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第7章三 角函数综合测试
【基础】
一、单选题
π
1．（2022 春·上海崇明·高一统考期末）要得到函数 y sin 2x 的图象，只需要将函数 y sin 2x 的图象
3
（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
6 6
π π
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
3 3
2．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）函数 y sin 2x 的单调增区间是（6 ）
A 2k
, 2k ． (k Z )
B． k ,k
(k Z ) 2 2 6 3
C k
5
,k ． (k Z )
k D , k
(k Z )
3 6
．
6 3
二、填空题
3．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）函数 y 1 2cos
2x π 3 的单调递增区间是___________.
π
4．（2022
春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）函数 y tan 2x 的最小正周期为______．
6
1
5．（2022 春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）函数 y 2sin 2 x 的初始相位是______．
6
6 2022 · · y cos 2x
π
．（ 春 上海浦东新 高一校考期末）将函数 的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短
3
1
到原来的 2 ，所得图像的解析式为______．
π 2π7．（2022 春·上海黄浦· 高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）函数 y cos 2x, x , 的单调增 6 3
区间是_____．
8．（2022 春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知 f x a tan x bsin 2x 3，且 f 2 1，则
f 2 ______.
9．（2022 春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）函数 y lg 2cos x 3 的定义域为______.
10．（2022 春·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）将函数 y sin 2x 的图像上的所有点向
3
右平移 个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.
6
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11．（2022 春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）直线 y＝a 与函数 y tan x 的图象的相邻两个交点
的距离是______．
三、解答题
12．（2022 春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知函数 y k sin x b(k 0) 的最小值为 4，
最大值为 2，求 k 、b 的值.
13．（2022 春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设函数
f (x) Asin( x )(A 0, 0,0 2π)部分图像如图所示．
(1)求 A, , ；
(2)求函数 f
x
x
π 2π ,
2 3 3
的单调递减区间．
14．（2022 春·上海闵行·高一校考期末）函数 f (x) 3sin(2x )的部分图象如图所示．
6
(1)写出 f (x) 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值；
(2)求 f (x) 在区间[
, ]上的最大值和最小值．
12 2
15．（2022 春·上海崇明·高一统考期末）已知函数 f (x) sin x 3 cos x( 0) ．
(1)当 1时，用五点法作出函数 y f (x) 一个周期内的图像；
π π
(2)若函数 y f (x) 在区间 ,
上是严格增函数，求实数 的取值范围． 3 4
1
16．（2022 春·上海奉贤·高一校考期末）已知函数 f x sin 2x ， x R .2 4
(1)求 f 0 的值；
(2)求 f x 的最小正周期；
(3)求 f x 的单调减区间.
17．（2022 春·上海宝山·高一校考期中）已知函数 f (x) 3 sin 2x cos 2x .
π
(1) 将函数化为 y Asin(ωx φ) A 0,0 φ 的形式，求 A, , 的值；
2
(2) x , 当 时，求 f (x) 的最大值和最小值，并指出取得最值时 x 的值. 6 3
【典型】
一、单选题
1．（2021 春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．函数 y tan x
k
的定义域是 x∣x ,k Z
2
B．第一象限的角必是锐角
C．若 sin sin ，则 与 的终边相同
D． y sin | x |不是周期函数．
2．（2021 春·高一课时练习）“ a 1”是“函数 y cos2 ax sin2 ax 的最小正周期为 π ”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分且必要 D．既不充分也不必要
3．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）把函数 y sin 2x 的图象沿着 x 轴向左平移 个单位，纵坐标伸长
6
到原来的 2倍（横坐标不变）后得到函数 y f x 的图象，对于函数 y f x 有以下四个判断：
（1）该函数的解析式为 y 2sin 2x ；
6
（2）该函数图象关于点 ,03
对称；
（3）该函数在 0, 上是增函数； 6
（4）若函数 y f x a 在 0, 上的最小值为2 3，则 a 2 3 .
其中正确的判断有（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
二、填空题
4．（2021 春·高一单元测试）已知函数 f (x) sin 3x cos3x ， x R ，给出下列四个结论：
①函数 f (x)
的值域是 2, 2 ；②函数 f x 为奇函数；③函数 f (x)
4 的图象关于直线
x 对称；④
4
若对任意 x R ，都有 f x1 f (x) f x2 成立，则 x1 x
2 的最小值为 .3
其中正确结论的序号是___________.
5．（2021 春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知 f x 是定义在（0，3）上的函数， f x
的图象如图所示，则不等式 f x cos x 0的解集是______.
6．（2021 春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）函数 y tan x 1的图象的对称中心为________．
sin x tan( x) sec x 3
7 2021 · · 2 2 ．（ 春 上海金山 高一上海市金山中学校考期中）已知 f (x) ，将
sec( x) cot(2 x)
f (x) 的图象向左平移 2 个单位，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到 g(x)的图象，
则 g(x) ____________．
1
8．（2021 春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）函数 y 的图像与函数 y 2sin x( 2 x 4) 的
x 1
图像所有交点的横坐标之和等于_______．
三、解答题
9．（2021 春·上海·高一期中）已知 y tan2 x 2 tan x 3，求它的最小值
1
10．（2021 春·高一课时练习）已知函数 f x sin x ．
6 2
（1）若函数 f x 在区间 0,a 上是严格增函数，求实数 a的取值范围；
（2）求函数 f x 在区间 0, 2 上的所有零点．
11．（2021 春·高一课时练习）已知函数 y f x 是定义在 2 , 2 上的偶函数，当 x 0,2 时，
f x sin x．
（1）求 f x 在 2 ,0 上的解析式；
（2）求不等式 f x 1 的解集．
2
12．（2022·上海·高一专题练习）对于函数 f x ，若在其定义域内存在实数 x0 ，t，使得 f x0 t f x0 f t
成立，称 f x 是“t 跃点”函数，并称 x0 是函数 f x 的“t 跃点”．
π
(1)若函数 f x sin x m，x∈R 是“ 跃点”函数，求实数 m 的取值范围；
2
(2)若函数 f x sin x m ，x∈R，求证：“ sin m 0 ”是“对任意 t∈R， f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件；
π
(3)是否同时存在实数 m 和正整数 n 使得函数 h x cos 2x m在 0,nπ 上有 2021 个“ 跃点”？若存在，请
4
求出所有符合条件的 m 和 n 的值；若不存在，请说明理由．
【易错】
一．选择题（共 2 小题）
1．（2022 春 浦东新区校级期中）对于函数 f（x）＝sin（2x+ ），下列命题：
①函数图象关于直线 x＝﹣ 对称；
②函数图象关于点（ ，0）对称；
③函数图象可看作是把 y＝sin2x 的图象向左平移个 单位而得到；
④函数图象可看作是把 y＝sin（x+ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ．
（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022 春 浦东新区校级期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行
曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，
已知函数 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线 y＝2020 相交于 A，
B 两点，且|AB|＝2，则 ＝（ ）
A． B． C． D．﹣
二．填空题（共 6 小题）
3．（2021 春 浦东新区校级月考）设函数 在[﹣π，π]的图像大致如图，则 f（x）的
最小正周期为 ．
4．（2021 春 普陀区校级月考）方程 ，在[0，2π]内的解集是 ．
5．（2021 春 杨浦区校级期中）函数 的单调递增区间为 ．
6．（2021 春 奉贤区月考）函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，x∈R）满足： ，且
上具有单调性，则满足条件的 ω 取值个数为 ．
7．（2022 春 杨浦区校级期末）已知函数 f（x）＝cos（2x+ ）﹣cos2x，其中 x∈R，给出下列四个结论：
①函数 f（x）是最小正周期为 π 的奇函数；
②函数 f（x）图象的一条对称轴是直线 x＝ ；
③函数 f（x）图象的一个对称中心为（ ，0）；
④函数 f（x）的单调递增区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．
其中正确的结论序号 ．
8．（2022 春 徐汇区校级期中）函数 的值域是 ．
三．解答题（共 4 小题）
9．（2021 春 奉贤区期中）已知函数 y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）在一个周期内，当 x＝
时，y 有最大值为 2，当 x＝ 时，y 有最小值为﹣2．
（1）求函数 y＝Asin（ωx+φ）表达式；
（2）并画出函数 y＝Asin（ωx+φ）在一个周期内的简图．（用“五点法”）；
（3）当 x∈[0， ]时，求函数的最值．
10．（2022 春 嘉定区校级期末）已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图
所示．
（1）求 f（x）的解析式及对称中心；
（2）先将 f（x）的图像纵坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位后得到 g（x）的图像，求函数 y
＝g（x）在 上的单调减区间和最值．
11．（2021 春 静安区校级期中）已知函数 ．
（1）当 a＝1 时，求 f（x）的单调递增区间；
（2）当 x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求 a、b 的值．
12．（2022 春 松江区校级期末）已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图像如图所
示．
（1）求函数 f（x）的解析式，并求 f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC 的三内角 A、B、C 的正弦值依次成等比数列，求 f（B）的值域；
（3）将 f（x）图像上所有点先向右平移 个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，
得到 g（x）的图像，记 h（x）＝g（x）g（x+ ）﹣m，是否同时存在实数 m 和正整数 n，使得函数 h
（x）在[0，nπ]上恰有 2022 个零点？若存在，请求出所有符合条件的 m 和 n 的值；若不存在，请说明理
由．
【压轴】
一、单选题
1．（2021 春·高一课时练习）关于函数 y sin2x的判断，正确的是
A．最小正周
π π
期为 2π ，值域为 1,1 ，在区间 , 上是单调减函数 2 2
π
B．最小正周期为 π，值域为 1,1 ，在区间 0, 上是单调减函数 2
C．最小正周期为 π，值域为 0,1 ，在区间 0,
π
上是单调增函数 2
π π
D．最小正周期为 2π，值域为 0,1 ，在区间 , 上是单调增函数 2 2
2．（2022 春·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）设函数 f x mcos x ncos x ，其
中 m，n， ， 为已知实常数， x R ，则下列 4 个命题：
（1）若 f 0 f 0，则 f ( x) = 0 对任意实数 x 恒成立；
2
（2）若 f 0 0，则函数 y f x 为奇函数；
（3）若 f 0，则函数 y f x 2 为偶函数；
2
（4）当 f 0 f 2 0时，若 f x1 f x2 0，则 x1 x2 2k ， k Z
2
其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
1
3．（2021 春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）方程 2sin x 0， x [ m 2,m 4]（m Z）
1 x
的所有根的和等于 2024，则满足条件的整数m 的值是________
4．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）在角 1， 2， 3 ，…， 29 的终边上分别有
P P P … P P sin 15o o o o一点 1， 2， 3， ， 29 ，如果点 k 的坐标为 k ,sin 75 k ，1 k 29， k N，则
cos 1 cos 2 cos 3 cos 29 ______
5．（2022 春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知 0，存在实数 ，使得对任意 n N ，
cos n cos 总成立，则 的最小值是______．
8
6．（2021 春·上海·高一期中）若函数 f (x) x sin
x
1，则 f (1) f (2) f (3) f (2021) __________
2
7．（2021 春·上海宝山·
高一上海市行知中学校考阶段练习）若 x, y , 4 4
， a R ，且
x3 sin x 2a 0
，则 cos x 2y ______（提示： y sin x x , 3 在 上严格增函数）
4y sin y cos y a 0 2 2
8．（2021 春·上海·高一期末）已知函数 g x sin x
，记方程 g x
1
在 x 0,21 4 3 上的根从小到大 3
依次为x1，x2， ....xn ，求 x3 2x4 ...... 2xn 1 xn =____.
