河南省新乡市名校2022-2023学年高一下学期6月阶段测试数学试题（含解析）

新乡市名校2022-2023学年高一下学期6月阶段测试
数学试题 2023.6
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，AD为BC边上的中线，M为AD(靠近点A)的三等分点，则( )
A． B．
C． D．
2．若，则( )
A． B． C． D．i
3．若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台的中截面的面积为( )．
A．10 B．8 C．9 D．
4．如图，在正四棱台中，棱，的夹角为，，则棱，的夹角为( )
A． B． C． D．
5．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9．4，9．4，9．4，9．6，9．7，则该射手成绩的极差和方差分别是( )
A．0．2，0．127 B．0．3，0．016 C．9．4，0．080 D．0．3，0．216
6．受新冠肺炎疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，假设每人只选择一种方式，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集选择每种方式自主学习的人数数据，制成扇形统计图，如图（1）所示．教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行调查，得到的数据如图（2）所示．下列说法错误的是( )
A．样本容量为240
B．若，则本次自主学习学生的满意率不低于40%
C．总体中对方式二满意的学生约为300人
D．样本中对方式一满意的学生为24人
7．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是。那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是( )。
A． B． C． D．
8．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两次都击中飞机}， {两次都没击中飞机}， {恰有一枚炮弹击中飞机}， {至少有一枚炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。每小题有一个或多个选项符合题目要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分。
9．已知向量，，则( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则a与b的夹角为
10．如图，四边形ABCD为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A． B． C． D．
11．我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利．下图是2013—2019年我国农村减贫人数（按现行农村贫困标准统计）统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年现行标准下全部脱贫．以下说法中正确的是( )
A．2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少
B．2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上
C．2017年末我国农村贫困人口有3046万人
D．2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平
12．同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件{第一个四面体向下的一面出现偶数}，事件{第二个四面体向下的一面出现奇数}，事件{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．下列说法正确的是( )
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知i为虚数单位，复数且，z在复平面内的对应点位于第四象限，则z的虚部为___________．
14．正方体中，M是AB的中点，则与CM所成角的余弦值为___________．
15．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层随机抽样的方法，抽取的中型商店数有_________家．
16．现有7名数理化成绩优秀者，分别用，，，，，，表示，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则和不全被选中的概率为________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）平面给定三个向量．
(1)若，求的值；
(2)若向量与向量共线，求实数k的值．
18．（12分）如图，已知四棱柱的底面为菱形，，，E为AC上一点，过和点E的平面分别交BC，CD于点M，N．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求四棱锥的体积．
19．（12分）在如图所示的几何体中，底面是正方形，四边形是直角梯形，，且四边形底面分别为的中点，．
(I)求证:平面平面;
(Ⅱ)求多面体的体积．
20．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图．
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)，众数和中位数．(保留整数)
21．（12分）张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15~65岁的人群抽样了n人，问题是“大佛寺是几A级旅游景点？”统计结果如图表．
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 a 0．5
第2组 18 x
第3组 b 0．9
第4组 9 0．36
第5组 3 y
(1)分别求出a，b，x，y的值．
