鲁教版（五四学制）数学八年级上册第一章 因式分解 综合素质评价（含解析）

第一章 因式分解 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1．【2023·济宁任城区月考】下列从左至右的变形，属于因式分解的是(　　)
A．4a2－8a＝a(4a－8)
B．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．x2－x＋＝
D．x2＋1＝x
2．【2023·泰安泰山区月考】多项式8a3b2＋12ab3c的公因式是(　　)
A．abc B．4ab2 C．ab2 D．4ab2c
3．【2023·淄博张店区月考】下列式子中，分解因式结果为(3a－y)(3a＋y)的多项式是(　　)
A．9a2＋y2 B．－9a2＋y2
C．9a2－y2 D．－9a2－y2
4．【2023·东营期末】下列各式中不能用公式法分解因式的是(　　)
A．x2－4 B．－x2－4
C．x2＋x＋ D．－x2＋4x－4
5．将下列多项式因式分解，结果中不含因式x－1的是(　　)
A．x(x－3)＋(3－x) B．x2－1
C．x2－2x＋1 D．x2＋2x＋1
6．简便计算：(－2)100＋(－2)101＝(　　)
A．－2100 B．－2101
C．2100 D．－2
7．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的数字是(　　)
A．8，1 B．16，2
C．24，3 D．64，8
8．已知a＝2b－5，则代数式a2－4ab＋4b2－5的值是(　　)
A．20 B．0
C．－10 D．－30
9. 如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为(　　)
A．(b－6a)(b－2a)
B．(b－3a)(b－2a)
C．(b－5a)(b－a)
D．(b－2a)2
10．【母题：教材P17复习题T5】248－1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个整数是(　　)
A．61和63 B．63和65
C．65和67 D．64和67
11．【2023·烟台期中】已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M，N的大小关系是(　　)
A．M≥N B．M＞N
C．M≤N D．M＜N
12．若(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，则b＋c的值是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、填空题(每题3分，共18分)
13．【2022·常州】分解因式：x2y＋xy2＝________．
14．多项式9a2－4b2和9a2＋12ab＋4b2的公因式是________．
15．若4x2－(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为________．
16．若关于x的二次三项式x2＋kx＋b因式分解为(x－1)(x－3)，则k＋b的值为________．
17．已知a＋b＝2，则a2－b2＋2a＋6b＋2的值为________．
18．多项式4a2－9bn(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值共有______个．
三、解答题(19题12分，20题6分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)
19．【2023·东营广饶县月考】因式分解：
(1)y(y＋4)－4(y＋1)；
(2)(x2＋1)2－4x2；
(3)x2＋xy＋y2；
(4)x(x－y)(a－b)－y(y－x)(b－a)．
20．【母题：教材P7习题T4】用简便方法计算：
(1)2 0232－2 0242；
(2)2.22＋4.4×17.8＋17.82.
21．已知x＋y＝5，(x－2)(y－2)＝－3，求下列代数式的值．
(1)xy；　　　　(2)x2＋4xy＋y2；　　　　(3)x2＋xy＋5y.
22.阅读：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，　　　　　①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2). ②
∴c2＝a2＋b2. ③
∴△ABC是直角三角形. ④
请根据上述解题过程回答下列问题：
(1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？
(2)请你将正确的解题过程写下来．
23．小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，割去半径为r的四个小圆，如图所示，小刚测得R＝6.8 dm，r＝1.6 dm，他想知道剩余部分(阴影部分)的面积，你能利用所学的因式分解的知识帮他计算吗？请写出求解过程．(结果保留π)
24．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
(1)图B可以解释的代数恒等式是________________．
(2)现有足够多的如图C所示的正方形和长方形卡片．
①若要拼出一个面积为(a＋2b)(a＋b)的长方形，则需要1号卡片________张，2号卡片________张，3号卡片________张；
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形(每两张卡片之间既不重叠，也无空隙)，使该长方形的面积为2a2＋5ab＋2b2，并利用图形面积对2a2＋5ab＋2b2进行因式分解．
25．【2023·烟台芝罘区期中】整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解的过程．将“x2＋2x”看成一个整体，令x2＋2x＝y，则原式＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2再将“y”还原即可．
解：设x2＋2x＝y.
原式＝y(y＋2)＋1(第一步)
＝y2＋2y＋1(第二步)
＝(y＋1)2(第三步)
＝(x2＋2x＋1)2(第四步)．
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－4x)(x2－4x＋8)＋16进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
(1－2－3－…－2023)×(2＋3＋…＋2024)－(1－2－3－…－2024)×(2＋3＋…＋2023)．
答案
一、1.C　2.B
3．C　4.B
5．D　【点拨】A.原式＝(x－3)(x－1)；
B．原式＝(x＋1)(x－1)；
C．原式＝(x－1)2；
D．原式＝(x＋1)2.