9．（2021 春·上海·高一期末）已知函数 f x 5sin 2x , 0, , x 0,5 ，若函数F x f x 3的 2
所有零点依次记为 x1, x2 , x3 ,L , xn 且 x1 x2 x3 L xn 1 xn ， n N* ，若
x1 2x2 2x3 L 2xn 2 2x x
83
n 1 n ，则 __________.2
三、解答题
10．（2021 春·上海·高一期末）已知 l1， l2， l3 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.
（1）如图 1，如果 l1与 l2间的距离是 1， l2与 l3 间的距离也是 1，可以把一个正三角形 ABC 的三顶点分别放
在 l1， l2， l3 上，求这个正三角形 ABC 的边长.
（2）如图 2，如果 l1与 l2间的距离是 1， l2与 l3 间的距离是 2，能否把一个正三角形 ABC 的三顶点分别放在
l1， l2， l3 上，如果能放，求 BC 和 l3 夹角 的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.
（3）如果边长为 2 的正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1， l2， l3 上，设 l1与 l2间的距离为 d1 ， l2与 l3 间的距离
为 d2 ，求 d1 d2 的取值范围.
11．（2020 春·上海徐汇·高一位育中学校考期中）已知函数 f (x) 4sin x cos(x ) 3，
3
(1)化简 f (x) 到 y Asin( x ) B(A 0, 0,| |
)
2 ，并求最小正周期；
(2)求函数 f (x) 在区间[
, ]上的单调减区间；
4 6
(3)将函数 f (x) 图像向右移动 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的 a(0 a 1) 倍得到
6
y g(x) 的图像，若 y g(x) 在区间[ 1,1]上至少有 100 个最大值，求 a 的取值范围.
12．（2022 春· 2上海闵行·高一校联考期中）已知函数 f (x) sin x 2 3 sin x cos x cos2 x 0
(1)化简 y f (x) 的表达式.
(2)若 y
f (x) 的最小正周期为 π，求 y f (x) x 0, ， 2 的单调区间与值域.
(3)将（2）中的函数 f (x) 图像上所有的点向右平移 0,
2 个单位长度，得到函数
y g(x) ，且 y g(x)
图像关于 x=0 对称.若对于任意的实数 a，函数 y g x ， x a,a 3 与 y=1 的公共点个数不少于 6 个且
不多于 10 个，求正实数 的取值范围.
13．（2021 春·上海·高一期末）已知函数 f x Asin x A 0, 0, ， y f x 的部分图象，如图
2
所示， P 、Q分别为该图象的最高点和最低点，点 P 的坐标为 , A R4 ，点 的坐标为
,0
4
，且
tan PRQ 2 .
2
（1）求 f x 解析式；
3
（2）若方程 sin x cos x 1 af x a 1 在区间 0, 内恰有一个根，求 a的取值范围. 4
14．（2022 春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）已知函数 f (x) sin( x )( 0, 0 ) 的最小正周
期为 ，且直线 x
是其图象的一条对称轴.将函数 y f (x) 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象
2 4
上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍所得的图象对应函数记作 y g(x) ，令函数
F (x) f (x) g(x) .
(1)求函数 y g(x) 的函数解析式；
(2)求函数 y F (x)的最大值及相对应的 x 的值；
(3)若函数F (x) f (x) g(x)在 (0,n ) 内恰有 2021 个零点，其中常数 R ， n N ,n 1，求常数 与n的
值.
15．（2021 春·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）已知函数 y f (x), x D，如果对于定义域D内的
任意实数 x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有 f (x T ) m f (x) 成立，则称函数 f (x) 是D
上的周期为T 的m 级类周期函数．
（1）已知 y f (x) 是[0, ) 上的周期为 1 的m 级类周期函数，且 y f (x) 是[0, ) 上的严格增函数，当
x [0,1) 时， f (x) 2x ，求实数m 的取值范围；
（2）设函数 f (x) 是 R 上的周期为 1 的 2 级类周期图数，且当 x (0,1]时， f (x) x(x 1)．若对任意
x ( ,m]，都有 f (x)
8
，求m 的取值范围；
9
（3）是否存在实数 k ，使函数 f (x) coskx 是 R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数 k 和T
的值，若不存在，说明理由．
16．（2022 春·上海闵行·高一校联考期中）已知函数 y f (x) ， x D ，如果对于定义域 D 内的任意实数 x，
对于给定的非零常数 P，总存在非零常数 T，恒有 f x T P f x 成立，则称函数 f (x) 是 D 上的 P 级递
减周期函数，周期为 T；若恒有 f x T P f x 成立，则称函数 f (x) 是 D 上的 P 级周期函数，周期为 T.
(1) 2判断函数 f x x 3是 R 上的周期为 1 的 2 级递减周期函数吗，并说明理由？
(2) 已知T ， y f (x) 是 0, 上的 P 级周期函数，且 y f (x) 是 0, 2 上的严格增函数，当 x 0, 2
f x sin x 1. x n, n 1 n N*时， 求当 2 2 时，函数 y f (x) 的解析式，并求实数 P 的取值范围；
x
(3)是否存在非零实数 k f x 1 ，使函数 coskx 是 R 上的周期为 T 的 T 级周期函数？请证明你的结论.
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第 7 章 三角函数综合综合测试
【基础】
一、单选题
π
1．（2022 春·上海崇明·高一统考期末）要得到函数 y sin 2x 3
的图象，只需要将函数 y sin 2x 的图象
（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
6 6
π π
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
3 3
【答案】B
【分析】根据函数图象变换直接求解.
y sin π 【详解】因为 2x =sin
π
2 x , 3 6
所以要得到函数 y sin
2x
π
3
的图象，
π
只需要将函数 y sin 2x 的图象向右平移 个单位,
6
故选:B.
y sin 2x 2．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）函数 的单调增区间是（ ）
6
A ． 2k , 2k
(k Z )
B． k ,k
(k Z ) 2 2 6 3
C ． k
,k 5 (k Z )
D． k , k
(k Z )
3 6 6 3
【答案】B
【分析】根据正弦函数的性质计算可得；
y sin 2x 【详解】解：因为 ，
6
令 2k
2x 2k ， k Z，
2 6 2
解得 k - x k + ， k Z，
6 3
所以函数的单调递增区间为 k ,k
(k Z )； 6 3
故选：B
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二、填空题
3．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）函数 y 1 2cos
π
2x
3 的单调递增区间是___________.
kπ π π【答案】 , kπ
, k Z 3 6
【分析】利用整体代入法求得函数的单调递增区间.
π π π
【详解】由 2kπ π 2x 2kπ，解得 kπ x kπ ，
3 3 6
所以函数 y 1 2cos
2x
π
kπ π , kπ π 的单调递增区间是 ,k Z3 . 3 6
π π
故答案为： kπ , kπ , k Z 3 6
π
4．（2022
春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）函数 y tan 2x 的最小正周期为______．
6
π
【答案】 ## 0.5π
2
π
【分析】直接代入正切型函数的周期公式T 运算求解.
y tan 2x π【详解】函数
π
的最小正周期T .
6 2
π
故答案为： .
2
5．（2022 春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）函数 y 2sin
2 x 1
的初始相位是______．
6
1
【答案】
3
【分析】由初始相位的定义可得结论.
1 1
【详解】因为 y 2sin 2 x
2sin
2x
，
6 3
所以函数 y 2sin
2 1 1 x 6
的初始相位是 ，
3
1
故答案为： .
3
π
6．（2022 ·
春 上海浦东新·高一校考期末）将函数 y cos 2x 的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短
3
1
到原来的 2 ，所得图像的解析式为______．
π
【答案】 y cos 4x 3
1
【分析】横坐标缩短到原来的 2 ，将
x 变为 2x即可.
【详解】将函数 y cos
π
2x
1
的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，所得图像的解析
3 2
式为 y cos
2 2x
π
cos 4x
π
.
3 3
故答案为： y cos
4x π .
3
π 2π
7．（2022 春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）函数 y cos 2x, x , 6 3
的单调增
区间是_____．
π
【答案】 ,0
π , 2π,
6 2 3
【分析】可先求出 y cos 2x
π 2π
的单调增区间,取 y 的单增区间与 x , 的交集即可,注意单调区间不可写 6 3
并集.
【详解】解:由题知 y cos 2x的单调增区间为
π 2kπ 2x 2kπ, k Z ,
x π 即 kπ,kπ ,k Z , 2
π
当 k 0时,单增区间为 ,0
, 2
π
当 k 1 , 时单增区间为 , π 2
,
π 2π
Q x , , 6 3
π ,0
π 2π
6
, , 是 y cos 2x的单调增区间. 2 3
π
故答案为:
,0
π 2π
,
,
6 2 3
8．（2022 春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知 f x a tan x bsin 2x 3，且 f 2 1，则
f 2 ______.
【答案】-5
【分析】从 f 2 1得到 a tan 2 bsin 4 2，从而利用函数奇偶性求出 f 2 .
【详解】 f 2 a tan 2 bsin 4 3 1，故 a tan 2 bsin 4 2，
所以 f 2 a tan 2 bsin 4 3 a tan 2 bsin 4 3 2 3 5
故答案为：-5
9．（2022 春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）函数 y lg 2cos x 3 的定义域为______.
π π
【答案】 2kπ, 2kπ ， k Z
6 6
【分析】利用真数大于 0 列出不等式，求出定义域.
2cos x 3 0 cos x 3【详解】由题意得： ，即 ，
2
x π π所以 2kπ, 2kπ
,k Z .
6 6
π π
故答案为： 2kπ, 2kπ ， k Z
6 6
10．（2022 春·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）将函数 y sin 2x 的图像上的所有点向
3
右平移 个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.
6
【答案】 y sin 2x
【分析】直接利用三角函数图象的变换知识求解.
y sin 2x 【详解】解：将函数 的图像上的所有点向右平移 个单位，则所得的图像的函数表达式为
3 6
y sin[2(x ) ] sin 2x .
6 3
故答案为： y sin 2x
11．（2022 春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）直线 y＝a 与函数 y tan x 的图象的相邻两个交点
的距离是______．
【答案】
【分析】利用正切函数的性质即得.
【详解】直线 y a 与 y tan x 的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数 y tan x 的一个周期，
因为函数 y tan x 的最小正周期为 ，
所以直线 y＝a 与函数 y tan x 的图象的相邻两个交点的距离是 .
故答案为： .
三、解答题
12．（2022 春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知函数 y k sin x b(k 0) 的最小值为 4，
最大值为 2，求 k 、b 的值.
k 3
【答案】
b 1
.
【分析】根据正弦函数的性质求解.
k b 4 k 3
【详解】由题意得 k b 2 ，解得 b 1.
13．（2022 春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设函数
f (x) Asin( x )(A 0, 0,0 2π)部分图像如图所示．
(1)求 A, , ；
f x π 2π (2)求函数 x , 2 3 3
的单调递减区间．
π
【答案】(1) A 1， 2，
3
(2)
π , 2π ． 6 3
1 π
【分析】（1）利用最低点的值找到A 的值，由图像得 T ，从而取出周期，进而求出 ，将图像上的点
4 4
代入表达式中，结合题目所给即可求出 的值；
（2）先求出函数的单调递减区间，根据所给的区间分析求得函数的单调递减区间.
