2022-2023学年北师大版七年级数学下册 第四章 三角形期末单元自测题（含答案）

北师大版七年级数学下册 第四章 三角形 单元自测题
一、单选题
1．现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm.若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（　　）
A．10cm B．30cm C．50cm D．70cm
2．某同学把三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　）
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．①②③都带去
3．有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（　　）
A．①对，②不对 B．②对，①不对
C．①、②都不对 D．①、②都对
4．画的边上的高，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，下列各组条件中，不能得到的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（　　）
A．112° B．115° C．120° D．125°
7．如图，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠ACP=2∠PCD=40°，连结AP，若∠BAP=α，∠CAP=α+β．下列说法中正确的是(　　)
A．当∠P=60°时，α=30° B．当∠P=60°时，β=40°
C．当=20°时，∠P=90° D．当β=0°时，∠P=90°
8．如图，点B、E、C、F四点共线，∠B ＝∠DEF，BE ＝ CF，添加一个条件，不能判定 △ABC ≌ △DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AC∥DF D．AC＝DF
9．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5m，PB＝4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　　）
A．6.5m B．7.5m C．8.5m D．9.5m
10．已知下列条件，不能作出唯一三角形的是（　　）
A．两边及其夹角 B．两角及其夹边
C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角
二、填空题
11．在中，若，，则是　 　三角形．（填“锐角”、“直角”、或“钝角”）
12．如图，有一座小山，现要在小山A，B的两端开一条隧道，施工队要知道A，B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则A，B之间的距离为　 　m；
13．若a，b，c是三角形的三边长，化简：　 　.
14．如图，D是AB延长线上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，FC∥AB，若AB＝3，CF＝5，则BD的长是 　 　．
三、作图题
15．如图，在7×7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺在所给的网格中画图，保留画图过程的痕迹．
（1）在如图1中找一格点C，画一条线段AB的平行线段CD；
（2）在图2中找一格点E，画出三角形ABE，使得S△ABE＝4．
四、解答题
16．已知：如图，在中，，，点D，E分别在和上，且.求证：，并写出最后一步推理的依据.
17．如图，在四边形中，，，平分，平分，则与有何位置关系？试说明理由．
18．如图，在中，，，AD是的角平分线，求的度数.
19．已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
五、综合题
20．如图，已知AD∥BC，点E在AB的延长线上，连结DE交BC于点F，且∠C＝∠A.
（1）请说明∠E＝∠CDE的理由；
（2）若∠1＝75°，∠E＝30°，求∠A的度数.
21．如图，已知，点A在MN上，点B、C在GH上.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°.点D、E在直线AB上，在△DEF中，∠DFE＝90°，∠EDF＝30°.
（1）图中∠BAN的度数是　 　°；
（2）将△DEF沿直线AB平移，如图2所示，当点F在MN上时，求∠AFE的度数；
（3）将△DEF沿直线AB平移，当以A、D、F为顶点的三角形中，有两个角相等时，请直接写出∠FAN的度数.
22．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，∠ACB=90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合。
（1） 求证：△ADC≌△CEB；
（2） 求两堵木墙之间的距离。
23．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是 和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），且为整数.
（1）若70°，求的度数；
（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；
（3）当时，请直接写出+与的数量关系.
答案解析
1．【答案】B
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三根木棒的长度应大于30-20=10(cm)，而小于30+20=50(cm).
故答案为：B.
根据三角形三边关系定理可得“两边之差＜第三边＜两边之和”可得第三边的范围：10＜第三边＜50，然后根据各选项即可判断求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的；
第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的；
第③块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃．
故答案为：C．
由于③保留两角一边，根据ASA可得全等三角形.
