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人教版八年级上册数学进阶课堂小测——11.2与三角形有关的角（三阶）
数学考试
考试时间：40分钟 满分：50分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．（2021八上·下城期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF.正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
2．（2021八上·诸暨月考）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
3．（2019八上·陕县期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020八上·武汉月考）如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=2∠ADB，③∠ADC=90°-∠ABD，④BD平分∠ADC，其中正确结论有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022八上·科尔沁期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
6．（2019八上·河北期中）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有 ．（填序号）
7．（2019八上·台州开学考）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5的度数为 .
8．（2016八上·阳信期中）如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC= ，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M= ．
9．（2021八上·新洲期末）如图，在△ABC 中，∠ABC=57°， ∠BAD=71° ，∠DAC=30° ，∠ACD=11° ，求∠DBC 的度数 .
10．（2019八上·江岸月考）△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝ .
11．（2019八上·浦东期中）在△ABC中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则必有一个内角等于 °.
12．（2022八上·绵阳竞赛）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2022八上·信阳开学考）学行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：
已知：如图，．
【初步感知】如图1，若，求的度数；
【拓展延伸】如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：；
【类比探究】如图3，若，，若，，直接写出的度数．
14．（2019八上·双流开学考）
（1）已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，求∠BED的度数．
（2）（探究）如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3，…以此类推，求∠En的度数．
（3）（变式）如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试猜想∠P与∠E的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BE是中线，
∴ ，
∴S△ABE＝S△BCE(等底同高的两个三角形面积相等)，故①正确；
∵CF是角平分线，
∴ ，
∵AD是高，
∴ ，
∵ ，
，
，
，故②正确；
根据已知条件不能推出 ，故③错误；
∵AD是高，
∵CF是角平分线，
即 ，故④正确.
故答案为：C.
【分析】由中线的概念可得AE=CE，根据等底同高的两个三角形面积相等可判断①；由角平分线的概念可得∠ACF=∠BCF，由同角的余角相等可得∠ABC=∠CAD，由外角的性质可得∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，据此判断②；由同角的余角相等可得∠ACB=∠BAD，由角平分线的概念可得∠ACB=2∠ACF，推出∠BAD=2∠ACF，据此判断④.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AG，GD，并延长GD，
∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC，
∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC）
=∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，
∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°.
故答案为：B.
【分析】连接AG，GD，并延长GD，根据三角形外角的性质推得∠GBD+∠GCD=30°，结合角平分线定义得出∠ABG+∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠A=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC），代入数值即可解答.
3．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正确；
∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD=∠MFI，
∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误.
故答案为：C.
【分析】先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确；
根据∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确；
由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠ACB，AD平分△ABC的外角∠EAC
又∵
∴
∴AD∥BC，故①正确
∵
∵BD平分∠ABC
∴
∴
∴
故②正确；
∵AD∥BC
∴
∵CD平分∠ACF
∴
又∵
∴
∴
即
∴③正确；
假设BD平分∠ADC
则：
∵
∴
∴
∴ ，且
∴
∵已知条件不具备
∴BD平分∠ADC假设不成立
∴④错误
故答案为：C.
【分析】 根据三角形外角的性质结合已知得出∠EAC=2∠ABC，根据角平分线的性质得出∠EAC=2∠EAD，从而得出∠EAD=∠ABC，根据同位角相等，二直线平行得出AD∥BC；根据二直线平行内错角相等得出∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得出∠ABC=2∠DBC，根据等量代换即可得出 ∠ACB=2∠ADB； 根据二直线平行内错角相等得出∠ADC=∠DCF，由角平分线的定义得出∠ACF=2∠DCF，进而根据平角的定义即可得出∠ADC+∠ABD=90°；利用反证法即可证出 BD平分∠ADC 不成立.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝；
同理可得∠A2＝∠A1＝ α＝，
同理可得∠A3＝∠A2＝ ＝，
……
∴∠An＝，
∴∠A2022＝．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质分别求出∠A1＝，∠A2＝∠A1＝，∠A3＝∠A2=···，从而得出∠An＝，继而得解.
6．【答案】①②③④
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：①设点A，B在直线MF上，
∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，
∴AD平分△ABC的外角∠FAC，
∴∠FAD＝∠DAC，
∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，
∴∠FAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①符合题意．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝ ∠ABC+ ∠MBC＝ ×180°＝90°，
∴EB⊥DB，故②符合题意，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC＝ ∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB＝180°，
∴ ∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③符合题意，
④∵∠BEC＝180°﹣ （∠MBC+∠NCB）＝180°﹣ （∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣ （180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°﹣ ∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④符合题意，
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定一一判断即可．
7．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∠A=180°-（∠1+∠2），
∠B=180°-（∠3+∠4），
∴∠A+∠B=180°-（∠1+∠2）+180°-（∠3+∠4），
=360°-（∠1+∠2+∠3+∠4），
=360°-220°=140°，
则∠5=180°-（∠A+∠B）=180°-140°=40°.