A 1, 1 T π 5π π【详解】（1）由题意得 ，则周期为 π，
4 6 12 4
2π
则 π, 2 ，
所以 f (x) sin(2x )，
π ,0 0 sin( π π π将 代入得 )，所以 2kπ,k Z，即 2kπ,k Z ，
6 3 3 3
π π
由0 2π 可得 ，则 f (x) sin 2x 3 ；3
f x sin x π , x π , 2π （2）
2 3 3 3
，
2kπ π π令 x 2kπ
3π
k Z ，
2 3 2
x 2kπ π ,2kπ 7π得
k Z 6 6 ，
π 7π
令 k 0，则 x , 6 6
，
x π 2π因为 ,
3 3
，
π 2π
所以单调递减区间为 , ． 6 3
14．（2022 春·上海闵行·高一校考期末）函数 f (x) 3sin(2x
)的部分图象如图所示．
6
(1)写出 f (x) 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值；
(2)求 f (x)
在区间[ , ]上的最大值和最小值．
12 2
【答案】(1)周期为 x
7
， 0 ， y0 36
3
(2)最大值是 3，最小值是
2
【分析】（1）根据周期公式求周期，结合图象求 x0 , y0 ；
（2）首先求 2x 的范围，再求函数的最值.
6
2 2
【详解】（1）T 2 ,
令 2x 2k ， k Z，
6 2
7
解得： x k ,k Z，由图可知，当 k 1时， x0 6 ，此时函数取得最大值 y6 0
3；
x , 7 （2）当
时， 2x , 12 2 6 3 6
，
sin 2x 1 ,1 此时 6
2
所以函数 f (x) 3sin(2x
3
)的最大值是 3，最小值是
6 2
15．（2022 春·上海崇明·高一统考期末）已知函数 f (x) sin x 3 cos x( 0) ．
(1)当 1时，用五点法作出函数 y f (x) 一个周期内的图像；
π π
(2)若函数 y f (x) 在区间 , 上是严格增函数，求实数 的取值范围． 3 4
【答案】(1)答案见解析
2
(2) 0,
3
【分析】（1）化简，列表，描点，平滑曲线连接即可；（2）利用三角函数单调性求参数取值范围即可.
【详解】（1）由题知 f (x) sin x 3 cos x( 0)，
所以 f x sin x 3 cos x 2sin x
π
3
，
当 1时， f x 2sin x π 3 ，
列表
π π π 3πx 0 2π
3 2 2
π π 2π 7π
x 5π
3 6 3 6 3
y 2sin x π
0 2 03 2
0
作图
（2）由（1）得 f x 2sin x
π
, ( 0)，
3
π π
因为 x ，
3 4
π π所以 x
π π
π ，
3 3 3 4 3
π π
又函数 y f (x) 在区间 , 上是严格增函数， 3 4
π 2kπ π π x π π π π所以 2kπ，
2 3 3 3 4 3 2
π π π
2kπ 2 3 3
π π π
，
2kπ
4 3 2
5 6k
2
解得 ， k Z，又 0
2 8k
3
2 2
解得0 ，所以 的取值范围为 0, .3 3
1
16．（2022 春·上海奉贤·高一校考期末）已知函数 f x sin 2x ， x R .2 4
(1)求 f 0 的值；
(2)求 f x 的最小正周期；
(3)求 f x 的单调减区间.
【答案】(1) 2
4
(2)
(3) k ，k
5
8 8
（ k Z）
【分析】（1）直接代入计算；
（2）结合正弦函数的周期求解；
（3）由正弦函数的单调性求解．
1 f (0) 1【详解】（ ） sin 2 ；
2 4 4
（2）T
2
；
2
2k 3 5 （3） 2x 2k ，解得 k x k ， k Z，
2 4 2 8 8
k k 5 所以减区间是 ， （ k Z）． 8 8
17．（2022 春·上海宝山·高一校考期中）已知函数 f (x) 3 sin 2x cos 2x .
π
(1) 将函数化为 y Asin(ωx φ) A 0,0 φ 的形式，求 A, , 的值；
2
(2)当 x
, 时，求 f (x) 的最大值和最小值，并指出取得最值时 x 的值. 6 3
π
【答案】(1) f x 2sin 2x ， A 2， 2， ；
6 6
(2) x 时， f (x)
min 1， x 时， f (x)max 2 ．6 6
【分析】（1）利用两角和的正弦公式变形可得；
2x （2）求出 的范围，然后由正弦函数的性质可得最值．
6
(1)
f (x) 3 sin 2x cos 2x 2( 3 sin 2x 1 cos 2x) 2(sin 2x cos cos 2x sin ) 2sin(2x )，
2 2 6 6 6
所以 A 2， 2，
；
6
(2)
x , 2x , 5 时， ， 6 3 6 6 6
2x π π 所以 + = - ，即 x 时， f (x)
6 6 6 min
1，
2x ，即 x 时， f (x) 2 ．
6 2 6 max
【典型】
一、单选题
1．（2021 春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）下列命题中正确的是（ ）
k
A．函数 y tan x
的定义域是 x∣x ,k Z
2
B．第一象限的角必是锐角
C．若 sin sin ，则 与 的终边相同
D． y sin | x |不是周期函数．
【答案】D
【分析】根据正切函数的定义可知 A 错误；容易举出反例判定 BC 错误；根据正弦函数的性质和周期函数
的定义，的利用反证法可以证明 D 正确.
【详解】由正切函数的定义可知函数 y tan x 的定义域为 x∣x k ,k Z ，x=0 时正切函数是有意义
2
x x k 的，0 ∣ ,k Z
，故 A 错误；
2
380°是第一象限角，但不是锐角，故 B 错误；
60°和 120°的正弦值相等，但终边不相同，故 C 错误；
假若函数 y sin | x |是周期函数，存在 T>0,使得 f(x+T)=f(x)对于任意实数 x 恒成立，
当 x≥0 时,由正弦函数的周期性得,T=2kπ,k∈N*，
f 3 sin 3 但 1,
2 2
f 3 2k
sin
2 k 1 sin 2 k 1 1 ,
2 2 2
f 3 3 f 2k 2 2
，
所以函数 y sin | x |不是周期函数，故 D 正确.
故选：D.
2．（2021 春·高一课时练习）“ a 1”是“函数 y cos2 ax sin2 ax 的最小正周期为 π ”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分且必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先利用二倍角的三角函数公式化简函数的表达式,根据 a 1时函数的解析式,利用余弦函数的周期性
求得最小正周期，从而判定充分性；反之，当函数最小正周期为 π时，利用周期公式求得 a 的值，从而判定
2π
是否必要；注意函数 y cos x 的最小正周期公式T ，不要遗漏绝对值.
【详解】解： y cos2 ax sin2 ax cos 2ax
当 a 1时， y cos 2x的最小正周期为 π，故充分性成立
当函数 y cos 2ax 的最小正周期为 π时，
T 2π所以 π, a 1 ,不能得出 a 1| 2a | ，故必要性不成立，
综上：“ a 1”是“函数 y cos2 ax sin2 ax 的最小正周期为 π ”的充分而不必要条件.
故选：A.
3．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）把函数 y sin 2x 的图象沿着 x 轴向左平移 个单位，纵坐标伸长
6
到原来的 2倍（横坐标不变）后得到函数 y f x 的图象，对于函数 y f x 有以下四个判断：
（1）该函数的解析式为 y 2sin 2x
；
6
（2）该函数图象关于点 ,0
对称；
3
（3）该函数在 0, 上是增函数； 6
（4）若函数 y f x a 在 0, 上的最小值为 ，则 . 2 3 a 2 3
其中正确的判断有（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
【答案】B
【分析】利用正弦型函数的图象变换规律求得函数 y f x 的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得
出结论.
【详解】把函数 y sin 2x
的图象沿着 x 轴向左平移 个单位，可得 y sin
2x
的图象，6 3
再把纵坐标伸长到原来的 2倍（横坐标不变）后得到函数 f x 2sin 2x 的图象，
3
y f x 2sin 2x 对于函数 ，故（1）错误；
3
x
由于当 时， f x 0 ，故该函数图象关于点 ,0
对称，故（2）正确；3 3
在 0,
2
上， 2x
, ，故函数 y f x 该函数在 0, 上不是增函数，故（3）错误； 6 3 3 3 2
在 0,
4 4
上， 2x , ，故当 2x 时， 2 3 3 3 3 3
函数 y f x a 0, 在 上取得最小值为 3 a 3， a 2 3 ，故（4）正确， 6
故选：B.
【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能
力，属于中等题.
二、填空题
4．（2021 春·高一单元测试）已知函数 f (x) sin 3x cos3x ， x R ，给出下列四个结论：
①函数 f (x) 的值域是 2, 2
；②函数 f x
4 为奇函数；③函数
f (x) 的图象关于直线 x 对称；④
4
若对任意 x R ，都有 f x1 f (x) f x
2 成立，则 x1 x2 的最小值为 .3
其中正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数和余弦函数的性质，分别判断即可．
f (x) 2 sin 【详解】 3x .① f (x) 的值域是 2, 2 ，结论正确； 4
② f
x 2 sin
3 x 2 sin 3x 2 cos3x 为偶函数，结论错误； 4 4 4 2
③当 x
时，3x
， f (x) 取最大值，结论正确；
4 4 2
④因为x ，x 分别为 f (x)
T
1 2 的最小值点和最大值点，则 x1 x2 min ，结论正确.2 3
所以正确结论的序号是①③④.
故答案为：①③④
5．（2021 春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知 f x 是定义在（0，3）上的函数， f x
的图象如图所示，则不等式 f x cos x 0的解集是______.
【答案】 0,1 U ,3
2
【分析】根据 f (x) 的图象可得到 f (x) 0，及 f (x) 0 时 x 的取值范围，结合余弦函数在 (0,3)上函数值符号
的变化情况可得到不等式 f (x) cos x 0的解集．
【详解】由图象可知：0 x 1时， f (x) 0；
当1 x 3时， f (x) 0 ．
又Q 余弦函数 y cos x在 x 3时 cos x 0， 0 x 2 时 cos x 0，2
x 0,1 U 当 ,3 时， f (x) cos x 0，
2
故答案为： 0,1 U ,3 ．
2
6．（2021 春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）函数 y tan x 1的图象的对称中心为________．
k
【答案】 ,1
(k Z )
2
【分析】由正切函数的图象的对称性,结合图象平移变换即可得到答案.
【详解】 y tan x
k
的对称中心是 ,0 ,k Z .
2
∵函数 y tan x 1的图象由 y tan x 的图象向上平移 1 个单位得到，
∴函数 y tan x
k
1 ,1 的对称中心为 ,k Z
2
k
故答案为： ,1 ,k Z .
2
sin x
3
tan( x) sec
7
x
．（2021 春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）已知 f (x) 2 2 ，将
sec( x) cot(2 x)
f (x) 的图象向左平移 2 个单位，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到 g(x)的图象，
则 g(x) ____________．
【答案】 sin
1
x 2
2
【分析】先利用同角三角函数的关系和诱导公式化简后，再利用平移伸缩变换法则得到答案.
sin x
tan( x) sec
3
x
【详解】 f (x) 2 2
sec( x) cot(2 x)
sin x ·tan x · 1 2 cos x
3
2 1 · 1
cos x tan 2 x
cos x tan x 1
sin x
1 1
cos x tan x
cos2 x tan2 x 1 sin x ,
sin x
f x sin x图象向左平移 2 个单位，得到 f x 2 sin x 2 的图象，再将所得图象的纵坐标不变，横
f 1 x 2 sin 1 x 2 1坐标变为原来的 2 倍，得到 的图象，即为 g(x)的图象，则 g(x) sin x 2
,
2 2 2
故答案为： sin
1
x 2
2
.
