沪教版（五四学制）数学九年级上册 探究三角形的内接正方形的作法 教案
文档属性
| 名称 | 沪教版（五四学制）数学九年级上册 探究三角形的内接正方形的作法 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 188.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-19 14:06:50 | ||
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文档简介
《探究三角形内接正方形的作法》教学设计
教材分析：
相似三角形的性质”是沪教版九年级数学上册“相似形”这章的重点内容之一，它是全等三角形性质的拓展，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。本节课借助书中例7求三角形的内接正方形的边长这题进行深化和拓展，作为教学中探究性活动的素材，提出新问题“如何在三角形中作出这样的正方形”，让学生展开多角度联想，亲身经历作法的探索过程，培养主动探究的习惯。新课程的教学理念倡导不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生的学习过程，提高学生的思维能力是初三数学复习中不容回避的话题。尺规作图是几何证明的另一种呈现方式，其根本目的是发展学生的逻辑推理能力，是对几何证明的拓展和延续。在经历探索三角形内接正方形的作法的过程中，不仅“得法”，也要“明理”，才能“会作”，尺规作图体现了学生数学思维的严谨性与创造性，培养反思学习的习惯，提升逻辑推理能力。
学情分析：
学生是在已经学完了相似三角形的性质、锐角三角比的基础上对三角形的内接正方形的作法开始进行探索的。上课的班级属于上海市中等偏上水平，具有良好的逻辑推理能力，但仅限于条件明显的情况。学生对尺规作图的理解和掌握停留在只会用5种基本尺规作图的简单应用上，对于突然冒出的问题“如何在三角形中作出这样的正方形”，不免新生疑惑，这类条件开放和几何推理结合作法探究的复合型作图题，学生存在思维能力欠缺和应用盲点，需要从满足局部条件的正方形着手，如果没有适当问题的引导，对学生来说有难度。
教学目标：
1.经历操作、猜测、归纳及论证的过程，掌握三角形的内接正方形的作法；
2.通过自主探索与合作交流，掌握三角形的内接正方形的一般特征，体会从一般到特殊、化归及类比的思想方法，同时丰富数学活动经验，激发学习数学的兴趣，感受数学的魅力.
教学重难点
重点：掌握三角形的内接正方形的特征
难点：探究三角形的内接正方形的作法原理
教法与学法
教法：以问导学
学法：自主学习与合作探究
【教学过程分析】
一、开门见山 提出问题
（沪教版 九年级第一学期P38页） 例7：如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上。已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，求正方形DEFG的边长.
问题：这个正方形的顶点位置在哪里？怎样在三角形中作出这样的正方形？
设计说明：作为初三的一节复习课，就是要抓住一个具体的、有意义的、但又不是很复杂的题目，做一番钻研。这里用书上的例题引入，看似熟悉的题目，老题新问，在课前先抛出问题，让学生有充分的时间思考，充分激发学生的求知欲望，使其产生探究问题、解决问题的迫切愿望，为探究做心理上的准备。
二、问题引领 探究新知
【探究问题1】如图，在△中，如何作一个正方形，使它的三个顶点在△的边上？
【探究问题2】你能作出多少个这样的正方形？