【分析】根据三角形内角和定理，分别把∠A和∠B用 ∠1、∠2、∠3和∠4 表示出来，两式结合从而求出∠A与∠B之和，在三角形ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠5的度数。
8．【答案】140°；40°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A=100°，
∵∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°，
∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）= ×80°=40°，
∴∠I=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣40°=140°；
∵∠ABC+∠ACB=80°，
∴∠DBC+∠ECB=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣80°=280°，
∵BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠1= ∠DBC，∠2= ECB，
∴∠1+∠2= ×280°=140°，
∴∠M=180°﹣∠1﹣∠2=40°．
故答案为：140°；40°．
【分析】首先根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质得到∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，求出∠IBC+∠ICB的度数，再次根据三角形内角和求出∠I的度数即可；
根据∠ABC+∠ACB的度数，算出∠DBC+∠ECB的度数，然后再利用角平分线的性质得到∠1= ∠DBC，∠2= ECB，可得到∠1+∠2的度数，最后再利用三角形内角和定理计算出∠M的度数．
9．【答案】19°
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∠ACB=180°-∠ABC -∠BAC=180°- 57°-71°-30°=22°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=11°
延长CA到E，使CE=CB，易证△CDE △CDB（SAS）
∴DE=DB
连接EB，则∠AEB=∠CBE=(180°-∠ACB)/2=79°
∠EAB=180°-∠BAC=79°=∠AEB
∴BE=BA
过B点作AE的垂线BG，交DA延长线于F点，连接EF，
易证FG为∠EFA平分线（三线合一）
∴∠EFG=∠AFB=90°-∠FAG=90°-∠CAD =60°
过D点向EF延长线作垂线，垂足为K，过D点向BF作垂线，垂足为H；
则∠KFD=180°-∠EFB-∠AFB=60°，∠KDF=90°-∠KFD=30°
易证△DHF △DKF（AAS）
∴∠HDF=∠KDF=30°，DK=DH，
又∵DE=DB
∴Rt△DIB Rt△DKE（HL）
∴∠HDB=∠KDE
∴∠BDE=∠HDB+∠HDE=∠KDE+∠HDE=∠KDH=∠KDF+∠HDF =30°+30°=60°
∴△DEB为等边三角形，∠EBD=60°
∠DBC=∠EBC-∠EBD=79°-60°=19°
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，同时可求出∠BAC，∠DCB及∠ACB的度数；设∠ADB=x，∠BDC=y，∠CBD=z，∠ABD=m，利用角的和差可建立方程组，解方程组求出z的值，即可得到∠DBC的度数.
10．【答案】175
【知识点】解一元一次不等式组；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A，
又∵∠A≤∠C≤∠B，
∴∠A≤180°﹣ ∠A，
解得∠A≤40°；
又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A，
解得∠A≥30°，
∴30°≤∠A≤40°，
即30°≤ ∠B≤40°，
∴75°≤∠B≤100°
∴m+n＝175.
故答案为：175.
【分析】由2∠B＝5∠A，得∠B＝ ∠A，根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A；根据题意有∠A≤∠C≤∠B，则∠A≤180°﹣ ∠A，和180°﹣ ∠A≤ ∠A，解两个不等式得30°≤∠A≤40°，而∠A＝ ∠B，得到∠B的范围，从而确定m，n.
11．【答案】90
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解： ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C-∠A，
∴∠A+∠C-∠A +∠C =180°，
∴∠C=90°，
故答案为：90．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠B=∠C-∠A代入求出∠C即可．
12．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：，的平分线交于点O，
，，
，
，
，
，
，故①正确，
平分，
，
，，
，故②正确；
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，故③错误；
，
，
，
.故④正确，
综上正确的有：①②④，
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），根据三角形的内角和定理∠BOC=∠A+90°，据此可判断①；由角平分线的定义得∠DCF=∠ACF，进而根据三角形外角性质得∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，从而可得∠D=∠A，据此可判断②；根据三角形外角性质得∠MBC+∠BCN=180°+∠A，再利用角平分线的定义得∠EBC+∠BCE=90°+∠A，进而根据三角形的内角和定理得∠E=90°-∠A，据此判断③；利用三角形外角性质及内角性质可得∠E+∠DCF=90°+∠DBC，结合∠ABD=∠DBC即可判断④.
