2022-2023学年湖北省襄阳市南漳县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市南漳县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在中，，已知，，那么下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
2. 由一些完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数最少和最多分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 在中，，，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 小明在星期天上午：测得某树的影长为，下午：他又测得该树的影长为如图所示，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为( )
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上一点，已知点，点，连接，则下列说法正确的是( )
A. 的值可能为
B. 点不可能在反比例函数 的图象上
C. 在反比例函数 的图象的一个分支上，可能存在随的增大而增大
D. 直线与反比例函数的图象必有一个交点
6. 如图，反比例函数经过边的中点，与边交于点，且，连接，若的面积为，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，直径，平分，延长线上一点，交圆于，且弦交于，满足，，长为( )
A. B. C. D.
8. 如图所示，边长为的正方形中，对角线，交于点，在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论：；；；若，则，正确的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为，的面积为若点也在此函数的图象上，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方形的对角线，相交于点，点是上一点，交于点，连接，交于点，连接则下列结论：；；；若：，，则；四边形的面积是正方形面积的其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为______ ．
12. 如图，矩形的顶点、在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，交于点若，，，则的值为 ．
13. 如图，已知函数经过点，延长交双曲线另一分支于点，过点作直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交双曲线另一分支于点，且则的面积 ．
14. 如图，正方形由个边长为的小正方形组成，形变后成为菱形，、是小正方形的顶点同时形变为当与的面积之比等于：时，则 ．
15. 如图是一款重型订书机，其结构示意图如图所示，其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，厘米，不使用时，，是中点，，且点在的延长线上，则的长为______ 厘米；使用时如图，按压使得，此时点落在上，若厘米，则压杆到底座的距离为______ 厘米．
三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
数学社团的同学运用自己所学的知识进行区间测速，他们将观测点设在距金水大道米的点处，如图所示，直线表示金水大道这时一辆小汽车由金水大道上的处向处匀速行驶，用时秒经测量点在点的南偏西方向上，点在点的南偏西方向上．
求、之间的路程精确到米；
请判断此车是否超过了金水大道千米时的限制速度？参考数据，，，
17. 本小题分
如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆，其中水面截线，小明在处测得点处小树的顶端的仰角为，已知小树的高为米．
求直径的长；
如果要使最大水深为米，那么此时水面的宽度约为多少米结果精确到米，参考数据：，
18. 本小题分
如图，四边形内接于，是的直径，平分交于点，点在延长线上，．
求证：是的切线；
求证：．
19. 本小题分
如图，曲线与直线交于，两点．
求曲线和直线的解析式；
根据第一象限图象观察，当时，的取值范围是 ．
20. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．
求，的值；
过动点作平行于轴的直线，交函数的图象于点，交直线于点．
当时，求线段的长；
若，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
21. 本小题分
如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作，使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求的长；
在的条件下，求阴影部分的面积．
22. 本小题分
问题探究：
如图，点，分别是边，上的点，且，，则与的高之比为______ ；
如图，在中，，，矩形的顶点，分别在边、上，顶点、在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大．
问题解决：
某市进行绿化改造，美化生态环境如图，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点、同在边上，顶点、分别在边、上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉已知花卉每平方米元，草坪每平方米元，则绿化改造所需费用至少为多少元？结果保留根号
23. 本小题分
如图，有一个人站在球台水平上去打高尔夫球，球台到轴的距离为米，与轴相交于点，弯道：与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处飞出的红色高尔夫球沿抛物线：运动，落在弯道的处，且到轴的距离为米；
的值为______ ；点的坐标为______ ； ______ ；
红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为．