1
8．（2021 春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）函数 y 的图像与函数 y 2sin x( 2 x 4) 的
x 1
图像所有交点的横坐标之和等于_______．
【答案】4
【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用函数的图象的对称性求得所有交点的横坐标之和.
1
【详解】由于函数 y 与函数 y 2sin x 2 x 4 均关于点M 1,0 成中心对称，
x 1
结合图形两函数有如图所示的 A, B,C, D 共 4 个交点，其中 A, D和B,C 都关于点M 对称.
其横坐标分别记作 x1, x2 , x3 , x4 ,则有 x1 x4 2 1 2，同理有 x2 x3 2，
所以所有交点的横坐标之和为 4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查利用数形结合方法，涉及分式函数，三角函数的图象和对称性之，属中档题，关键是熟
练掌握分式函数和正弦型函数的图象的对称性.
三、解答题
9．（2021 春·上海·高一期中）已知 y tan2 x 2 tan x 3，求它的最小值
【答案】2
【分析】由题意，可得 y tanx 1 2 2，利用二次函数的性质，即可求解函数的最小值，得到答案.
2
【详解】由题意，可得 y tanx 1 2，由于 tanx R ，所以当 tanx 1时，函数取最小值２.
【点睛】本题主要考查了正切函数的值域，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数
的值域，合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题.
10．（2021 春·高一课时练习）已知函数 f x 1 sin x
．
6 2
（1）若函数 f x 在区间 0,a 上是严格增函数，求实数 a的取值范围；
（2）求函数 f x 在区间 0, 2 上的所有零点．
0, 2 【答案】（1） ；（23 ）所有零点是
0， ，2 ．
3
【分析】（1）先求得函数 f x 的在 y 轴右侧的包含 0 的单调递增区间，进而得到实数 a的取值范围；
（2）利用正弦函数的性质，利用整体代换法求得函数 f x 的所有零点，进而得到在 0,2π 上的所有零点.
π π π 2π π
【详解】（1）由 2kπ x 2kπ，得 2kπ x 2kπ2 6 2 3 3 ， k Z ．
k 0 2π x π取 ，可得 3 3 ，
∵函数 f x sin x π 1
在区间 0,a 上是严格增函数，
6 2
π
∴ a 0, 实数 的取值范围是 ．
3
π 1 π 1
（2）由 f x sin x 0，得 sin x ，
6 2 6 2
则 x
π π
2kπ x π 5π或 2kπ k Z6 6 6 6 ， ．
即 x
2π
2kπ 或 x 2kπ3 ， k Z ．
又 x 0,2π 2π，∴ x 0， ， 2π．
3
即函数 f x 在区间 0,2π 2π上的所有零点是 0， ， 2π．
3
1 π 5π
【点睛】关键要注意求函数的零点时不要丢根. sinx x 2kπ+ 或 x 2kπ+ k Z .
2 6 6
11．（2021 春·高一课时练习）已知函数 y f x 是定义在 2 , 2 上的偶函数，当 x 0,2 时，
f x sin x．
（1）求 f x 在 2 ,0 上的解析式；
（2）求不等式 f x 1 的解集．
2
【答案】（1） f x sin x 5π， x 2π,0 ；（2 ） ,
π π 5π
U
6 6
, ．
6 6
【分析】（1）根据偶函数的性质，以及 x 0,2 时， f x sin x，即可求出 f x 在 2 ,0 上的解析式；
（2）分 x 0,2 和 x 2π,0 两种情况，结合正弦函数的性质，解正弦函数的不等式即可求出结果.
【详解】（1）令 x 2π,0 ，则 x 0, 2 ，
所以 f x sin x ，
又函数 y f x 是定义在 2 , 2 上的偶函数，
所以 f x f x ，
所以 x 2π,0 时， f x sin x；
即 f x sin x， x 2π,0 ；
（2）当 x 0,2 时， f x 1 1 ，即 sin x ，
2 2
x π , 5π 所以 6 6
；
x 2π,0 f x 1 sin x 1当 时， ，即 2 ，2
sin x 1所以 ，
2
x 5π π 所以 , ；
6 6
5π π π 5π
综上不等式 f x 1 的解集
2
, U6 6
, .
6 6
12．（2022·上海·高一专题练习）对于函数 f x ，若在其定义域内存在实数 x0 ，t，使得 f x0 t f x0 f t
成立，称 f x 是“t 跃点”函数，并称 x0 是函数 f x 的“t 跃点”．
π
(1)若函数 f x sin x m，x∈R 是“ 跃点”函数，求实数 m 的取值范围；
2
(2)若函数 f x sin x m ，x∈R，求证：“ sin m 0 ”是“对任意 t∈R， f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件；
π
(3)是否同时存在实数 m 和正整数 n 使得函数 h x cos 2x m在 0,nπ 上有 2021 个“ 跃点”？若存在，请
4
求出所有符合条件的 m 和 n 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 1 2,1 2
(2)见解析
m 1 m 2 m 2
(3)存在， n 1010或 或 . n 2021 n 2021
π π π
【分析】（1）根据函数解析式计算 f x0 ， f x0 ， f ，根据“ 跃点”函数的定义，利用辅助角公
2 2 2
式和三角函数的性质求得实数m 的取值范围；
（2）先将“对任意 t∈R， f x 为‘t 跃点’函数”等价转化为“对于任意实数 t ，关于 x 的方程
sin x t m sin x m sin t m 都有解”，然后利用取特值证明“ sin m 0 ”的必要性，利用三角函数的诱
导公式证明充分性；
π
（3）代入计算 h x h x h
π
0，化简得m 2 sin
2x
π
4 4 ，根据正弦函数的周期性和图象，讨 4
论可得答案.
sin x π m sin x m sin π【详解】（1）由已知得存在实数 x0 ，使得 0 m2 0 ， 2
∴ m sin x0 cos x0 1 2 sin
x
π
1 0 1 2, 2 1 ， 4
∴实数 m 的取值范围是 1 2, 2 1 .
（2）由题意得“对任意 t∈R， f x sin x m 为‘t 跃点’函数”等价于：
对是任意实数 t ，关于 x 的方程 sin x t m sin x m sin t m 都有解，
则对于 t 0时有解，即 sin x m sin x m sin m ,∴ sin m 0；
反之，当 sin m 0时，m kπ k Z , sin x t m sin x m sin t m 等价于
sin x t sin x sin t ，显然， x 0是此方程的解，故此方程对于任意实数 t 都有实数解.
综上所述，“ sin m 0 ”是“对任意 t∈R， f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件；
h π π （3）由已知得， x h x h cos
2x π m cos 2x m cos
π
m 0，
4 4 2 2
化简得m 2 sin
π
2x ， 2 sin 2x
π
4 4
的最小正周期为 π；
根据函数 y
π
2 sin 2x 在 0,nπ 上的图象可知：
4
①当m 2,1 1, 2 π π时，在 0,nπ 有 2n个“ 跃点”，故不可能有 2021 个“ 跃点”；4 4
②当m 1时，在 0,nπ π有 2n +1个“ 跃点”，此时 2n 1 2021 n 1010；
4
π
③当m 2 或m 2 时，在 0,nπ 上有n个“ 跃点”，故 n 2021；4
m 1 m 2 m 2
综上： n 或 或 . 1010
n 2021 n 2021
【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期
性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决.
【易错】
一．选择题（共 2 小题）
1．（2022 春 浦东新区校级期中）对于函数 f（x）＝sin（2x+ ），下列命题：
①函数图象关于直线 x＝﹣ 对称；
②函数图象关于点（ ，0）对称；
③函数图象可看作是把 y＝sin2x 的图象向左平移个 单位而得到；
④函数图象可看作是把 y＝sin（x+ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ．
（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①把 x＝﹣ 代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；
②把 x＝ ，代入函数，函数值是否为 0，即可判定正误；
③函数图象可看作是把 y＝sin2x 的图象向左平移个 单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；
④函数图象可看作是把 y＝sin（x+ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数的表达式是否
相同，即可判定正误．
【解答】解：①把 x＝﹣ 代入函数 f（x）＝sin（2x+ ）＝0，所以，①不正确；
②把 x＝ ，代入函数 f（x）＝sin（2x+ ）＝0，函数值为 0，所以②正确；
③函数图象可看作是把 y＝sin2x 的图象向左平移个 单位得到函数为 f（x）＝sin（2x+ ），所以不正确；
④函数图象可看作是把 y＝sin（x+ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 f（x）＝sin
（2x+ ），正确；
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．
2．（2022 春 浦东新区校级期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行
曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，
已知函数 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线 y＝2020 相交于 A，B
两点，且|AB|＝2，则 ＝（ ）
A． B． C． D．﹣
【分析】根据平行于横轴的直线与平行曲线截得的线段长度相等，得到|AB|＝2 是周期，
利用周期公式求得 ω 的值，再求 f（ ）的值．
【解答】解：由题意知，T＝|AB|＝2，
所以 ＝2，解得 ω＝ ；
所以 f（x）＝tan（ x+ ），
所以 f（ ）＝tan（ + ）＝tan ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了正切函数的周期性与三角函数值计算问题，解题的关键是准确理解给定的信息，得出
该函数的周期．
二．填空题（共 6 小题）
3．（2021 春 浦东新区校级月考）设函数 在[﹣π，π]的图像大致如图，则 f（x）的
最小正周期为 ．
【分析】结合图象中标的数据，得到关于最小正周期满足不等关系和等量关系，据此求解．
【解答】解：据图可知： ，
即 ，所以 ……①，
结合图像可知 ＝0，
则 ，
，结合①式可知，k＝0 时，
符合题意，故 即为所求．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
4．（2021 春 普陀区校级月考）方程 ，在[0，2π]内的解集是 { ， } ．
【分析】根据余弦函数的值，结合 x 的取值集合，即可求出方程在[0，2π]内的解集．
【解答】解：方程 ，
所以 x+ ＝2kπ± ，k∈Z
解得 x＝2kπ± ﹣ ，k∈Z；
又因为 x∈[0，2π]，
所以 x＝ 或 ，
所以方程在[0，2π]内的解集是{ ， }．
故答案为：{ ， }．
【点评】本题考查了由三角函数值求角的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5 ．（ 2021 春 杨 浦 区 校 级 期 中 ） 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为
．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，结合余弦函数的单调性求解即可．
【解答】解：函数 ，
即 ，解得 ，
所以单调递增区间为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查余弦函数的单调性的求解，诱导公式的应用，是基础题．
6．（2021 春 奉贤区月考）函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，x∈R）满足： ，且
上具有单调性，则满足条件的 ω 取值个数为 2 ．
【分析】根据函数的单调性，确定周期满足的条件，得到 0＜ω≤12．根据 ，得到
对称中心与对称轴之间的关系，进而求出 ω 的值．
【解答】解：∵ 上具有单调性，
∴ ﹣ ＝ ≤ ，
即 T≥ ，则 ≥ ，则 0＜ω≤12．
∵ ，
∴x＝ 是一条对称轴，（ ，0）是一个对称中心，
则 ﹣ ＝ ，
若 ＝ ，即 T＝ ，即 ＝ ，则 ω＝3，满足 0＜ω≤12，
