形外角的性质可得：∠3=∠1-∠4=132°-90°=42°，
∴∠2=90°-∠3=90°-42°=48°，
故答案为：48°，
【分析】利用三角形外角的性质及角的运算求解即可。
8．（2023·青海模拟）如图，在中，是的平分线，是的平分线，与相交于点，若，则的度数是 ．
【答案】30°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的度数是30°．
【分析】根据角平分线的定义先求出，，再求出，，最后计算求解即可。
9．（2023·郧西模拟）如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是 .
【答案】36
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，
∴可设这一内角为x，则它的外角为4x，
∴有x+4x＝180°，
则x＝36°，4x＝144°.
又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，
∴这个与它不相邻的内角为144°÷2＝72°，
∴第三个内角的度数为180°－72°－36°＝72°，
∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°，
∴此三角形最小内角的度数是36°.
故答案为：36.
【分析】可设这一内角为x，则它的外角为4x，根据三角形的一个外角与其相邻的内角互补建立方程可求出x的值，从而求出与之相邻的外角的度数，进而根据“这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍”求出三角形另一个内角的度数，进而根据三角形的内角和定理算出第三个内角的度数，即可解决此题.
10．（2023八下·平遥月考）如下图，将一个等边三角形剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是 ．
【答案】240°
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：这是一个等边三角形，
两底角和，
．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出两底角和，再求解即可。
11．（2023八上·嘉兴期末）一副三角尺，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为 .
【答案】15°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知∠C=45°，∠B=60°，∠ADB=∠BAE=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=90°-30°=60°，
∵∠DAE=∠C+α，
∴α=60°-45°=15°.
故答案为：15°
【分析】利用直角三角形的两锐角互余可得到∠BAD的度数，由此可求出∠DAE的度数；再利用三角形的外角的性质可求出α的度数.
12．（2023八下·凉州开学考）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则这个等腰三角形的顶角是
【答案】132°或48°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当△ABC为锐角三角形时
∵BD是高，
∴∠BDA=90°，
∵∠ABD=42°，
∴∠A=90°-∠ABD=90°-42°=48°；
当△ABC是钝角三角形时
∠ACD=42°，
∴∠DAC=90°-∠ACD=90°-42°=48°，
∴∠BAC=180°-∠DAC=180°-48°=132°.
∴这个等腰三角形的顶角为132°或48°.
故答案为：132°或48°
【分析】分情况讨论：当△ABC为锐角三角形时，利用三角形高的定义可得到∠BDA=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；当△ABC是钝角三角形时，利用三角形的内角和定理求出∠DAC的度数，根据∠BAC=180°-∠DAC，可求出∠BAC的度数，即可求解.
13．（2022八上·沙河口期末）如图，是的角平分线，，垂足为，连结．若，，则的度数为 ．
【答案】28°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在中，，，
．
平分，
．
，
，
，
．
故答案为：28°．
【分析】根据角平分线的定义可得，再求出，最后利用角的运算求出即可。
14．（2022八上·黄冈月考）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为 .
【答案】34°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：，，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：34°.
【分析】根据三角形外角性质可得∠BAC=∠ACE-∠B=32°，根据角平分线的定义得∠BAD=16°，再根据三角形外角的性质可得∠ADC的度数，进而根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
15．（2022七下·建平期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，FE垂直平分AD，垂足为E，EF交BC的延长线于点F，若∠CAF＝50°，求∠B的度数．
【答案】解：∵FE垂直平分AD
∴FA=FD
∴∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠BDA=180°
∠BDA+∠FDA=180°
∴∠B+∠BAD=∠FDA
∴∠B+∠BAD=∠FAD
∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD
∴∠B=∠CAF
∵∠CAF=50°
∴∠B=50°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再利用三角的内角和及角的运算求出∠B=∠CAF，再结合∠CAF=50°，即可得到∠B=50°。
16．（2022八上·义乌月考）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【答案】解：【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，
∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】 【习题回顾】 根据同角的余角相等得 ∠B＝∠ACD， 根据角平分线的定义得∠CAF＝∠DAF， 根据三角形外角性质得 ∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， 据此即可得出答案；
【变式思考】 根据角平分线的定义得 ∠GAF＝∠DAF， 根据三角形高线定义得∠ADF＝∠ACE＝90°，根据对顶角相等得∠CAE＝∠GAF，根据三角形的内角和定理得∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】根据平角的定义及角平分线的定义得∠EAN＝90°，结合对顶角相等得∠GAN＝∠CAM，
根据直角三角形两锐角互余得∠M+∠CEF＝90°，根据三角形外角性质得∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，结合∠ACD＝∠B，可得∠CEF＝∠CFE，再等量代换即可得出 ∠M+∠CFE＝90° .
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