13．【答案】解：【初步感知】解： ，
，
，
，
；
【拓展延伸】证明：过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ， ，
；
【类比探究】102°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】【类比探究】上结论知，如图：
，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
【分析】【初步感知】根据平行线的性质可得∠B+∠C=180°，结合∠C=3∠B就可求出∠B的度数；
【拓展延伸】过点E作EM∥AB，过点F作 FN∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得AB∥CD∥EM∥FN，则∠B+∠BEF+∠FEM=180°，∠EFN+∠EFC+∠C=180°，∠EFN=∠FEM，据此解答；
【类比探究】上结论知∠ABE+∠E=∠CFE+∠C，则∠ABE-∠CFE=∠C-∠E=42°，结合已知条件可得∠EBP-∠EFP=14°，根据内角和定理可得∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°，结合对顶角的性质可得∠EBO+88°=∠P+∠EFP，据此求解.
14．【答案】（1）解：如图1，过E作EF∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE= ∠ABP=25°，∠CDE= ∠CDP=30°，
∴∠BED=25°+30°=55°，
故答案为55°；
（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，
∴∠ABE1= ∠ABP= α，∠CDE1= ∠CDP= ，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠AFE1= ，
∴∠E1=∠AFE1﹣∠ABE1= ﹣ α= （β﹣α），
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，
∴∠ABE2= ∠ABE1= α，∠CDE2= ∠CDE1= ，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE2= ，
∴∠E2=∠AGE2﹣∠ABE2= （β﹣α），
同理可得，∠E3= （β﹣α），
以此类推，∠En的度数为 （β﹣α）．
（3）∠DEB=90°﹣ ∠P．理由如下：
如图3，过E作EG∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE= ∠PDF= （180°﹣∠CDP），∠ABQ= ∠ABP，
∴∠DEB= ∠ABP+ （180°﹣∠CDP）=90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP），
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠AHP，
∴∠DEB=90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ ∠P．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，依据角平分线即可得出∠BED的度数；【探究】依据平行线的性质以及三角形外角性质，求得∠E1= （β﹣α），∠E2= （β﹣α），∠E3= （β﹣α），以此类推∠En的度数为 （β﹣α）；【变式】过E作EG∥AB，进而得出∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠DEB=90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ ∠P．
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姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．（2021八上·下城期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF.正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BE是中线，
∴ ，
∴S△ABE＝S△BCE(等底同高的两个三角形面积相等)，故①正确；
∵CF是角平分线，
∴ ，
∵AD是高，
∴ ，
∵ ，
，
，
，故②正确；
根据已知条件不能推出 ，故③错误；
∵AD是高，
∵CF是角平分线，
即 ，故④正确.
故答案为：C.
【分析】由中线的概念可得AE=CE，根据等底同高的两个三角形面积相等可判断①；由角平分线的概念可得∠ACF=∠BCF，由同角的余角相等可得∠ABC=∠CAD，由外角的性质可得∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，据此判断②；由同角的余角相等可得∠ACB=∠BAD，由角平分线的概念可得∠ACB=2∠ACF，推出∠BAD=2∠ACF，据此判断④.
2．（2021八上·诸暨月考）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AG，GD，并延长GD，
∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC，
∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC）
=∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，
∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°.
故答案为：B.
【分析】连接AG，GD，并延长GD，根据三角形外角的性质推得∠GBD+∠GCD=30°，结合角平分线定义得出∠ABG+∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠A=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC），代入数值即可解答.
3．（2019八上·陕县期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正确；
∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD=∠MFI，
∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误.
故答案为：C.
【分析】先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确；
根据∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确；
由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误.
4．（2020八上·武汉月考）如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=2∠ADB，③∠ADC=90°-∠ABD，④BD平分∠ADC，其中正确结论有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠ACB，AD平分△ABC的外角∠EAC
又∵
∴
∴AD∥BC，故①正确
∵
∵BD平分∠ABC
∴
∴
∴
故②正确；
∵AD∥BC
∴
∵CD平分∠ACF
∴
又∵
∴
∴
即
∴③正确；
假设BD平分∠ADC
则：
∵
∴
∴
∴ ，且
∴
∵已知条件不具备
∴BD平分∠ADC假设不成立
∴④错误
故答案为：C.