若 ＝ ，即 T＝ ，即 ＝ ，则 ω＝9，满足 0＜ω≤12，
若 ＝ ，即 T＝ ，即 ＝ ，则 ω＝15，不满足 0＜ω≤12，
故满足条件的 ω＝3 或 9，
故 ω 取值个数为 2 个，
故答案为：2
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用单调区间，对称轴和对称中心的距离判断周期满足的
条件是解决本题的关键．
7．（2022 春 杨浦区校级期末）已知函数 f（x）＝cos（2x+ ）﹣cos2x，其中 x∈R，给出下列四个结论：
①函数 f（x）是最小正周期为 π 的奇函数；
②函数 f（x）图象的一条对称轴是直线 x＝ ；
③函数 f（x）图象的一个对称中心为（ ，0）；
④函数 f（x）的单调递增区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．
其中正确的结论序号 ②③④ ．
【分析】化简函数 f（x），由定义判断函数 f（x）不是奇函数，判断①错误；
由 f（ ）＝1 取得最大值，得出直线 x＝ 是 f（x）的一条对称轴，判断②正确；
由 f（ ）＝0，得出点（ ，0）是 f（x）的一个对称中心，判断③正确；
由正弦函数的图象与性质求出函数 f（x）的单调递增区间，判断④正确．
【解答】解：函数 f（x）＝cos（2x+ ）﹣cos2x＝﹣ cos2x﹣ sin2x＝﹣sin（2x+ ），其中 x∈R：
对于①，f（﹣x）＝﹣sin（﹣2x+ ）＝sin（2x﹣ ）≠﹣f（x），
∴函数 f（x）不是奇函数，①错误；
对于②，当 x＝ 时，f（ ）＝﹣sin（2× + ）＝1 为最大值，
∴函数 f（x）图象的一条对称轴是直线 x＝ ，②正确；
对于③，当 x＝ 时，f（ ）＝﹣sin（2× + ）＝0，
∴函数 f（x）图象的一个对称中心为（ ，0），③正确；
对于④，令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，
解得 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z；
∴函数 f（x）的单调递增区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z，④正确．
综上，正确的结论序号是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．
8．（2022 春 徐汇区校级期中）函数 的值域是 ．
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得， ＝ ，
由正弦函数的性质可得 ，代入函数可求函数的值域．
【解答】解：∵
＝
＝
＝
＝
又∵
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的综合运用，把不同名的三角函数化简为 y＝Asin（ωx+φ）
的形式，利用正弦函数的性质研究 y＝Asin（ωx+φ）的性质．
三．解答题（共 4 小题）
9．（2021 春 奉贤区期中）已知函数 y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）在一个周期内，当 x＝
时，y 有最大值为 2，当 x＝ 时，y 有最小值为﹣2．
（1）求函数 y＝Asin（ωx+φ）表达式；
（2）并画出函数 y＝Asin（ωx+φ）在一个周期内的简图．（用“五点法”）；
（3）当 x∈[0， ]时，求函数的最值．
【分析】（1）根据题意得 A＝2，周期为 T＝π，求出 ω＝2，φ＝ ，从而得到函数的解析式；
（2）结合（1）的解析式，用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；
（3）求出 x∈[0， ]时 2x+ 的取值范围，即可求得函数的最小值和最大值．
【解答】解：（1）在 1 个周期内，当 x＝ 时 y 有最大值为 2，当 时 y 有最小值为﹣2，
所以 A＝2，且函数的周期 T＝2×（ ﹣ ）＝π，所以 ω＝ ＝2．
把（ ，2）代入 f（x）＝2sin（2x+φ），得 2× +φ＝ +2kπ，k∈Z；
解得 φ＝ +2kπ，k∈Z，结合|φ|＜ ，取 k＝0，得 φ＝ ；
所以函数表达式为 y＝2sin（2x+ ）．
（2）由题意列表如下：
2x+ 0 π 2π
x ﹣
y＝2sin（2x+ ）0 2 0 ﹣2 0
描点、连线，画出函数在 1 个周期[﹣ ， ]上的简图如下：
（3）x∈[0， ]时，2x+ ∈[ ， ]，所以 sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，
所以 2x+ ＝ ，即 x＝ 时，y＝2sin（2x+ ）＝﹣1 为最小值；
2x+ ＝ ，即 x＝ 时，y＝2sin（2x+ ）＝2 为最大值．
所以，当 x＝ 时，y 有最小值为﹣1，当 x＝ 时，y 有最大值为 2．
【点评】本题考查了函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．
10．（2022 春 嘉定区校级期末）已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图
所示．
（1）求 f（x）的解析式及对称中心；
（2）先将 f（x）的图像纵坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位后得到 g（x）的图像，求函数 y＝
g（x）在 上的单调减区间和最值．
【分析】（1）根据零点、最高点的坐标，结合图像求出 A、最小正周期、ω 的值，再令 f（x）＝0 求出对称
中心的坐标；
（2）根据图像变换的规律，即可求出 g（x）的解析式，进而求出函数的单调减区间、最值．
【解答】解：（1）易知 A＝2， ，解得 T＝π，所以 ，
故 ，k∈Z，即 ，k∈Z，
又|φ|＜π，故 k＝0 时， 即为所求，
故 f（x）＝2sin（2x﹣ ），
f（x）的对称中心为（ + ，0），k∈Z．
（2）易知 g（x）＝ ＝ ＝sin（2x ）＝﹣cos2x，
要求 g（x）的单调递减区间，只需﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得 ，k∈Z，令 k＝1 可得函数 g（x）的一个单调递减区间为[ ]，显然 g（x）
在[ ]单调递增，
故 y＝g（x）在 上的单调减区间为[ ]，
而 ＝ ，g（ ）＝1，g（ ）＝0，
故 g（x）在 上的最小值为 ，最大值为 1．
【点评】本题考查三角函数的据图求式、以及三角函数的图像与性质，属于中档题．
11．（2021 春 静安区校级期中）已知函数 ．
（1）当 a＝1 时，求 f（x）的单调递增区间；
（2）当 x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求 a、b 的值．
【分析】（1）a＝1 时 f（x）＝（2cos2 +sinx）+b，利用三角恒等变换求出 f（x）的解析式，再求单调递增
区间
（2）由三角恒等变换化简 f（x），讨论 a 的正负，求出对应 a、b 的值．
【解答】解：（1）a＝1 时，f（x）＝（2cos2 +sinx）+b＝cosx+1+sinx+b＝ sin（x+ ）+1+b，
2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
2kπ﹣ ≤x≤2kπ+ ，k∈Z；
所以 f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z；
（2）f（x）＝a（2cos2 +sinx）+b＝a（cosx+1+sinx）+b＝ asin（x+ ）+a+b，
当 x∈[0，π]时，sin（x+ ）∈[﹣ ，1]；
当 a＞0 时，由 ，解得 ；
当 a＜0 时，由 ，解得 ；
综上知，a＝ ﹣1，b＝3；或 a＝1﹣ ，b＝4．
【点评】本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
12．（2022 春 松江区校级期末）已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图像如图所
示．
（1）求函数 f（x）的解析式，并求 f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC 的三内角 A、B、C 的正弦值依次成等比数列，求 f（B）的值域；
（3）将 f（x）图像上所有点先向右平移 个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，得
到 g（x）的图像，记 h（x）＝g（x）g（x+ ）﹣m，是否同时存在实数 m 和正整数 n，使得函数 h（x）
在[0，nπ]上恰有 2022 个零点？若存在，请求出所有符合条件的 m 和 n 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图像求出 T、ω 和 φ 的值，写出函数解析式，求出 f
（x）的单调递增区间；
（2）根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式，即可求得 cosB 的取值范围，从而求出 f（B）的值域；
（3）根据平移变换求出 g（x）的解析式，再利用三角恒等变换求出 h（x）的解析式，从而求出满足条件的
m 和 n 的值．
【解答】解：（1）由函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图像知， T＝ ﹣ ＝ ，解得 T＝π，所
以 ω＝ ＝2，
由五点法画图知，2× +φ＝2kπ+π，k∈Z，解得 φ＝ +2kπ，k∈Z；
因为|φ|＜π，所以 φ＝ ，所以 f（x）＝2sin（2x+ ）；
令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z；所以函数 f（x）的单调递增区
间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z；
（2）△ABC 中，sin2B＝sinAsinC，
由正弦定理得，b2＝ac，
由余弦定理得：cosB＝ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当 a＝c 时取“＝”，
所以 0＜B≤ ，
所以 ＜2B+ ≤π，
所以 0≤sin（2B+ ）≤1
所以 0≤f（B）≤2，即 f（B）的值域为[0，2]；
（3）将 f（x）图像上所有点向右平移 个单位，得 y＝f（x﹣ ）＝2sin[2（x﹣ ）+ ]＝2sin
（2x+ ）的图像，
再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，得 y＝g（x）＝2sin（x+ ）的图像，
因为 h（ x）＝ g（ x） g（ x+ ）﹣m＝ 4sin（ x+ ） sin（ x+ ）＝ 4cosx（ sinx+ cosx）＝
2 sinxcosx+2cos2x＝ sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+ ）+1，
假设同时存在实数 m 和正整数 n 满足条件，
函数 h（x）＝2sin（2x+ ）+1 在 x∈[0，nπ]上恰有 2022 个零点，
即函数 y＝2sin（2x+ ）与直线 y＝﹣1 在[0，nπ]上恰有 2022 个交点．
当 x∈[0，π]时，2x+ ∈[ ， ]，作出函数 f（x）在区间[0，π]上的图象如下图所示：
①当 m﹣1＞2 或 m﹣1＜﹣2，即 m＞3 或 m＜﹣1 时，函数 y＝2sin（2x+ ）与直线 y＝m﹣1 在[0，nπ]上
无交点，
②当 m﹣1＝2 或 m﹣1＝﹣2，即 m＝3 或 m＝﹣1 时，函数 y＝2sin（2x+ ）与直线 y＝m﹣1 在[0，π]上
有一个交点，
此时要使函数 y＝2sin（2x+ ）与直线 y＝m﹣1 在[0，nπ]上恰有 2022 个交点，则 n＝2022；
③当﹣2＜m﹣1＜1 或 1＜m﹣1＜2，即﹣1＜m＜2 或 2＜m＜3 时，函数 y＝2sin（2x+ ）与直线 y＝m﹣1
在[0，π]上有两个交点，
此时函数 y＝2sin（2x+ ）与直线 y＝m﹣1 在[0，nπ]上有 2022 个交点，n＝1011；
④当 m﹣1＝1 即，m＝2 时，函数 y＝2sin（2x+ ）与直线 y＝m﹣1 在[0，π]上有三个交点，
此时要使函数 y＝2sin（2x+ ）与直线 y＝m﹣1 在[0，nπ]上恰有 2022 个交点，不符合题意；
综上所述，存在实数 m 和 n 满足题设条件：m＝﹣1 或 m＝3 时，n＝2022；m∈（﹣1，2）∪（2，3）时，n
＝1011．
【点评】本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，也考查了函数的值域，函数零点个数的判断问题，
是难题．
【压轴】
一、单选题
1．（2021 春·高一课时练习）关于函数 y sin2x的判断，正确的是
A．最小正周
π π
期为 2π ，值域为 1,1 ，在区间 , 上是单调减函数 2 2
π
B．最小正周期为 π，值域为 1,1 ，在区间 0, 上是单调减函数 2
C．最小正周期为 π，值域为 0,1 π ，在区间 0, 上是单调增函数 2
π π
D．最小正周期为 2π，值域为 0,1 ，在区间 , 上是单调增函数 2 2
【答案】C
【详解】 y sin2x的值域为 0,1 2 1 cos2x，故排除选项 A、B，因为 y sin x 的最小正周期为 π，故排除
2
选项 D；故选 C.