3．【答案】B
【解析】【解答】等腰三角形包括等边三角形，故①的分类不符合题意；图②中的三角形的分类符合题意．
故答案为：B．
根据三角形的分类求解即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．
∴只有选项A符合题意，
故答案为：A．
根据高的定义逐项判断即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、由，，AB=AB，满足SAS能证明，故A不符合题意；
B、，，AB=AB，满足SSS能证明，故B不符合题意；
C、，，AB=AB，满足SAS能证明，故C不符合题意；
D、，，AB=AB，满足SSA，不能证明，故D符合题意；
故答案为：D．
利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
又∵BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°．
故答案为：B．
根据角平分线的定义可得∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，再利用三角形的内角和求出∠BPC=180°-65°=115°即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ACP=2∠PCD=40°，
∴∠PCD=20°，
∴∠ACD=∠ACP+∠PCD=60°.
∵AB∥CD，
∴∠CAB=180°-∠ACD=120°.
∵∠BAP=α，∠CAP=α+β，
∴∠CAB=2α+β，
∴2α+β=120°，
∴α+β=120°-α，β=120°-2α.
∵∠P+∠CAP+∠ACP=180°，
∴∠P=180°-(α+β+40°)=140°-(α+β)=140°-(120°-α)=20°+α.
当∠P=60°时，20°+α=60°，此时α=40°，故A错误，B正确；
当β=20°时，120°-2α=20°，此时α=50°，
∴∠P=20°+α=70°，故C错误；
当β=0°时，120°-2α=0°，此时α=60°，
∴∠P=20°+α=80°，故D错误.
故答案为：B.
由已知条件可得∠PCD=20°，则∠ACD=∠ACP+∠PCD=60°，根据平行线的性质可得∠CAB=180°-∠ACD=120°，由角的和差关系可得∠CAB=2α+β，则2α+β=120°，进而可得α+β=120°-α，β=120°-2α，由内角和定理可得∠P=20°+α，据此判断.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF，
A．∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，
∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠DEF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
故答案为：D．
根据题意先求出BC＝EF，再利用全等三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜9m，故D正确．
故答案为：D.
三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出AB的范围，进而判断.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形；
D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误；
故选D．
看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
11．【答案】直角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
设，则，根据题意得：
，
解得：，
则，
∴是直角三角形．
故答案为：直角．
先利用三角形的内角和及求出三角形的三个内角，再判断即可。
12．【答案】800
【解析】【解答】解：在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB=DE=800．
故答案为：800．
利用“SAS”证明△ABC≌△EDC，再利用全等三角形的性质可得AB=DE=800。
13．【答案】2c-2b
【解析】【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴，
∴
，
故答案为：2c-2b.
根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可得a+c＞b，a+b＞c，于是可得a+c-b＞0，c-a-b＜0，然后根据绝对值的非负性可去绝对值求解.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：∵FC∥AB，
∴∠A=∠ECF，
又∵∠AEC=∠CEF，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AD=CF=5，
∴BD=AD-AB=5-3=2.
故答案为：2.
根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，根据对顶角相等得出∠AEC=∠CEF，再利用ASA证明△AED≌△CEF，得出AD=CF=5，最后根据线段和差求BD长即可.
15．【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求；
（2）解：如图，△ABE即为所求．
【解析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据题意作三角形即可。
16．【答案】证明：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）.
【解析】利用三角形内角和定理求出∠B=50°，即得∠B=∠ADE，根据同位角相等，两直线平行即证结论.
17．【答案】结论：BE和DF的位置关系时平行
证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠4，
∴2∠2+2∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∵∠4+∠DFC=90°，
∴∠2=∠DFC，
∴BE∥DF
【解析】利用已知可知∠ABC+∠ADC=180°，利用角平分线的性质可推出∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠4，由此可证得∠2+∠4=90°，利用三角形的内角和定理可证得∠4+∠DFC=90°，利用余角的性质可得到∠2=∠DFC，利用同位角相等，两直线平行，可证得结论.
18．【答案】解：在中，（三角形内角和定理）.
∵，（已知），
∴（等式的性质）.
∵AD平分（已知），
∴（角平分线的定义）.
在中，（三角形内角和定理）.
∵（已知），（已证），
∴（等式的性质）.
【解析】根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，由角平分线定义算出∠BAD的度数，再由三角形内角和定理算出∠ADB的度数.