【分析】 根据三角形外角的性质结合已知得出∠EAC=2∠ABC，根据角平分线的性质得出∠EAC=2∠EAD，从而得出∠EAD=∠ABC，根据同位角相等，二直线平行得出AD∥BC；根据二直线平行内错角相等得出∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得出∠ABC=2∠DBC，根据等量代换即可得出 ∠ACB=2∠ADB； 根据二直线平行内错角相等得出∠ADC=∠DCF，由角平分线的定义得出∠ACF=2∠DCF，进而根据平角的定义即可得出∠ADC+∠ABD=90°；利用反证法即可证出 BD平分∠ADC 不成立.
5．（2022八上·科尔沁期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝；
同理可得∠A2＝∠A1＝ α＝，
同理可得∠A3＝∠A2＝ ＝，
……
∴∠An＝，
∴∠A2022＝．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质分别求出∠A1＝，∠A2＝∠A1＝，∠A3＝∠A2=···，从而得出∠An＝，继而得解.
阅卷人 二、填空题
得分
6．（2019八上·河北期中）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：①设点A，B在直线MF上，
∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，
∴AD平分△ABC的外角∠FAC，
∴∠FAD＝∠DAC，
∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，
∴∠FAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①符合题意．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝ ∠ABC+ ∠MBC＝ ×180°＝90°，
∴EB⊥DB，故②符合题意，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC＝ ∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB＝180°，
∴ ∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③符合题意，
④∵∠BEC＝180°﹣ （∠MBC+∠NCB）＝180°﹣ （∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣ （180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°﹣ ∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④符合题意，
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定一一判断即可．
7．（2019八上·台州开学考）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5的度数为 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∠A=180°-（∠1+∠2），
∠B=180°-（∠3+∠4），
∴∠A+∠B=180°-（∠1+∠2）+180°-（∠3+∠4），
=360°-（∠1+∠2+∠3+∠4），
=360°-220°=140°，
则∠5=180°-（∠A+∠B）=180°-140°=40°.
【分析】根据三角形内角和定理，分别把∠A和∠B用 ∠1、∠2、∠3和∠4 表示出来，两式结合从而求出∠A与∠B之和，在三角形ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠5的度数。
8．（2016八上·阳信期中）如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC= ，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M= ．
【答案】140°；40°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A=100°，
∵∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°，
∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）= ×80°=40°，
∴∠I=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣40°=140°；
∵∠ABC+∠ACB=80°，
∴∠DBC+∠ECB=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣80°=280°，
∵BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠1= ∠DBC，∠2= ECB，
∴∠1+∠2= ×280°=140°，
∴∠M=180°﹣∠1﹣∠2=40°．
故答案为：140°；40°．
【分析】首先根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质得到∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，求出∠IBC+∠ICB的度数，再次根据三角形内角和求出∠I的度数即可；
根据∠ABC+∠ACB的度数，算出∠DBC+∠ECB的度数，然后再利用角平分线的性质得到∠1= ∠DBC，∠2= ECB，可得到∠1+∠2的度数，最后再利用三角形内角和定理计算出∠M的度数．
9．（2021八上·新洲期末）如图，在△ABC 中，∠ABC=57°， ∠BAD=71° ，∠DAC=30° ，∠ACD=11° ，求∠DBC 的度数 .
【答案】19°
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∠ACB=180°-∠ABC -∠BAC=180°- 57°-71°-30°=22°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=11°
延长CA到E，使CE=CB，易证△CDE △CDB（SAS）
∴DE=DB
连接EB，则∠AEB=∠CBE=(180°-∠ACB)/2=79°
∠EAB=180°-∠BAC=79°=∠AEB
∴BE=BA
过B点作AE的垂线BG，交DA延长线于F点，连接EF，
易证FG为∠EFA平分线（三线合一）
∴∠EFG=∠AFB=90°-∠FAG=90°-∠CAD =60°
过D点向EF延长线作垂线，垂足为K，过D点向BF作垂线，垂足为H；
则∠KFD=180°-∠EFB-∠AFB=60°，∠KDF=90°-∠KFD=30°
易证△DHF △DKF（AAS）
∴∠HDF=∠KDF=30°，DK=DH，
又∵DE=DB
∴Rt△DIB Rt△DKE（HL）
∴∠HDB=∠KDE
∴∠BDE=∠HDB+∠HDE=∠KDE+∠HDE=∠KDH=∠KDF+∠HDF =30°+30°=60°
∴△DEB为等边三角形，∠EBD=60°
∠DBC=∠EBC-∠EBD=79°-60°=19°
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，同时可求出∠BAC，∠DCB及∠ACB的度数；设∠ADB=x，∠BDC=y，∠CBD=z，∠ABD=m，利用角的和差可建立方程组，解方程组求出z的值，即可得到∠DBC的度数.