2．（2022 春·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）设函数 f x mcos x ncos x ，其
中 m，n， ， 为已知实常数， x R ，则下列 4 个命题：
1 f 0 f （ ）若 0，则 f ( x) = 0 对任意实数 x 恒成立；
2
（2）若 f 0 0，则函数 y f x 为奇函数；
3 f
（ ）若 02 ，则函数
y f x 为偶函数；
4 f 2 0 f 2 （ ）当 0时，若 f x1 f x2 0，则 x1 x2 2k ， k Z
2
其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否，
利用反例可判断（4）的正误.
【详解】对于（1）， f 0 f 0即为mcos n cos msin nsin 0，
2
即mcos ncos ,msin nsin ，
两边平方后可得m2 n2 ，故m n 或m n .
若m n 0，则 cos cos ,sin sin ，故 2k ,k Z ，
此时 f x mcos x 2k mcos x 0，
若m n 0 ，则 cos cos ,sin sin ，故 2k ,k Z ，
此时 f x mcos x 2k mcos x 0 ，
若m n 0 或m n 0，则 f ( x) = 0 ，故（1）成立.
对于（2），因为 f 0 0，则mcos ncos 0 ，
若 cos , cos 均为零，
则 f x msin sin x nsin sin x (msin nsin )sin x ,
其定义域为 R ，且 f x f x ，故为奇函数；
若 cos , cos
cos
不全为零，不妨设 cos 0，则m n，
cos
故 f x n cos cos x ncos x
cos
n
cos cos x cos cos x cos
n
cos sin sin cos sin x ，
cos
此时函数的定义域为 R ，而 f x f x ，故为奇函数；
故（2）正确.
对于（3
），因为 f 0，则msin nsin 02 ，
若 sin ,sin 均为零，
则 f x mcos x cos ncos x cos mcos n cos cos x ，
此时函数的定义域为 R ，而 f x f x ，故为偶函数；
若 sin ,sin
sin
不全为零，不妨设 sin 0 ，则m n ，
sin
故 f x nsin cos x n cos x
sin
n
sin cos x sin cos x sin
n
cos sin sin cos cos x ，
sin
此时函数的定义域为 R ，而 f x f x ，故为偶函数；
故（3）正确.
对于（4 2），因为 f 0 f 2 0，
2
故 mcos n cos 2 msin nsin 2 0，
m2 n2整理得到： 2mncos 0，
取m n 1, 0，则m2 n2 2mncos 4 0，
即 f 2 0 f 2 0，故 f x 2cos x，
2
令 f ( x) = 0 ，则 x k ,k Z ，2
而 f x1 f x2 0，故 x1 x2 k ,k Z ，故（4）错误，
故选：A.
【点睛】思路分析：对多变量的三角函数问题，需根据题设条件得到参数的关系，再根据关系式的形式合
理消元反代，从而简化问题的讨论.
二、填空题
1
3．（2021 春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）方程 2sin x 0， x [ m 2,m 4]（m Z）
1 x
的所有根的和等于 2024，则满足条件的整数m 的值是________
【答案】1008 或 1009
【分析】根据图象可得 f (x), g(x)图象关于点（1,0）对称，且两函数交点成对出现，每一对关于点（1,0）对
称，结合题意，可得m 4 1012或m 4 1013，即可求得答案.
1
【详解】设 f (x) , g(x) 2sin x ，作出两函数图象，如图所示
1 x
两函数图象关于点（1,0）对称，定义域[ m 2,m 4]也关于点（1,0）对称，
1
所以求方程 2sin x 0的根，即求两函数图象的交点，且交点成对出现，关于点（1,0）对称，
1 x
因为所有根的和等于 2024，
所以两函数图象共有 1012 对关于点（1,0）对称的交点，
所以m 4 1012或m 4 1013，
解得m 1008或m 1009 .
故答案为：1008 或 1009
【点睛】解题的关键是分析得 f (x), g(x)图象关于点（1,0）对称，根据函数的对称性，结合题意，进行求解，
考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
4．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）在角 1， 2， 3 ，…， 29 的终边上分别有
一点P1，P2，P3，…，P29 ，如果点Pk 的坐标为 sin 15o ko ,sin 75o ko ，1 k 29， k N，则
cos 1 cos 2 cos 3 cos 29 ______
【答案】 0
【分析】结合诱导公式和三角函数定义可求得 cos k sin 15o ko ，利用正弦函数的奇偶性可求得所求式子
的值.
Q sin 75o ko【详解】 sin 90o 15o ko cos 15o ko ，
Pk sin 15o ko , cos 15o ko ，
sin 15o ko
cos k sin 15o ko ，
sin2 15o ko cos2 15o ko
cos 1 cos 2 cos 3 cos sin14
o sin13o29 sin12
o sin 14o ，
sin 15o ko sin ko 15o sin 15o ko sin 15o o又 k 0，
cos 1 cos 2 cos 3 cos
o
29 sin 0 0 .
故答案为： 0 .
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用诱导公式确定Pk ，从而根据三角函数定义化简所求式子，
利用正弦函数的奇偶性进行求值.
5．（2022 春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知 0，存在实数 ，使得对任意 n N ，
cos n cos 总成立，则 的最小值是______．
8
2
【答案】
7
【分析】作出单位圆，根据 n 终边位置可得
2
；结合 N
2
，即 k N 可求得最小值.4 k
【详解】作出单位圆如图所示，
由题意知： n 的终边需落在图中阴影部分区域，
n 1 n
8
8
，即 ，
4
Q 对任意 n N cos n cos 2 N 2 ， 总成立， ，即 k N
k ，8
又
， k 1,2,3,4,5,6,7
2
，
4 min
.
7
2
故答案为： .
7
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结
合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围.
x
6．（2021 春·上海·高一期中）若函数 f (x) x sin 1，则 f (1) f (2) f (3) f (2021) __________
2
【答案】3032
【分析】根据正弦函数的周期性进行求解即可.
x 2 4
【详解】因为函数 g(x) sin 的最小正周期为 ，
2 2
所以有当 k N 时，
f (4k) 4k (4k)sin 1 1，
2
f (4k 1) (4k 1)sin (4k 1) 1 (4k 1) 1
2
f (4k 2) (4k 2)sin (4k 2) 1 1，
2
f (4k 3) (4k 3)sin (4k 3) 1 (4k 3) 1，
2
因此有： f (4k 3) f (4k 2) f (4k 1) f (4k) 2(k N ) ，于是有：
f (1) f (2) f (3) f (2021)
f (1) f (2) f (3) f (2017) f (2018) f (2019) f (2020) f (2021)
，
2 505 2021 1
3032
故答案为：3032
【点睛】关键点睛：根据所求的代数式的值联想到正弦型函数的周期性是解题的关键.
7．（2021
春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）若 x, y , ， a R ，且 4 4
x3 sin x 2a 0
，则 cos x 2y ______ （提示： y sin x 在 x ,
3 上严格增函数）
4y sin y cos y a 0 2 2
【答案】1
3
【分析】根据已知条件先分析 f x sin x x 的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得
f x f 2y ，根据单调性奇偶性可知 x, 2y的关系，则结果可求.
【详解】因为 4y3 sin y cos y a 0 ，所以8y3 2sin y cos y 2a 0 ，
x33 sin x 2a 所以 2y sin 2y 2a，所以 3 且 2y ,
，
2y sin 2y 2a 2 2
f x sin x x3 y sin x , y x3 设 ， 在 上单调递增， 在 , 上单调递增， 2 2 2 2
所以 f x sin x x3 , 在 上单调递增， 2 2
3
又因为 f x sin x x sin x x3 f x ，定义域 , 关于原点对称， 2 2
所以 f x 为奇函数，
x3 sin x 2a
由 3 可知 f x f 2y 0，所以 f x f 2y ，
2y sin 2y 2a
所以 x 2y ，所以 x 2y 0 ，所以 cos x 2y cos 0 1，
故答案为：1.
【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如 f g x f h x 0的等式的思路：
（1）利用奇偶性将等式变形为 f g x f h x ；
（2）根据单调性得到 g x 与 h x 的等量关系；
（3）结合函数定义域完成相关计算.
8．（2021 春·上海·高一期末）已知函数 g x sin x ，记方程 g x
1
在 x 0,21 4 3 上的根从小到大 3
依次为x1，x2， ....xn ，求 x3 2x4 ...... 2xn 1 xn =____.
【答案】92
【分析】由已知写出 g(x)的对称轴方程及其周期，判断端点 g(0)、 g(21) 的值，问题转化为 g(x)在 x 0,21
y 1上与 的交点问题，画出函数图象的草图即可确定根，进而根据目标表达式及对称轴求值.
3
x 59 x 10
【详解】由 x 0,21 ，则 [ , ]，而 k ，知： g x 关于 x 4k 对称，
4 3 3 12 4 3 2 3
T 2 8 1 21 59 11 1
又最小正周期为 ， g(0) sin( ) , g(21) sin( ) sin( ) sin( ) ，
4 3 3 4 3 12 12 3
∴ g(x)在 x 0,21 1 1上的函数图象如下，其与 y 的交点横坐标，即为 g x 的根x ，x
3 3 1 2
， x3 ， x4， x5 ，
x6 ，
x x
∴如图，区间内共有 6 个根，且有 3 4
34
, x4 x5 46 , x 5 x6 58 ，
2 3 2 3 2 3
68 92 116
∴ x3 2x4 2x5 x6 (x3 x4 ) (x4 x5 ) (x5 x6 ) 92 .3 3 3
故答案为：92 .
【点睛】关键点点睛：转化为两个函数在某闭区间上的交点问题，结合正弦函数的性质得到草图，应用数
形结合的方法确定根及各根之间的对称轴.
9．（2021 春·上海·高一期末）已知函数 f x 5sin 2x , 0,
, x 0,5 ，若函数F x f x 3的 2
所有零点依次记为 x1, x2 , x3 ,L , xn 且 x1 x2 x3 L xn 1 xn ， n N* ，若
x1 2x2 2x3 L 2xn 2 2x x
83
n 1 n ，则 __________.2
【答案】
9
【详解】由题意，令 2x k ,k
k
Z ，解得 x ,k Z .
2 4 2 2
∵函数 f x 的最小正周期为T 2 ， 0, ， x 0,5 2 2
19
∴当 k 0时，可得第一个对称轴 x ，当 k 9时，可得 x 5 .