6．A　【点拨】(－2)100＋(－2)101＝2100－2101＝2100(1－2)＝－2100.
7．B　【点拨】由(x2＋4)(x＋2)(x－▲)得出▲＝2，则(x2＋4)(x＋2)(x－2)＝(x2＋4)(x2－4)＝x4－16，则■＝16.
8．A　【点拨】∵a＝2b－5，
∴a－2b＝－5，
∴a2－4ab＋4b2－5
＝(a－2b)2－5
＝(－5)2－5
＝25－5
＝20.
9．A　 【点拨】底面积为(b－2a)2，
侧面积为a·(b－2a)·4＝4a(b－2a)，
∴M＝(b－2a)2－4a·(b－2a)
＝(b－2a)(b－2a－4a)，
＝(b－2a)(b－6a)．
10．B　【点拨】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)＝(224＋1)(212＋1)×65×63.
11．A　 【点拨】∵M－N＝(3x2－x＋3)－(2x2＋3x－1)
＝3x2－x＋3－2x2－3x＋1
＝x2－4x＋4
＝(x－2)2≥0，
∴M≥N.
12．D　【点拨】∵(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，
∴b2－2bc＋c2＝4c－4－4bc＋4b，
∴(b2＋2bc＋c2)－4(b＋c)＋4＝0，
∴(b＋c)2－4(b＋c)＋4＝0，
∴(b＋c－2)2＝0，
∴b＋c＝2.
二、13.xy(x＋y)
14．3a＋2b　【点拨】9a2－4b2＝(3a＋2b)(3a－2b)，
9a2＋12ab＋4b2＝(3a＋2b)2，
∴公因式是3a＋2b.
15．13或－11　16.－1　
17．10　【点拨】∵a＋b＝2，
∴a2－b2＋2a＋6b＋2＝(a＋b)(a－b)＋2a＋6b＋2＝2(a－b)＋2a＋6b＋2＝2a－2b＋2a＋6b＋2＝4a＋4b＋2＝4(a＋b)＋2＝4×2＋2＝10.
18．5　【点拨】多项式4a2－9bn(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值为0，2，4，6，8，共5个．
三、19.解：(1)原式＝y2＋4y－4y－4＝y2－4＝(y＋2)(y－2)．
(2)原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.
(3)原式＝(x2＋2xy＋y2)＝(x＋y)2.
(4)原式＝x(x－y)(a－b)－y(x－y)(a－b)＝(x－y)(a－b)(x－y)＝(x－y)2(a－b)．
20．解：(1)原式＝(2 023＋2 024)×(2 023－2 024)＝4 047×(－1)＝－4 047.
(2)原式＝2.22＋2×2.2×17.8＋17.82＝
(2.2＋17.8)2＝202＝400.
21．解：(1)∵(x－2)(y－2)＝－3，
∴xy－2(x＋y)＋4＝－3.
∵x＋y＝5，∴xy＝3.
(2)∵x＋y＝5，xy＝3，
∴x2＋4xy＋y2＝(x＋y)2＋2xy＝25＋6＝31.
(3)x2＋xy＋5y＝x(x＋y)＋5y，
∵x＋y＝5，
∴x2＋xy＋5y＝5x＋5y＝5(x＋y)＝5×5＝25.
22．解：(1)从第③步开始出现错误，错误的原因是忽略了a2－b2＝0的可能．
(2)正确的解题过程如下：
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．
∴c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0.
∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
∴c2－a2－b2＝0或a2－b2＝0.
∴c2＝a2＋b2或a＝b.
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．
23．解：剩余部分的面积为πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．
将R＝6.8 dm，r＝1.6 dm代入上式，
得π×(6.8＋3.2)×(6.8－3.2)＝36π(dm2)．
24．解：(1)(2n)2＝4n2
(2)①1；2；3
②如图．
2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(a＋2b)．
25．解：(1)①没有；最后的结果为(x＋1)4.
②设x2－4x＝y.
原式＝y(y＋8)＋16＝y2＋8y＋16＝(y＋4)2＝(x2－4x＋4)2＝(x－2)4.
(2)设x＝1－2－3－…－2 023，y＝2＋3＋…＋2 024，
则1－2－3－…－2 024＝x－2 024，
2＋3＋…＋ 2023＝y－2 024，
x＋y＝1＋2 024＝2 025，
所以原式＝xy－(x－2 024)(y－2 024)
＝xy－xy＋2 024(x＋y)－2 0242
＝2 024×2 025－2 0242
＝2 024(2 024＋1)－2 0242
＝2 024.