10．（2019八上·江岸月考）△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝ .
【答案】175
【知识点】解一元一次不等式组；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A，
又∵∠A≤∠C≤∠B，
∴∠A≤180°﹣ ∠A，
解得∠A≤40°；
又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A，
解得∠A≥30°，
∴30°≤∠A≤40°，
即30°≤ ∠B≤40°，
∴75°≤∠B≤100°
∴m+n＝175.
故答案为：175.
【分析】由2∠B＝5∠A，得∠B＝ ∠A，根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A；根据题意有∠A≤∠C≤∠B，则∠A≤180°﹣ ∠A，和180°﹣ ∠A≤ ∠A，解两个不等式得30°≤∠A≤40°，而∠A＝ ∠B，得到∠B的范围，从而确定m，n.
11．（2019八上·浦东期中）在△ABC中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则必有一个内角等于 °.
【答案】90
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解： ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C-∠A，
∴∠A+∠C-∠A +∠C =180°，
∴∠C=90°，
故答案为：90．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠B=∠C-∠A代入求出∠C即可．
12．（2022八上·绵阳竞赛）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④.
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：，的平分线交于点O，
，，
，
，
，
，
，故①正确，
平分，
，
，，
，故②正确；
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，故③错误；
，
，
，
.故④正确，
综上正确的有：①②④，
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），根据三角形的内角和定理∠BOC=∠A+90°，据此可判断①；由角平分线的定义得∠DCF=∠ACF，进而根据三角形外角性质得∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，从而可得∠D=∠A，据此可判断②；根据三角形外角性质得∠MBC+∠BCN=180°+∠A，再利用角平分线的定义得∠EBC+∠BCE=90°+∠A，进而根据三角形的内角和定理得∠E=90°-∠A，据此判断③；利用三角形外角性质及内角性质可得∠E+∠DCF=90°+∠DBC，结合∠ABD=∠DBC即可判断④.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2022八上·信阳开学考）学行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：
已知：如图，．
【初步感知】如图1，若，求的度数；
【拓展延伸】如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：；
【类比探究】如图3，若，，若，，直接写出的度数．
【答案】解：【初步感知】解： ，
，
，
，
；
【拓展延伸】证明：过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ， ，
；
【类比探究】102°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】【类比探究】上结论知，如图：
，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
【分析】【初步感知】根据平行线的性质可得∠B+∠C=180°，结合∠C=3∠B就可求出∠B的度数；
【拓展延伸】过点E作EM∥AB，过点F作 FN∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得AB∥CD∥EM∥FN，则∠B+∠BEF+∠FEM=180°，∠EFN+∠EFC+∠C=180°，∠EFN=∠FEM，据此解答；
【类比探究】上结论知∠ABE+∠E=∠CFE+∠C，则∠ABE-∠CFE=∠C-∠E=42°，结合已知条件可得∠EBP-∠EFP=14°，根据内角和定理可得∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°，结合对顶角的性质可得∠EBO+88°=∠P+∠EFP，据此求解.
14．（2019八上·双流开学考）
（1）已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，求∠BED的度数．
（2）（探究）如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3，…以此类推，求∠En的度数．
（3）（变式）如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试猜想∠P与∠E的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，过E作EF∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE= ∠ABP=25°，∠CDE= ∠CDP=30°，
∴∠BED=25°+30°=55°，
故答案为55°；
（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，
∴∠ABE1= ∠ABP= α，∠CDE1= ∠CDP= ，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠AFE1= ，
∴∠E1=∠AFE1﹣∠ABE1= ﹣ α= （β﹣α），
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，
∴∠ABE2= ∠ABE1= α，∠CDE2= ∠CDE1= ，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE2= ，
∴∠E2=∠AGE2﹣∠ABE2= （β﹣α），
同理可得，∠E3= （β﹣α），
以此类推，∠En的度数为 （β﹣α）．
（3）∠DEB=90°﹣ ∠P．理由如下：
如图3，过E作EG∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE= ∠PDF= （180°﹣∠CDP），∠ABQ= ∠ABP，
∴∠DEB= ∠ABP+ （180°﹣∠CDP）=90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP），
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠AHP，
∴∠DEB=90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ ∠P．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，依据角平分线即可得出∠BED的度数；【探究】依据平行线的性质以及三角形外角性质，求得∠E1= （β﹣α），∠E2= （β﹣α），∠E3= （β﹣α），以此类推∠En的度数为 （β﹣α）；【变式】过E作EG∥AB，进而得出∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠DEB=90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ ∠P．
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