4 2 4 2
∴函数 f x 在 0,5 上有9条对称轴
根据正弦函数的图象与性质可知：函数 f x 5sin 2x 与 y 3的交点有 9 个点，即 x1, x2 关于 x 4 2
3
对称， x2 , x3 关于 x 对称，…，即 x1 x2 2 (
) x x 2 (3 ， 2 3 )，…，4 2 4 2 4 2
x x 17 n 1 n 2 ( ) .4 2
∵ x1 2x2 2x 2x 2x
83
3 L n 2 n 1 xn 2
2 ( 3 17 83 ∴ )
4 2 4 2 4 2 2
∴
9
故答案为 .
9
点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称
性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到 xn 1与 xn的数量关系，
本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.
三、解答题
10．（2021 春·上海·高一期末）已知 l1， l2， l3 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.
（1）如图 1，如果 l1与 l2间的距离是 1， l2与 l3 间的距离也是 1，可以把一个正三角形 ABC 的三顶点分别放
在 l1， l2， l3 上，求这个正三角形 ABC 的边长.
（2）如图 2，如果 l1与 l2间的距离是 1， l2与 l3 间的距离是 2，能否把一个正三角形 ABC 的三顶点分别放在 l1，
l2， l3 上，如果能放，求 BC 和 l3 夹角 的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.
（3）如果边长为 2 的正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1， l2， l3 上，设 l1与 l2间的距离为 d1 ， l2与 l3 间的距离
为 d2 ，求 d1 d2 的取值范围.
1 2 2 tan 3 , 2 21【答案】（ ） ；（ ）能放， 边长为 ；（3） 0,1
2 3
【分析】（1）根据 A,C 到直线 l2的距离相等，可得 l2过 AC 的中点M ， l2 AC ，从而求得边长 AC 2AM
的值.
（2）假设能放，设边长为 a，BC 与 l o3 的夹角 ，不妨设0o 60o，可得 a sin 2， a sin 60 1，
sin 3两式相比化简可得 ，由此能求出 a的值，从而得出结论.
7
3 d d 4sin 60o（ ）利用两角和差的正弦、余弦公式化简 1 2 sin 为 2sin 2 30o 1，再根据正弦函数
的定义和值域求出 d1 d2 的取值范围.
【详解】（1）Q A,C 到直线 l2的距离相等，
l2过 AC 的中点M ，
l2 AC ，
边长 AC 2AM 2
（2）假设能放，设边长为 a，BC 与 l3 的夹角 ，
由对称性，不妨设0o 60o，
a sin 2， a sin 60o 1，
两式相比可得： sin 2sin 60o ，
即 sin 3 cos sin ，
2sin 3
3
3 cos ， tan ， sin ，
2 7
a 2 2 21
故边长 3 3 ，
7
综上可得，能放.
（3） d1 d2 4sin 60o
3 sin 4 cos
1
sin sin
2 2
2 3 sin 2 1 cos 2
o 2sin 2 30 1 .
2 2
1
Q 0o 60o o， 30o 2 30o 150o， sin2 2 30 1，
所以0 2sin 2 30o 1 1，
又 d1 0 ， d2 0，所以 d1 d2 0,1 .
【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等
变换，属于中档题.
11．（2020 春·上海徐汇·高一位育中学校考期中）已知函数 f (x) 4sin x cos(x
) 3，
3
(1)化简 f (x) 到 y Asin( x
) B(A 0, 0,| | )
2 ，并求最小正周期；
(2)求函数 f (x) 在区间[
, ]上的单调减区间；
4 6
(3)将函数 f (x)
图像向右移动 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的 a(0 a 1) 倍得到
6
y g(x) 的图像，若 y g(x) 在区间[ 1,1]上至少有 100 个最大值，求 a 的取值范围.
【答案】(1) f (x) 2sin(2x )，最小正周期是 ；
3
[ (2) ,
]；
12 6
(0, 4(3) ] .
199
【分析】(1)根据给定条件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，辅助角公式变形即可得解.
(2)利用(1)的结论结合正弦函数的单调性列式计算作答.
(3)利用(1)的结论结合给定的变换求出 g(x)的解析式，再借助 g(x)的性质列式计算作答.
(1)
依题意， f (x) 4sin x(1 cos x 3 sin x) 3 2sin x cos x 3(1 2sin2 x) sin 2x 3 cos 2x 2sin(2x
) ，
2 2 3
2
其中 2，则T ，
所以 f (x) 2sin(2x
)，最小正周期是 .
3
(2)
x 2x 2 2 由(1)知，当 时， ，则由 2x 得 x ，
4 6 6 3 3 2 3 3 12 6
即 f (x) 在[
, ]上单调递减，
12 6
f (x) [ , 所以函数 在区间 ]
上的单调减区间是[ , ] .
4 6 12 6
(3)
由(1)知， f (x) 2sin(2x
)，将函数 f (x) 图像向右移动 个单位所得函数为 y 2sin 2x，
3 6
于是得 g(x)
2
2sin x，则 g(x)的周期为 a ，
a
因 y g(x) 在区间[ 1,1]上至少有 100 个最大值，则在长为 2 的区间[ 1,1]上至少有 99.5 个周期，
4 4
因此， a 99.5 2，解得 a ，而 0 a 1，于是得0 a ，
199 199
4
所以 a 的取值范围 (0, ] .
199
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相
位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
12．（2022 春·上海闵行·高一校联考期中）已知函数 f (x) sin2 x 2 3 sin x cos x cos2 x 0
(1)化简 y f (x) 的表达式.
(2)若 y f (x) 的最小正周期为 π，求 y f (x) x
， 0, 的单调区间与值域.
2
(3)将（2 ）中的函数 f (x) 图像上所有的点向右平移 0, 2 个单位长度，得到函数 y g(x) ，且 y g(x)
图像关于 x=0 对称.若对于任意的实数 a，函数 y g x ， x a,a 3 与 y=1 的公共点个数不少于 6 个且
不多于 10 个，求正实数 的取值范围.
【答案】(1) f (x) 2sin(2 x
)( 0)；
6
(2)递增区间为 (0,
] ，递减区间为[ ,
)，值域为 ( 1,2]；
3 3 2
(3)[9,15) .
【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答.
（2）由（1）及已知求出 f (x) ，再结合正弦函数性质求解作答.
（3）由（2）及已知求出函数 g(x)的解析式，借助 g(x)的周期列出不等式求解作答.
2 2
【详解】（1）依题意， f (x) 3 sin 2 x (cos x sin x) 3 sin 2 x cos 2 x 2sin(2 x
)， 0 .
6
2
（2）由（1）知，T ，解得 1，则 f (x) 2sin(2x )，
2 6
5 3
当 0 x 时， 2x 2 ，而正弦函数
y sin x 在[ , ]上单调递增，在[ , ]上单调递减，
6 6 6 2 2 2 2
5
由 2x 得：0 x ，由 2x 得： x
，
6 6 2 3 2 6 6 3 2
所以 f (x) 在 (0, ]上单调递增，在[ , )上单调递减， f (x)max f (
) 2， f (0) 1, f ( ) 1，
3 3 2 3 2
所以 f (x) 在 x (0,
)上的值域为 ( 1,2] .
2
（3）由（2）及已知， g(x) f (x ) 2sin(2x 2
) ，因 y g(x) 图像关于 x=0 对称，
6
2 k ,k Z k 则 ，解得： ,k Z，又 [0, ]，即有 k 0,
，
6 2 2 6 2 6
于是得 g(x) 2cos 2x ，由 g( x) 1得： cos(2 x)
1
， 0，而函数 y cos(2 x) T
2
的周期 ，
2 2
1
依题意，对于 a R ， cos(2 x) 在 x [a,a ]上均有不少于 6 个且不多于 10 个根，
2 3
3
3T 3 3
则有 ，即 ，解得9 15，
5T 5
3 3
所以正实数 的取值范围是[9,15) .
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相
位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
13．（2021 春·上海·高一期末）已知函数 f x Asin x A
0, 0,
， y f x 的部分图象，如图
2
所示， P 、Q
分别为该图象的最高点和最低点，点 P 的坐标为 , A4 ，点
R 的坐标为 ,0 ，且
4
tan PRQ 2 .
2
（1）求 f x 解析式；
（2）若方程 sin x cos x 1 af x a 1 3 在区间 0, 内恰有一个根，求 a的取值范围. 4
3 2
【答案】（1） f x = 2 sin x 4 ；（2） , . 4
【分析】（1）由题设求 f (x) 的周期，根据 P 的坐标并结合图象有 求 ，过Q作 x 轴的垂线，垂足
4 2
为S ，利用 QRS PRQ 列方程求 A，写出解析式即可.
2
3π
（2）令 g x sin x cos x a sin x cos x 1，将问题转化为 g x 0, 在在区间 4 内恰有一个零点，应用
1 1
换元法令 t sin x cos x 2可得 g(x) h t t at 且 t 0, 2 ，讨论 h t 在区间内的零点情况，并结2 2
合正弦函数、二次函数的性质确定 a 的范围.
【详解】（1）由解析式知：T 2 , 又 P 点的横坐标为 ，
4
∴
，即 ．过Q作 x 轴的垂线，垂足为S ，则 QRS PRQ
，
4 2 4 2
tan QRS tan( PRQ ) cot 2 QS A PRQ T 故 2 ，
2
∴ A 2 ，故 f x = 2 sin
x .
4
（2）令 g x sin x cos x af x 1 sin x cos x a sin x cos x 1，
∴ sin x cos x 1 af x a 3 1 0, 方程 在区间 内恰有一个根等价于函数 g x
0, 3 在在区间 内恰有一个
4 4
零点.
设 t sin x cos x 2 sin
x
，当 x
0,
3
时， t 0, 2 4 ，又 4
sin x cos x 1 sin x cos x
2 1 1 t
2 1
2 2 ，
∴ sin x cos x a sin x cos x 1 1 t 2 at 1 ， t
2 2
0, 2 ，
令 h t 1 t 2 at 1 ，则函数 g x 在 0,
3 1
内恰有一个零点，可知 h t t
2 at 1 在 0, 2 内最多2 2 4 2 2
有一个零点.
①当 0 为 h t 1的零点时， 0 显然不成立；
2
h t 2a 3 0 3 2 3 2 1 1②当 2 为 的零点时，由 ，得2 a ，把 a t
2
代入 at 0中，得
4 4 2 2
1
t 2 3 2 1 2 t 0，解得 t1 2 ， t2 ，不符合题意.2 4 2 2
③当零点在区间 0, 2 时，
若 a2 1 0，得 a 1，此时零点为 1，即 t 1，由 t 2 sin
x
4 的图象知不符合题意；
1
若 a2 1 0，即 a 1，设 t 2
1
at 0的两根分别为 t1 ， t2 ，由 t1t2 1，且抛物线的对称轴为2 2
h t 1 1t a 1 t 2，则两根同时为正，要使 at 在 0, 2 内恰有一个零点，则一个根在(0,1) 内，另一2 2
h 1 0
3 2
个根在 2, 内，所以 h 2 0，解得 a .
4
h 0 0
3 2
综上， a的取值范围为 , .
4
【点睛】关键点点睛：
（1）由最高点坐标及图象求 φ，应用线段的几何关系，结合三角函数列方程求参数 A，写出解析式；
（2）利用辅助角公式、换元法，将问题转化为二次函数在闭区间内最多只有一个零点，注意所得零点需结
合换元前的三角函数，验证是否只存在一个零点.