【探究问题3】这样的正方形，第四个顶点的轨迹是怎样的？
（活动设计：小组内同学将透明纸叠放在一起观察点G的轨迹）
设计说明：这是以数学家波利亚《怎样解题》中的一道作图题的一些构思为问题串，层层深入，前两个问题起点低、发散性强，第一个问题选择学生实物投影讲评，也帮助部分不会的同学能顺利过渡到第二问，能增强所有同学积极参与探究问题的自信心，为探究问题做知识上的准备。第三问通过组内同学合作完成，因为一个学生的图不足以看出点G的轨迹，当组内所有同学大大小小的正方形用透明纸叠放在一起时，已经很容易看出点G的轨迹是一条直线了，学生充分感知合作的重要性。通过教学实验，使学生获得真实、鲜明、生动的具体过程，促进学生动脑、动手、动口。这一环节以问题作为思考起点，一环扣一环，经过教师的精心设问，引导学生去想、去探究、去讨论，保证学生始终处于主动的学习状态中，并在教师的点拨下，使学生在解决问题的过程中自主地建构知识。
【讨论1】
已知：如图，在△ABC中，四边形D1E1F1G1 、D2E2F2G2是正方形，点E1、E2、F1、F2在边BC上，点D1 、D2在边AB上，
求证：点B、G1 、G2在同一直线上
设计说明：作图不仅仅是依葫芦画瓢，更是要明理。让学生明白“知其然也知其所以然”，经过自主探索与组内讨论，学生初步找到了确定这三点共线的解题思路。利用逆向思维分析和推理，假设这几个点在一直线，这种方法对学生而言是一种重要的分析问题和思考问题的方法，也是数学上的重要的思想方法（其本质是分析法），借助作图的思路分析渗透了一种重要的数学思想方法。东北师大的史宁中教授说过，“作图的教育价值是培养想象力”，想象力就是想好了结果，你再操作一下跟你的结果是不是一样的。我们的孩子应该勤于思考、敢于质疑、统筹规划并养成一丝不苟的思考习惯，这一环节留足时间讨论，但拒绝盲目交流，盲从交流。教师深入到每一个小组中去参与、聆听学生的讨论，请各小组代表分析解题思路，要对学生每一种方案，不论正确与否，不论繁琐与否，都要给予热情的、积极地、正面的评价，以保护学生的进取心，营造宽松的课堂氛围。
【探究问题4】能否让三角形内的正方形顶点G落在△的边上？
【讨论2】
已知：如图，四边形D1E1F1G1是正方形，射线BG1与AC相交于G，其中DG∥D1G1，GF∥F1G1，
DE∥D1E1
求证：四边形DEFG是正方形
设计说明：当已经明确点G的轨迹是一条直线后，很快能找到落在AC边上的点G，通过类比联想，让学生的学习既有原有经验的迁移，又是在原有知识上“再创造”的过程。课堂上创造充分的机会让学生用数学语言进行表达，展示自己的思维，同时也注重数学语言的书面表达与交流，学生进行解析并板演解题过程，既是交代作图需明理，也是必要的书写格式的示范。树立学生从一般到特殊的认识规律，通过先实验后归纳再推理强化学生“实践出真知”的求知意识。
【探究】三角形的内接正方形的作法
设计说明：经历了前面循序渐进、步步深入的探究和对讨论1、讨论2的证明，学生已基本掌握了三角形的内接正方形的作法，对待这个问题的解决自然是水到渠成。（请一个学生上黑板板演）。整个过程是可以由学生自主探究，使学生有成功的经验。其分析思路与学生已学的知识紧密相连，学生在已有的知识和能力上获得了新的发展，符合学生学习的需要。
三、变式例题，应用新知
例题 （天津中考改编）如图，将 放在每一个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上。若四边形是的内接正方形，一条边落在上中，其余两点分别在和边上，请你在如图所示的网格中，用尺规作出该正方形（保留作图痕迹），并求出正方形的边长为_____________.
