鲁教版（五四学制）数学八年级上册第五章平行四边形 综合素质评价（含解析）

第五章平行四边形 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1．下列说法不正确的是(　　)
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
2．如图，将 ABCD的一边BC延长至点E，若∠1＝80°，则∠A等于(　　)
A．80° B．120° C．100° D．110°
3．【2023·济南济阳区期末】一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形的边数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
4．【2022·达州】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( 　　 )
A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF
5．【2022·大庆】如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为(　　)
A．108° B．109°
C．110° D．111°
6．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，到直线b的距离是3 cm，那么直线a和b之间的距离是(　　)
A．2 cm B．6 cm
C．8 cm D．2 cm或8 cm
7．如图，四边形纸片ABCD中，∠A＝65°，∠B＝85°，将纸片折叠，使C，D落在AB边上的C′，D′处，折痕为MN，则∠AMD′＋∠BNC′＝(　　)
A．60°
B．70°
C．80°
D．85°
8．如图， ABCD中，AC的垂直平分线交AD于点E，且△CDE的周长为8，则 ABCD的周长是(　　)
A．10 B．12 C．14 D．16
9．如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合叠放在一起，则∠3＋∠1－∠2＝(　　)
A．30° B．24° C．20° D．28°
10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为(　　)
A．28或32 B．28或36
C．32或36 D．28或32或36
11．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD的延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为(　　)
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
12．【2023·济南期末】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE.下列结论：①∠ADO＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为(　　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题(每题3分，共18分)
13．【母题：教材P139随堂练习T2】【2022·南充】数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10 m(如图)，则A，B两点的距离是________m.
14．【母题：教材P147习题T1】【2022·菏泽】如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3∶2，则n＝________．
15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，请你只添加一个条件：________________使得四边形BDFC为平行四边形．
16．【2023·济南历下区期末】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10，BD＝6，则BC的长为________．
17．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为________．
18．如图①，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20.今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙拼成一个轴对称图形(AD，CB重合)，如图②所示，则拼成的图形中两对角线长度和为________．
三、解答题(19～21题每题8分，25题12分，其余每题10分，共66分)
19．【2022·桂林】如图，在 ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE.
(1)求证：BE＝DF；
(2)求证：△ABE≌△CDF.
20．【2023·烟台海阳市期末】如图，在△ABC中，AD是边BC的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E.若G为线段BF上一动点，当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？请说明理由．
21．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.
(1)若∠1＝48°，求∠2的度数；
(2)求证：AB∥DE.
22．【2023·济南市中区期中】如图，A，B，C为一个平行四边形的三个顶点，且A，B，C三点的坐标分别为(5，6)，(3，4)，(6，3)．
(1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
(2)求平行四边形的面积．
23．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE与AF的交点为M，CE与DF的交点为N，连接MN，EF.
(1)求证：四边形ABFE为平行四边形；
(2)若AD＝4 cm，求MN的长．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上的点，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．
(1)求证：FG＝FH.
(2)当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
25．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E.
(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②和图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝________．
答案
一、1.C　2.C　3.C　4.B
5．C　【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥CD，∴∠ABE＝∠1＝56°.
根据折叠可知∠ABD ＝∠EBD，
∴∠ABD ＝∠ABE＝×56°＝28°.
∵∠2＝42°，
∴∠A ＝180°－∠ABD－∠2 ＝110°.
6．D　【点拨】当点M在直线a，b同侧时，直线a和b之间的距离为5－3＝2(cm)；
当点M在直线a，b异侧时，直线a和b之间的距离为5＋3＝8(cm)．
7．A　【点拨】由折叠可知∠DMN＝∠D′MN，
∠CNM＝∠C′NM，
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A＝65°，∠B＝85°，
∴∠C＋∠D＝210°.
∵∠DMN＋∠CNM＋∠C＋∠D＝360°，　
∴∠DMN＋∠CNM＝150°.
∵∠AMD′＋∠BNC′＋2∠DMN＋2∠CNM＝2×180°＝360°，
∴∠AMD′＋∠BNC′＝60°.
8．D　【点拨】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE.
∵△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝CD＋DE＋AE＝CD＋AD＝8，
∴ ABCD的周长＝2(CD＋AD)＝16.故选D.
9．B　【点拨】如图．
∵正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角相等且分别为60°，90°，108°，120°，
∴∠AOE＝∠1＋∠2＋∠3＋∠DOE＝120°，
∠DOE＝60°，
∠2＝∠BOE－∠COE＝108°－90°＝18°.
∴∠1＋∠2＋∠3＝60°.
∴∠3＋∠1－∠2＝∠1＋∠2＋∠3－2∠2＝60°－2×18°＝24°.
10．D　【点拨】∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10.