14．（2022 春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）已知函数 f (x) sin( x )( 0, 0 ) 的最小正周
期为
，且直线 x 是其图象的一条对称轴.将函数 y f (x) 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象
2 4
上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍所得的图象对应函数记作 y g(x) ，令函数
F (x) f (x) g(x) .
(1)求函数 y g(x) 的函数解析式；
(2)求函数 y F (x)的最大值及相对应的 x 的值；
(3)若函数F (x) f (x) g(x)在 (0,n ) 内恰有 2021 个零点，其中常数 R ， n N ,n 1，求常数 与n的
值.
【答案】(1) y g(x) sin x ；
(2)答案见解析；
(3) 1, n 1347 .
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式和对称轴方程，结合正弦型函数图象的变换性质进行求解
即可；
（2）根据二倍角的余弦公式，根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可；
（3）利用换元法，结合正弦函数的性质和一元二次方程根的分布分类讨论进行求解即可.
（1）
因为函数 f (x) sin( x )( 0)的最小正周期为 ，
2
所以有 2，即 f (x) sin(2x )，
又因为直线 x 是 f (x) sin(2x )图象的一条对称轴，
2
2 ( ) k (k Z) k 3 所以有 (k Z)2 2 2 ，
因为0
，所以令 k 1，则 ，即 f (x) sin(2x
) cos 2x，
2 2
因为函数 y f (x)
的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2
4
倍所得的图象对应函数记作 y g(x) ，
所以 y g(x) sin x ；
（2）
F (x) f (x) g(x) cos 2x sin x 1 2sin2 x sin x
2
F (x) 2(sin x )2 1，
4 8
2
当 1 1时，即 4 4时，F (x)
4 max
1，
8
此时 sin x ，即 x 2k arcsin (k Z)或 x 2k arcsin (k Z)；
4 4 4
当 1时，即 4时，F (x)max 1 2 1，4
此时 sin x 1，即 x 2k (k Z)；
2
当 1时，即 4 时，F (x)max 1 2 1，4
3
此时 sin x 1，即 x 2k (k Z) ，
2
2
综上所述：当 4 4时，F (x)max 1，此时 x 2k arcsin (k Z)8 4
x 2k arcsin 或 (k Z)；
4
当 4时，F (x)max 1 2 1，此时 x 2k
(k Z)；
2
当 4 时，F (x)max 1 2 1，此时 x 2k
3
(k Z) ；
2
（3）
F (x) f (x) g(x) cos 2x sin x 1 2sin2 x sin x 0 ，
设 sin x t, t [ 1,1]，则1 2t 2 t 0 2t 2 t 1 0，
该方程的判别式 2 8 0 ，
1
所以该方程有实根，设为 t1, t2 ， t1t2 0，显然两根为异号，2
若0 t1 1,0 t2 1时，则方程 sin x t1,sin x t2 在 (0,n ) 内都有偶数个根，
所以方程1 2sin2 x sin x 0有偶数个根，不符合题意；
若 t1 1
1
，则 t2 ，此时 1，2
当 x (0, 2 ) 时， sin x t1只有一个根， sin x t2 有两个根，
所以1 2sin2 x sin x 0有三个根，由于 2021 3 673 2 ，
所以1 2sin2 x sin x 0在 x (0,1346 )内有3 673 2019个根，
由于方程 sin x t1在 x (1346 ,1347 )内只有一个根， sin x t2 没有实根，
所以方程1 2sin2 x sin x 0在 x (0,1347 )时有 2020个实根，不符合题意；
若 t1 1 t
1
，则 2 ，此时 1，2
当 x (0, 2 ) 时， sin x t1只有一个根， sin x t2 有两个根，
所以1 2sin2 x sin x 0有三个根，由于 2021 3 673 2 ，
所以1 2sin2 x sin x 0在 x (0,1346 )内有3 673 2019个根，
由于方程 sin x t1在 x (1346 ,1347 )内没有实根根， sin x t2 有两个实根，
所以方程1 2sin2 x sin x 0在 x (0,1347 )时有 2021个实根，符合题意；
若两个根有一个绝对值大于 1，则另一个根绝对值大于零且小于 1，有偶数个根，不符合题意，
综上所述： 1,n 1347 .
【点睛】关键点睛：利用换元法，根据一元二次方程实根的分布结合正弦函数的性质分类讨论是解题的关
键.
15．（2021 春·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）已知函数 y f (x), x D，如果对于定义域D内的
任意实数 x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有 f (x T ) m f (x) 成立，则称函数 f (x) 是D
上的周期为T 的m 级类周期函数．
（1）已知 y f (x) 是[0, ) 上的周期为 1 的m 级类周期函数，且 y f (x) 是[0, ) 上的严格增函数，当
x [0,1) 时， f (x) 2x ，求实数m 的取值范围；
（2）设函数 f (x) 是 R 上的周期为 1 的 2 级类周期图数，且当 x (0,1]时， f (x) x(x 1)．若对任意
x ( ,m] 8，都有 f (x) ，求m 的取值范围；
9
（3）是否存在实数 k ，使函数 f (x) coskx 是 R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数 k 和T
的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）[2, ) m
7
；（2） ；（3）答案见解析；
3
【分析】（1）根据函数定义有 f (x) mf (x 1)，易得 x [n,n 1)时 f (x) mn 2x n (n N *n ) ，根据已知条件
有m 0且mn 2x n mn 1 2x (n 1) 即可求m 的范围；
（2）由函数定义有 x (2,3]时 f (x) [ 1,0]，再结合题设函数不等式恒成立、二次函数的性质，求m 的范
围；
（3）由题意 cosk(x T ) T coskx恒成立，讨论 k 0、 k 0分别求对应 k 值.
【详解】（1）由m 级类周期函数定义知： f (x 1) mf (x) ，即 f (x) mf (x 1)
∴当 x [1, 2) f x 1时， 1(x) m 2 ，…，当 x [n,n 1)时， fn (x) m
n 2x n (n N *) ，
∵ y f (x) 是[0, ) 上的严格增函数，且 x [0,1) 上 f (x) 单调递增，
∴ m 0且mn 2x n mn 1 2x (n 1) ，解得m 2，
∴ m [2, ) .
（2）由题设： f (x) 2 f (x 1)，而 x (0,1]时 f (x)
1
x(x 1) [ ,0]，
4
∴当 x (1, 2]，即 x 1 (0,1]时 f (x) 2(x 1)(x 2)
1
[ ,0]，
2
当 x (2,3]，即 x 1 (1, 2]时 f (x) 4(x 2)(x 3) [ 1,0]，
x (2,3] 4(x 2)(x 3) 8 x 7 8∴ 0 ，使 0 0 ，解得 0 或 x9 3 0
3
对任意 x ( ,m]
8 7
都有 f (x) ，则m .
9 3
（3）若存在，则 f (x T ) Tf (x ) ，即 cosk(x T ) T coskx恒成立，
∴当 k 0时，T 1；
当 k 0时， cosk(x T ) [ 1,1]，则T 1，
若T 1， cosk(x 1) coskx，可得 k 2n (n Z , n 0)，
若T 1， cosk(x 1) coskx ，可得 k (2n 1) (n Z )，
∴综上，T 1时 k 2n (n Z )；T 1时 k (2n 1) (n Z ) .
【点睛】关键点点睛：利用m 级类周期函数的定义确定相应区间上的函数解析式，根据函数的单调性、函
数不等式恒成立、存在性问题求参数.
16．（2022 春·上海闵行·高一校联考期中）已知函数 y f (x) ， x D ，如果对于定义域 D 内的任意实数 x，
对于给定的非零常数 P，总存在非零常数 T，恒有 f x T P f x 成立，则称函数 f (x) 是 D 上的 P 级递
减周期函数，周期为 T；若恒有 f x T P f x 成立，则称函数 f (x) 是 D 上的 P 级周期函数，周期为 T.
(1) 2判断函数 f x x 3是 R 上的周期为 1 的 2 级递减周期函数吗，并说明理由？
(2) 已知T ， y f (x) 是 0, 上的 P 级周期函数，且 y f (x) 是 0, 上的严格增函数，当 x 0,
2 2
时， f x sin x 1. x 求当 2 n,
2 n 1 n N* 时，函数 y f (x) 的解析式，并求实数 P 的取值范围；
x
(3) 1 是否存在非零实数 k，使函数 f x coskx 是 R 上的周期为 T 的 T 级周期函数？请证明你的结论.
2
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)当 x [ n, (n 1))(n N )时， f x Pn sin x n
1 ，且P [2, )；2 2 2
k 2m (3)存在， ,m Z .
T
【分析】（1）利用 P 级递减周期函数定义，计算验证作答.
（2）根据给定条件，利用 P 级周期函数定义，依次计算 n 1,2,3时解析式，根据规律写出结论作答.
（3）假定存在符合题意的 k 值，利用 P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.
(1)
f x x2依题意，函数 3定义域是 R，
2 f (x) f (x 1) 2(x2 3) [(x 1)2 3] x2 2x 2 (x 1)2 1 0 ，
即 x R ， f (x 1) 2f (x )成立，
所以函数 f (x) 是 R 上的周期为 1 的 2 级递减周期函数.
(2)
因T ， y f (x) 是 0, 上的 P 级周期函数，则 f (x ) P f (x)，即 f (x) P f (x )2 ，2 2
x [0, 而当 ) 时， f x sin x 1，当 x [ , ) 时， x [0, ) ， f x P sin x 1 ，2 2 2 2 2
x [ , 3 )
2
当 时， x [ , ) ，则 f x Pf x P sin x 1 2 2 2 2 ，
3
当 x [
3
, 2 )时， x
3
[ , ) 3，则 f x Pf x P sin
x 1 ，
2 2 2 2 2
……
x
当 [ n, (n 1)) x [ (n 1), n)
n
时， ，则 f x Pf x 2 2 2 2 2 2
P sin x n2
1
，
3
并且有：当 x [0, ) 时， y [1, 2) ，当 x [ , ) 时， y [P, 2P)，当 x , 时， y [P
2 , 2P2 )，……，
2 2 2
当 x [ n,
(n 1))时， y [Pn , 2Pn ) ，
2 2
2 P
2P P
2
因 y f (x)
2
是 0, 上的严格增函数，则有 2P P3 ，解得P 2 ，
L L
2Pn 1 n P
所以当 x [ n, (n 1))(n N ) n时， f x P sin
x n
1 ，且P [2, ) .2 2 2
(3)
1
假定存在非零实数 k，使函数 f (x) ( )x cos kx是 R 上的周期为 T 的 T 级周期函数，
2
x T x
x R f x T T f x x R 1 即 ，恒有 成立，则 ，恒有 cos kx kT T
1 cos kx 成立，
2 2
即 x R ，恒有 cos kx kT T 2T cos kx 成立，当 k 0时， x R ，则 kx R ， kx kT R ，
于是得 cos kx [ 1,1]， cos kx kT 1,1 ，要使 cos kx kT T 2T cos kx 恒成立，则有T 2T 1，
当T 2T T
1
1，即 2 时，由函数 y 2x 与 y
1
T
1
T x 的图象存在交点知，方程
2
T 有解，
此时 cos kx kT cos kx 恒成立，则 kT 2m ,m Z k 2m ，即 ,m Z，
T
当T 2T 1，即 2T
1 1 1
时，由函数 y 2x 与 y T的图象没有交点知，方程 2 无解，
T x T
2m
所以存在 k ,m Z，符合题意，其中T 满足
T T 2
T 1 .
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方
法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
