北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用 学案（无答案）

《勾股定理的应用》学历案
导读
勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.学习勾股定理及其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要, 也是后续有关几何度量运算和代数学习的必要基础,因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用.本设计通过动手操作、归纳概括等活动，让学习者掌握勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用.学习过程分为三个任务驱动，凸显任务与目标的对应，同时强化学以致用，实现教、学、评的一致性.
【课题与课时】
课题：北京师范大学出版社 初中数学 八年级上册，第一章 1.3勾股定理的应用
共1课时 第1课时
设计教师：
【课标要求】
能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题.
【学习目标】
1.通过实例,经历实际问题抽象成数学问题的过程,掌握运用勾股定理解决简单的实际问题.
2.通过实例,经历实际问题抽象成数学问题的过程,掌握运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题.
3.通过实例,经历实际问题抽象成数学问题的过程,灵活运用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题, 提高学生分析问题、解决问题的能力．
【评价任务】
1.独立完成任务一：2,3 (检测目标1)
2.独立完成任务二：2,3 (检测目标2)
3.合作完成任务三：2,3 (检测目标3)
【学习提示】 阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习.
【资源与建议】
本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．
2.本主题的学习按以下流程进行：勾股定理的应用→勾股定理的逆定理的应用 →最短路径问题.
3.本主题的重点是能运用勾股定理及其逆定理来解决简单的实际问题,难点是把立体图形转化成平面图形,在实际问题中构造直角三角形并利用勾股定理来解决问题.你可以通过任务3的学习，归纳总结解决此类问题的方法,来突破本节课的难点.
【学习提示】 在开始本节课学习之前，先认真阅读以上资源与建议，明确这节课内容的出处、知识的前后联系、学习的路径、学习的重难点及突破的途径，为顺利完成以下学习内容作好准备.
【学习过程】
学前准备：
1.勾股定理：在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝5,AC＝12,BC＝ .
2.勾股定理的逆定理：在△ABC中,AB＝5,AC＝12,BC＝13,则△ABC是 三角形.
(
A
)3.从A点到B点怎样走最近呢？你能说出这样走的理由吗？
4.学具准备：制作圆柱体．
(
B
)任务一：利用勾股定理解决实际问题（指向目标1）
1.思考:如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.(独立思考并完成)
2-3题检测目标1
2.如图,阴影长方形的面积是多少？
(
A
) 3.一架长5m梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯足距墙脚3m,若梯子顶端下滑1m,则梯足将滑动多少？
(
C
)
(
D
) (
B
)
(评价最高标准：第2-3题答案正确每题+5，最高10分)
【学习提示】实际问题→抽象出直角三角形问题,建立数学模型→利用勾股定理→求出三角形的边长，锻炼自己的分析问题解决问题的能力.通过评价任务熟悉勾股定理的应用，达到5分以上说明目标1达成.
任务二：利用勾股定理的逆定理解决实际问题（指向目标2）
1.李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺。
(1)你能替他想办法完成任务吗？
(2)李叔叔量得AD长是30cm，AB长是40cm，BD长是50cm。AD边垂直于AB边吗？
(3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？(先独立思考,再组内交流)
2-3题检测目标2
如图，一座城墙高11.7m，墙外有一个宽为9m的护城河，那么一个长为15m的云梯能否到达墙的顶端？
五根小木棒的长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,如图所示的三个图中哪一个是正确的？
(评价最高标准：第2-3题答案正确每题+5，最高10分)
【学习提示】 学生独立思考，如遇困难，可以组内交流,任务2是运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题.通过这个过程锻炼自己的概括分析问题解决问题的能力，增加数学活动经验，感受数学的实用性.通过评价任务掌握勾股定理的逆定理的应用,达到5分以上的说明目标2达成.
任务三：最短路径问题（指向目标3）
如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到地面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？
(2)将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
2-3检测目标3
有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，若在上底面有一点C位于A的正上方，则蚂蚁从A沿侧面绕一圈走到C的最短路程是多少？
绕两圈呢？请画出展开图. 绕三圈、四、五、……n圈呢？有什么规律？
一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
(最高评价标准：第2题是第1题的变式,答案正确+10，第3题答案正确+5, 最高15分)
【学习提示】 这个问题让学生先独立思考，列举出几种比较短的路径，再通过四人小组讨论进行比较分析，全班交流，从而寻找到最短路径.通过学生的合作探究，找到“蚂蚁怎么走最近”的方法，就是将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．通过评价任务掌握最短路径解法,达到10分以上的说明目标3达成.
【作业与检测】
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨8︰00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走。1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走。上午10︰00，甲、乙二人相距多远？（检测目标1）
有一块四边形地ABCD,如图,∠B=90°,AB=4 m,BC=3 m,CD=12 m,DA=13 m,求该四边形地ABCD的面积.（检测目标2）
(
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC-
C
BBBBBBBB
AAAAAAA
5
3
2
)一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高是6cm,在点B的下方2cm处有一点C，那么蚂蚁从点A沿表面爬行到C的最短距离是多少？（检测目标3）
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？（检测目标1）
长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm.（检测目标3）
【学后反思】
梳理本节课学习的知识内容和数学思想方法：
转化
实际问题 数学问题
建模
转化
立体图形 平面图形
展开
最短路径问题解决步骤： ①
②
③
小结自己在学习中的收获，或需要求助的困惑.
【学习提示】 对本节的学习进行归纳形成知识框架，并从学习经历中反思学会了什么，存在什么问题及掌握了那些解决数学问题的方法.