变式：如图，将 放在每一个小正方形的边长为1的网
格中，点、、均落在格点上。若四边形、FGPQ
是正方形，EF边、FQ边落在上，点D、P分别在和
边上，请你在如图所示的网格中，用尺规作出正方形DEFG
和FGPQ（保留作图痕迹），并求出正方形DEFG的边长为
_____________.
设计意图：例题练习是一道天津中考的改编题，这题学生能直接根据条件，在网格中作出相应的正方形，也能快速解决正方形的边长。变式训练主要目的都是巩固理解三角形内接正方形的作图思路，虽然题目类型相同，但又要求学生触类旁通，从一个正方形到两个正方形再到邻边之比1:2的矩形，新知识的获取建立在学生已有的知识和经验上，为学生作图方法的深入研究提供有效的保证，已有的分析问题和解决问题的方法和思路得到了延伸与拓展。
【议一议】作三角形的内接正方形还有其他方法吗？
设计意图：反思讨论、层层拓展、步步深入引导、帮助学生对问题的方方面面进行探究。课堂上探讨和研究包含着学生间的讨论以及师生间的互动，数学探究活动的开展有助于学生初步尝试数学研究过程，体验创造激情，有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。全课以一个饶有回味的问题作为结尾，目的是进一步加深学生对作法的理解，探求作图原理的过程中重视几何原理的解释。积极主动参与，分析问题。解决问题，成为知识的发现者，从而主动建构数学概念，探索和验证数学规律，进而培养学生用于探索和创新的人文素养。
四、自主小结 深化提高
今天你有什么收获？
你还想继续探究什么？
五、分层作业 延续探究
1、（1）如图，在中，，垂足为，正方形的四个顶点分别在的三边上，若，，正方形的边长为，请探究与的关系式.
（2）在中，于，正方形的四个顶点分别在的三边上，若，△的面积为，正方形的边长为，请探究与的关系式.
2、如图，要从一块锐角三角形的铁皮余料中剪一个正方形，如何剪使得到的正方形面积最大，
铁皮的利用率最高？
3、某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、____个、_____个大小不同的内接正方形.
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（选做）（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明。
4、（选做）探究如果一个正方形的两个顶点在扇形的弧上，另外两个顶点分别落在扇形的两条半径上，运用三角形内接正方形的作法，在扇形AOB内部作出这个正方形，缤纷话题时小组分享。
设计说明：课后训练题是从绝大部分学生的实际认知能力出发而设，以照顾全体学生在学习中都能获益为主要目标。第1题是研究三角形的内接正方形边长与三角形其他元素间的关系，是课堂知识的延伸与应用，第2题考查学生的运用与拓展能力，培养学生用数学知识解决实际问题的方法与技巧。新课标下的数学教学的一个重要体现是“数学来源于生活，又服务于生活”，贯彻“学以致用”的思想。第3题是知识的运用与拓展，是学生能力提高的具体表现，第4题是对课堂内容的回顾延伸拓展，通过作业，达到评价教学过程、检查教学效果的目的，并为调节控制教学过程提供信息。学生通过作业，从中学会学习、学会求知、学会合作、学会探究，为其终身学习和发展积淀深厚的底蕴。
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教材分析：
相似三角形的性质”是沪教版九年级数学上册“相似形”这章的重点内容之一，它是全等三角形性质的拓展，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。本节课借助书中例7求三角形的内接正方形的边长这题进行深化和拓展，作为教学中探究性活动的素材，提出新问题“如何在三角形中作出这样的正方形”，让学生展开多角度联想，亲身经历作法的探索过程，培养主动探究的习惯。新课程的教学理念倡导不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生的学习过程，提高学生的思维能力是初三数学复习中不容回避的话题。尺规作图是几何证明的另一种呈现方式，其根本目的是发展学生的逻辑推理能力，是对几何证明的拓展和延续。在经历探索三角形内接正方形的作法的过程中，不仅“得法”，也要“明理”，才能“会作”，尺规作图体现了学生数学思维的严谨性与创造性，培养反思学习的习惯，提升逻辑推理能力。
学情分析：
学生是在已经学完了相似三角形的性质、锐角三角比的基础上对三角形的内接正方形的作法开始进行探索的。上课的班级属于上海市中等偏上水平，具有良好的逻辑推理能力，但仅限于条件明显的情况。学生对尺规作图的理解和掌握停留在只会用5种基本尺规作图的简单应用上，对于突然冒出的问题“如何在三角形中作出这样的正方形”，不免新生疑惑，这类条件开放和几何推理结合作法探究的复合型作图题，学生存在思维能力欠缺和应用盲点，需要从满足局部条件的正方形着手，如果没有适当问题的引导，对学生来说有难度。
教学目标：
1.经历操作、猜测、归纳及论证的过程，掌握三角形的内接正方形的作法；
2.通过自主探索与合作交流，掌握三角形的内接正方形的一般特征，体会从一般到特殊、化归及类比的思想方法，同时丰富数学活动经验，激发学习数学的兴趣，感受数学的魅力.