若以AC，BC为边，则平行四边形的周长＝2(AC＋BC)＝2×(6＋8)＝28；
若以AC，AB为边，则平行四边形的周长＝2(AC＋AB)＝2×(6＋10)＝32；
若以AB，BC为边，则平行四边形的周长＝2(AB＋BC)＝2×(10＋8)＝36.
11．A　【点拨】如图，延长AF，CB交于点G.
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF.
在△ACF和△GCF中，
∴△ACF≌△GCF(ASA)．
∴CG＝AC＝7，AF＝FG.
∴BG＝CG－CB＝3.
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF＝BG＝1.5.
12．B　 【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠AEB＝60°.
∵AB＝BC，∴BE＝BC，
∴CE＝BE＝AE，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠OAB＝90°，∠OAD＝30°，
∴在Rt△AOB中，OB>OA，OB>AB，则③不成立；
∴OD>OA，
∴∠ADO≠∠OAD，即∠ADO≠30°，则①不成立；
∵∠OAB＝90°，即AB⊥AC，
∴S ABCD＝AB·AC，则②成立；
设 ABCD的面积为8a(a>0)，
则S△AOD＝S△COD＝S△BOC＝S ABCD＝2a，
∵BE＝CE，
∴S△BOE＝S△COE＝S△BOC＝a，
∴S四边形OECD＝S△COE＋S△COD＝3a＝S△AOD，④成立．
综上，成立的个数为2个．
二、13.20　14.5　15.BD∥FC(答案不唯一)
16．4　【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
AC＝10，BD＝6，
∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝3.
∵∠ODA＝90°，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4.
17．72°　【点拨】∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°.
同理∠CBD＝36°，
∴∠AFB＝∠BCA＋∠CBD＝72°.
18．26　【点拨】如图，连接EF，
则易得对角线EF⊥AD，
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，
∴BC＝AD＝20，EF·AD＝×120，
∴EF＝6.
∴拼成的图形中两对角线长度和为20＋6＝26.
三、19.证明：(1)∵BF＝DE ，
∴BF －EF＝DE－EF ，即BE＝DF .
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝DC，AB∥DC，
∴∠ABE＝∠CDF .
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
20．解：点G为线段BF的中点时，四边形AFDG为平行四边形．理由如下：
∵AD是边BC的中线，
∴BD＝CD.
∵点G为线段BF的中点，
∴DG是△BCF的中位线，
∴DG∥CF，2DG＝CF，
∴DG∥AF.
∵2AF＝CF，∴DG＝AF，
∴四边形AFDG为平行四边形．
21．(1)解：∵六边形ABCDEF的每个内角都相等，
∴一个内角为＝120°，
∴∠E＝∠F＝∠BAF＝120°.
∵∠1＝48°，
∴∠FAD＝∠FAB－∠1＝120°－48°＝72°.
∵∠2＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，
∴∠2＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝360°－72°－120°－120°＝48°.
(2)证明：∵∠1＝120°－∠DAF，∠2＝360°－120°－120°－∠DAF＝
120°－∠DAF，　
∴∠1＝∠2，∴AB∥DE.
22．解：(1)如图，分三种情况：
当BC为对角线时，第四个顶点的坐标为(4，1)；
当AB为对角线时，第四个顶点的坐标为(2，7)；
当AC为对角线时，第四个顶点的坐标为(8，5)．
综上所述：平行四边形第四个顶点的坐标为(2，7)或(4，1)或(8，5)．
(2)∵S△ABC＝3×3－×2×2－×3×1－×3×1＝4，
∴S平行四边形＝2S△ABC＝2×4＝8.
23．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
又∵DE＝CF，∴AE＝BF.
∴四边形ABFE是平行四边形．
(2)解：∵DE＝CF，AD∥BC，
∴四边形DEFC是平行四边形．∴DN＝FN.
由(1)知四边形ABFE是平行四边形，
∴AM＝MF.∴MN＝AD＝2 cm.
24．(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，∴DB＝EC.
∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FG＝BD，FH＝CE，
∴FG＝FH.
(2)解：当∠A＝90°时，FG⊥FH.
理由如下：如图，延长FG交AC于N，
∵FH是△BCE的中位线，
∴FH∥AC.
∵FG⊥FH，∴FN⊥AC，
∴∠FNC＝90°.
∵FG是△EDB的中位线，
∴FG∥BD，即FN∥AB，
∴∠A＝∠FNC＝90°.
∴当∠A＝90°时，FG⊥FH.
25．(1)证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF＝DE.
∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠FDB＝∠B，∴DF＝BF，
∴DE＋DF＝AB＝AC.
(2)解：图②中AC＋DE＝DF.
图③中AC＋DF＝DE.
(3)2或10