求的解析式，并说明小球能否落在弯道上？
在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，则的取值范围是什么？
若在红色球从处飞出的同时，一黄色球从点的正上方飞出，它所运行轨迹与抛物线形状相同，且黄色球始终在红色球的正上方，当红色球到轴的距离为米，且黄球位于红球正上方超过米的位置时，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
，
，
故选：．
利用锐角三角函数定义判断即可．
此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题中所给出的主视图知物体共列，且都是最高两层；由左视图知共行，且正方体在搭建过程中在底层必须能棱与棱一起，
所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列个小正方体，第二列个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：个．
小正方体的个数最多的几何体为：第一列个小正方体，第二列个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最多为：个．
故选：．
由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少和最多的正方体的个数．
本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
3.【答案】
【解析】解：在中，
，，
，
．
故选：．
先利用勾股定理得到，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解锐角的余弦的定义是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，作；
树高为，且，，，
，，
，
又，
∽，
；
即，
代入数据可得，
解得．
故选：．
根据题意，画出示意图，易得∽，进而可得；即，代入数据可得答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
5.【答案】
【解析】解：是上一点，
，
，
故A选项不符合题意，
点是反比例函数的图象上一点，
，且，
当点在反比例函数的图象上时，可得，
，
，
，点的坐标为，
点可能在反比例函数 的图象上，
故B选项不符合题意；
当时，，
在反比例函数的图象上的一个分支上，随的增大而增大，
故C选项符合题意；
当时，直线在轴上，
直线与反比例函数的图象没有交点，
故D选项不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的图象与性质即可进行判断．
本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：过作轴于，过作轴于，如图：
设，
轴，轴，
，
∽，
，
：：，
，
是的中点，
点的纵坐标为，
点在反比例函数图象上，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
的面积为，是的中线，
的面积为，
，
解得，
故选：．
过作轴于，过作轴于，设，根据，可得，又是的中点，故点的纵坐标为，可知点的横坐标为，从而点的横坐标为，根据的面积为，是的中线，可列出，即可解得答案．
本题考查反比例函数的应用，涉及三角形面积，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
7.【答案】
【解析】解：连接，，，，过点作于点，如图，
平分，
，
，
，
为等边三角形，
．
设，则，，
，
，
，
∽，
，．
．
，，
，
，
．
，，
，
，
．
，
，
．
在和中，
，
≌，
．
，，
．
，
．
．
，
，
．
．
故选：．
连接，，，，过点作于点，利用线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定得到为等边三角形，设，则，，利用相似三角形的判定得到∽，进而得到，；利用圆周角定理得到，利用等腰三角形的性质得到，，；利用全等三角形的判定与性质得到，从而，最后利用三角形的面积公式得到关于的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，，
，
，
，
又，
，
，
，故正确；
，，
，
，
又，
∽，
，
，故正确；
，，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，故正确；
，，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
，故正确，
故选：．
由“”可证≌，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得；
通过证明∽，可得；
通过证明∽，可得，通过证明∽，可得，可得结论；
通过证明∽，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：垂直于轴，的面积为，，
，
，
点也在此函数的图象上，
，
，
故选：．
根据的几何含义可得的值，从而得出反比例函数的解析式，进而把点的坐标代入，从而得出的值．
本题考查了反比例函数的““的几何函数，点和函数图象的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
10.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，．
，
，
．
．
在和中，
，
≌，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
．
．
的结论正确；
，，
点，，，四点共圆，
，
的结论正确；
过点作，交于点，如图，
，，
，
．
，
，
，
．
．
，，，
．
在和中，
，
≌，
．
．
的结论正确；
：：，
设，则，
，
过点作于点，如图，
，
，
，
在中，
，
．
的结论不正确；
四边形是正方形，
，，
≌≌≌．
．
．
由知：≌，
，
．
即四边形的面积是正方形面积的．
的结论正确．
综上，的结论正确．
故选：．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，，
，，，