19．【答案】解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
②∵a＝5，b＝2，c为整数，
∴5﹣2＜c＜2+5，
∴c的最小值为4，c的最大值为6，
∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
【解析】（1）利用绝对值的性质（任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性）以及偶次方的性质（非负性）得出b和c的值，进而利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）及方程解的定义确定a的值，最后求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状；
（2）利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）列不等式，得出c的取值范围，确定c的最大值和最小值，进而求出△ABC的周长的最大值和最小值 .
20．【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠CBE，
∵∠C＝∠A，
∴∠C＝∠CBE，
∴CD∥AB，
∴∠E＝∠CDE
（2）解：∵∠1＝75°，
∴∠BFE＝∠1＝75°，
∵∠E＝30°，
∴∠CBE＝180°﹣∠BFE﹣∠E＝75°，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠CBE＝75°
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠A＝∠CBE， 由已知条件可知∠C＝∠A，则∠C＝∠CBE，推出 CD∥AB， 然后根据平行线的性质进行解答；
（2）根据对顶角的性质可得∠BFE＝∠1＝75°， 由内角和定理可得∠CBE＝180°-∠BFE-∠E＝75°，根据平行线的性质可得 ∠A＝∠CBE，据此解答.
21．【答案】（1）45
（2）解：由（1）得，即，
又∵∠EDF＝30°，
∴，
∵∠DFE＝90°，
∴
（3）15°或75°
【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：当时，如图所示，
∵∠EDF＝30°，即，
∴，
由（1）得，
∴；
当时，如图所示，
∵∠EDF＝30°，即，
∴，
∴，
由（1）得，
∴；
综上，∠FAN的度数为或.
（1）根据内角和定理可得∠ABC=45°，由平行线的性质可得∠BAN=∠ABC，据此解答；
（2）由（1）得∠BAN=45°，即∠BAF=45°，由内角和定理可得∠AFD的度数，然后根据∠AFE=∠AFD-∠DFE进行计算；
（3）当∠FAD=∠FDA=30°时，根据∠FAN=∠BAN-∠FAD进行求解；当∠AFD=∠FDA=30°时，由内角和定理可求出∠FAD的度数，然后根据∠FAN=∠FAD-∠BAN进行计算.
22．【答案】（1） 证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中 ，
∴△ADC≌△CEB（AAS）
（2） 解：由题意得：AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm.
【解析】 (1) 同角或等角的余角相等可推到出 ∠DAC = ∠BCE ，再利用全等三角形的判定定理AAS证明出 △ADC≌△CEB ；
(2)由(1)的△ADC≌△CEB 可知 EC＝AD ， DC＝BE ，根据题意可以得出AD=6，BE=14，继而求出DE=DC+CE=BE+AD=14+6=20.
23．【答案】（1）解：因为70°，
∵、分别是和的角平分线，
∴
∴
（2）解：在△中，+，
，，
，
，
故
（3）解：.
【解析】【解答】解：（3）理由如下： 因为BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，
所以，，
所以+=--（）
=---
=
=.
由（2）得，
所以，
所以+=，
所以2（+）=，
所以.
（1）由内角和定理可得∠A1BC+∠A1CB=110°，根据角平分线的概念可得∠A2BC=∠A1BC，∠A2CB=∠A1C B，则∠A2BC+∠A2CB=(∠A1BC+∠A1C B)=55°，再次利用内角和定理就可求出∠2的度数；
（2）由题意可得∠AnBC=∠A1BC，∠AnCB=∠A1C B，则∠AnBC+∠AnCB=(∠A1BC+∠A1C B)=(180°-α)，然后根据内角和定理进行解答；
（3）由角平分线的概念以及邻补角的性质可得∠MBE=∠A1BE=(180°-∠A1BC)，∠NCF=∠A1CF=(180°-∠A1 CB)，则∠MBAn+∠NCAn=360°-∠MBE-∠NCF-(∠AnBC+∠AnCB)=(180°-∠A1)+∠An，然后结合（2）的结论进行解答.