教学重难点
重点：掌握三角形的内接正方形的特征
难点：探究三角形的内接正方形的作法原理
教法与学法
教法：以问导学
学法：自主学习与合作探究
【教学过程分析】
一、开门见山 提出问题
（沪教版 九年级第一学期P38页） 例7：如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上。已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，求正方形DEFG的边长.
问题：这个正方形的顶点位置在哪里？怎样在三角形中作出这样的正方形？
设计说明：作为初三的一节复习课，就是要抓住一个具体的、有意义的、但又不是很复杂的题目，做一番钻研。这里用书上的例题引入，看似熟悉的题目，老题新问，在课前先抛出问题，让学生有充分的时间思考，充分激发学生的求知欲望，使其产生探究问题、解决问题的迫切愿望，为探究做心理上的准备。
二、问题引领 探究新知
【探究问题1】如图，在△中，如何作一个正方形，使它的三个顶点在△的边上？
【探究问题2】你能作出多少个这样的正方形？
【探究问题3】这样的正方形，第四个顶点的轨迹是怎样的？
（活动设计：小组内同学将透明纸叠放在一起观察点G的轨迹）
设计说明：这是以数学家波利亚《怎样解题》中的一道作图题的一些构思为问题串，层层深入，前两个问题起点低、发散性强，第一个问题选择学生实物投影讲评，也帮助部分不会的同学能顺利过渡到第二问，能增强所有同学积极参与探究问题的自信心，为探究问题做知识上的准备。第三问通过组内同学合作完成，因为一个学生的图不足以看出点G的轨迹，当组内所有同学大大小小的正方形用透明纸叠放在一起时，已经很容易看出点G的轨迹是一条直线了，学生充分感知合作的重要性。通过教学实验，使学生获得真实、鲜明、生动的具体过程，促进学生动脑、动手、动口。这一环节以问题作为思考起点，一环扣一环，经过教师的精心设问，引导学生去想、去探究、去讨论，保证学生始终处于主动的学习状态中，并在教师的点拨下，使学生在解决问题的过程中自主地建构知识。
【讨论1】
已知：如图，在△ABC中，四边形D1E1F1G1 、D2E2F2G2是正方形，点E1、E2、F1、F2在边BC上，点D1 、D2在边AB上，
求证：点B、G1 、G2在同一直线上
设计说明：作图不仅仅是依葫芦画瓢，更是要明理。让学生明白“知其然也知其所以然”，经过自主探索与组内讨论，学生初步找到了确定这三点共线的解题思路。利用逆向思维分析和推理，假设这几个点在一直线，这种方法对学生而言是一种重要的分析问题和思考问题的方法，也是数学上的重要的思想方法（其本质是分析法），借助作图的思路分析渗透了一种重要的数学思想方法。东北师大的史宁中教授说过，“作图的教育价值是培养想象力”，想象力就是想好了结果，你再操作一下跟你的结果是不是一样的。我们的孩子应该勤于思考、敢于质疑、统筹规划并养成一丝不苟的思考习惯，这一环节留足时间讨论，但拒绝盲目交流，盲从交流。教师深入到每一个小组中去参与、聆听学生的讨论，请各小组代表分析解题思路，要对学生每一种方案，不论正确与否，不论繁琐与否，都要给予热情的、积极地、正面的评价，以保护学生的进取心，营造宽松的课堂氛围。
【探究问题4】能否让三角形内的正方形顶点G落在△的边上？
【讨论2】
已知：如图，四边形D1E1F1G1是正方形，射线BG1与AC相交于G，其中DG∥D1G1，GF∥F1G1，
DE∥D1E1
求证：四边形DEFG是正方形
设计说明：当已经明确点G的轨迹是一条直线后，很快能找到落在AC边上的点G，通过类比联想，让学生的学习既有原有经验的迁移，又是在原有知识上“再创造”的过程。课堂上创造充分的机会让学生用数学语言进行表达，展示自己的思维，同时也注重数学语言的书面表达与交流，学生进行解析并板演解题过程，既是交代作图需明理，也是必要的书写格式的示范。树立学生从一般到特殊的认识规律，通过先实验后归纳再推理强化学生“实践出真知”的求知意识。
【探究】三角形的内接正方形的作法
设计说明：经历了前面循序渐进、步步深入的探究和对讨论1、讨论2的证明，学生已基本掌握了三角形的内接正方形的作法，对待这个问题的解决自然是水到渠成。（请一个学生上黑板板演）。整个过程是可以由学生自主探究，使学生有成功的经验。其分析思路与学生已学的知识紧密相连，学生在已有的知识和能力上获得了新的发展，符合学生学习的需要。
三、变式例题，应用新知
例题 （天津中考改编）如图，将 放在每一个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上。若四边形是的内接正方形，一条边落在上中，其余两点分别在和边上，请你在如图所示的网格中，用尺规作出该正方形（保留作图痕迹），并求出正方形的边长为_____________.