(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人．
22．（12分）某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出人数 2人及以下 3 4 5 6人及
概率 0．1 0．46 0．3 0．1 0．04
(1)求有4个人或5个人培训的概率．
(2)求至少有3个人培训的概率．
答案以及解析
1．答案：B
解析：根据向量的运算法则，可得．
2．答案：D
解析：方法一：由已知得，所以．故选D．
方法二：设，则，代入已知条件，得，整理得，由复数相等可得解得则．故选D．
3．答案：C
解析：设圆台的上、下底面半径分别为、，圆台中截面的半径为，则，，解得，，所以，所以．
4．答案：D
解析：如图，分别延长，，，交于点P，连接AC．在正四棱台中，棱，的夹角为，，所以是边长为2的等边三角形，所以．又，所以，所以，所以棱，的夹角为，故选D．
5．答案：B
解析：由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为，平均值为，
所以该射手成绩的方差，故选B．
6．答案：B
解析：对于选项A，样本容量为，故选项A正确；对于选项B，根据题意得自主学习的满意率为，选项B错误；对于选项C，用样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意的学生人数约为，选项C正确；对于选项D，样本中对方式一满意的学生人数为，选项D正确．故选B．
7．答案：D
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，则事件A与B互斥。“从中取出2粒不是同一色”为事件C，则C与对立，所以，即“从中取出2粒不是同一色”的概率为。
8．答案：D
解析：“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中，一种是两枚炮弹都击中， ∴ ．故选 D．
9．答案：BC
解析：A项，若，则，即，故A项错误；
B项，若，则，即，，故B项正确；
C项，若，则，所以，故C项正确；
D项，，则，，，，所以a与b的夹角不是，故D项错误．
10．答案：CD
解析：由题意，可将几何体补全为如图所示的正方体，不妨设，则，，三棱锥的体积，三棱锥的体积，
显然是边长为的正三角形，所以．
易证平面，，所以平面ACE，且，
从而三棱锥的体积，进一步可得出选项C，D正确．
11．答案：ABC
解析：由题可知，2013—2020年我国农村每年减贫人数均大于0，因此贫困人口逐年减少，故选项A正确；
2013—2019年我国农村每年减贫人数的平均值为（万人），又，故选项B正确；
2017年末我国农村贫困人口为（万人），故选项C正确；
由于2013—2019年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项D错误．
故选ABC．
12．答案：ABD
解析：由古典概型的概率计算公式，得，，所以，A正确；，D正确；而事件A，B，C不可能同时发生，故，所以C不正确；又，，，所以，B正确．故选ABD．
13．答案：-4
解析：，
，解得，
z在复平面内的对应点位于第四象限，，．
故答案为：-4．
14．答案：
解析：将正方体补成一个长方体，连接，
所以是异面直线与CM所成角(或其补角)，
设正方体的棱长为a．
在三角形中，，
那么．
15．答案：5
解析：抽样比等于，由于中型商店有75家，应抽取的中型商店数为．
16．答案：
解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个样本点为，，，，，，，，，，，．
设“和不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“和全被选中”．
由于，所以，
由对立事件的概率计算公式得．
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题知，
．
又，
解得．
(2)由题知，
与共线，
，解得．
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：四边形ABCD为菱形，．
又，，．
又，平面．
平面ABCD，平面平面，．
，，平面，
平面平面．
（2），，，
．
在中，过点O作交于点F．
，，
．
由（1）知平面平面．
，平面．
又平面，
由等体积法得
．
19．答案：(I)见解析
(Ⅱ)
解析：(I)证明:分别为的中点，
．
又∵四边形是正方形，
，
．
平面平面，
平面平面．
又平面，
∴平面平面．
(Ⅱ)∵四边形是直角梯形，，
．
又∵四边形底面，平面平面平面，
平面，
是四棱锥的高，
．
∵四边形是正方形，
．
平面平面，
．
又平面．
平面，即是三棱锥的高，
，
∴多面体的体积．
20．答案：(1) 第四组的频率0．3，频率直方图见解析
(2)及格率75%；众数75，中位数约为73．3
解析：(1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，
补全频率分布直方图如图所示：
(2)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组频率和为，所以抽样学生成绩的及格率是75%，
众数为最高小矩形底边的中点，是75；
由，知中位数在内，
设中位数为x，则，
解得；所以估计中位数是73．3分．
21．答案：(1)．
(2)第2组2人，第3组3人，第4组1人．
解析：(1)由频率分布表中第4组数据可知，第4组总人数为，
结合频率分布直方图可知．
所以．
，．
(2)因为第2，3，4组回答正确的共有54人，所以利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第2组：；第3组：；第4组：．
22．答案：(1)概率为0．4
(2)概率为0．9
解析：(1)设有2人以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训川为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件有一个发生的概率的加法公式可知．
(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知．