变式：如图，将 放在每一个小正方形的边长为1的网
格中，点、、均落在格点上。若四边形、FGPQ
是正方形，EF边、FQ边落在上，点D、P分别在和
边上，请你在如图所示的网格中，用尺规作出正方形DEFG
和FGPQ（保留作图痕迹），并求出正方形DEFG的边长为
_____________.
设计意图：例题练习是一道天津中考的改编题，这题学生能直接根据条件，在网格中作出相应的正方形，也能快速解决正方形的边长。变式训练主要目的都是巩固理解三角形内接正方形的作图思路，虽然题目类型相同，但又要求学生触类旁通，从一个正方形到两个正方形再到邻边之比1:2的矩形，新知识的获取建立在学生已有的知识和经验上，为学生作图方法的深入研究提供有效的保证，已有的分析问题和解决问题的方法和思路得到了延伸与拓展。
【议一议】作三角形的内接正方形还有其他方法吗？
设计意图：反思讨论、层层拓展、步步深入引导、帮助学生对问题的方方面面进行探究。课堂上探讨和研究包含着学生间的讨论以及师生间的互动，数学探究活动的开展有助于学生初步尝试数学研究过程，体验创造激情，有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。全课以一个饶有回味的问题作为结尾，目的是进一步加深学生对作法的理解，探求作图原理的过程中重视几何原理的解释。积极主动参与，分析问题。解决问题，成为知识的发现者，从而主动建构数学概念，探索和验证数学规律，进而培养学生用于探索和创新的人文素养。
四、自主小结 深化提高
今天你有什么收获？
你还想继续探究什么？
五、分层作业 延续探究
1、（1）如图，在中，，垂足为，正方形的四个顶点分别在的三边上，若，，正方形的边长为，请探究与的关系式.
（2）在中，于，正方形的四个顶点分别在的三边上，若，△的面积为，正方形的边长为，请探究与的关系式.
2、如图，要从一块锐角三角形的铁皮余料中剪一个正方形，如何剪使得到的正方形面积最大，
铁皮的利用率最高？
3、某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、____个、_____个大小不同的内接正方形.
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（选做）（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明。
4、（选做）探究如果一个正方形的两个顶点在扇形的弧上，另外两个顶点分别落在扇形的两条半径上，运用三角形内接正方形的作法，在扇形AOB内部作出这个正方形，缤纷话题时小组分享。
设计说明：课后训练题是从绝大部分学生的实际认知能力出发而设，以照顾全体学生在学习中都能获益为主要目标。第1题是研究三角形的内接正方形边长与三角形其他元素间的关系，是课堂知识的延伸与应用，第2题考查学生的运用与拓展能力，培养学生用数学知识解决实际问题的方法与技巧。新课标下的数学教学的一个重要体现是“数学来源于生活，又服务于生活”，贯彻“学以致用”的思想。第3题是知识的运用与拓展，是学生能力提高的具体表现，第4题是对课堂内容的回顾延伸拓展，通过作业，达到评价教学过程、检查教学效果的目的，并为调节控制教学过程提供信息。学生通过作业，从中学会学习、学会求知、学会合作、学会探究，为其终身学习和发展积淀深厚的底蕴。
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