是边的中点，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，，
∽，
，
，
．
故答案为：．
根据题意和矩形的性质可得，，，，根据勾股定理求得，，易证∽，则，，以此即可求解．
本题主要考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
12.【答案】
【解析】解：，
设、，
则，点坐标为，
，
，
，
点，
反比例函数经过点、，
，
解得：或舍，
则，
故答案为：．
由可设、，在表示出点、的坐标，由反比例函数经过点、列出关于的方程，解之求得的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点、的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于点，连接，
则，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
与反比例函数联立，得，
解得：，，
点的横坐标为，
，
延长交双曲线另一分支于点，
点与点关于原点对称，即点是的中点，
．
故答案为：．
过点作轴于点，连接，可证得∽，求得，即，利用待定系数法可得直线的解析式为，与反比例函数联立，可求得点的横坐标为，根据，，即可求得答案．
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数中的几何意义，相似三角形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积等，求出点的坐标是解题的关键；本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
14.【答案】
【解析】解：的面积的面积的面积，
与的面积之比等于：，
的面积，
变成菱形时的，的长度没有变化，
的长度也没有变化，
过点作，垂足为，
面积，
，
，
，
，
又，
．
故答案为：．
先求出的面积，再根据面积关系求出，得出，即可得到答案．
本题考查了正方形的性质、菱形的性质、三角形面积的计算；关键是根据面积关系求出．
15.【答案】；
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
延长，则过点，根据和厘米可得的长；过点作于，可得，利用勾股定理可得的长，最后利用三角函数可得答案．
【解答】
解：如图，延长，则过点，
四边形是矩形，，
，
，
即，
，
是中点，
厘米，
如图，过点作于，
，
，
，
在中，厘米，
，
，
即，
厘米．
故答案为：；．
16.【答案】解：过作于，
在中，，，米，
米，
在中，，，米，
米，
米，
答：、之间的路程为米；
此车超过金水大道每小时千米的限制速度，理由如下：
米，
此车的速度米秒，
又千米小时米秒，
而米秒米秒，
此车超过中山路每小时千米的限制速度．
【解析】分别在，中，求得、的长，从而求得的长．已知时间则可以根据路程公式求得其速度；
将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是特殊角的三角函数值、锐角三角函数，注意时间之间的换算．
17.【答案】解：小明在处测得点处小树的顶端的仰角为，
，，
，
，米，
，
米，
答：直径的长为米；
过点作于，并延长交于，连接，如图：
，米，
的直径为米，
米
米，
在中，
，米，
米．
答：水面的宽度约为米．
【解析】由，，得，利用锐角三角形的正切值即可求解；
过点作，交于点，交半圆于点，连接，在中，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解．
本题考查解直角三角形及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义、勾股定理并能应用．
18.【答案】证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，，
，
，
是半径，
是的切线；
证明：，，
∽，
，
平分，
，
，，
，
，
．
【解析】连接，根据，可证，则，且是半径，即可证明；
首先证明∽，得，再由，，得，则有，从而证明结论．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：把点代入，
得：，
解得：，
曲线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
，
把、代入得：，
解得：，
直线的解析式为：．
由图可知：当时，．
故答案为：．
将点代入求出反比例函数表达式，再求出点的坐标，最后将点和点的坐标代入即可求解；
根据图象即可进行解答．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，会根据图象和不等式求函数值的取值范围．
20.【答案】解：直线经过点，
，
反比例函数的图象经过点，
；
当时，点的坐标为，
当时，，解得，
点的坐标为，
当时，，解得，
点的坐标为，
；
当时，，解得，则，
当时，，解得，
点的坐标为，
当时，，解得，
点的坐标为，
当点在点的右侧时，
若，即，解得，舍去，
当时，；
当点在点的左侧时，
若，即，解得，舍去，
当时，，
综上所述，的取值范围为或．
【解析】先利用一次函数解析式确定的值得到点坐标，然后把点坐标代入得到的值；
利用、的纵坐标都为得到点和点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段的长；
先确定，由于、的纵坐标都为，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出，，讨论：当点在点的右侧时，先利用得到，解得，舍去，再结合图象可判断当时，；当点在点的左侧时，先利用得到，解得，舍去，再结合图象可判断当时，．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
21.【答案】证明：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：是直径，
，
，
平分，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∽，
，
，
；
解：，，，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据角平分线的定义得出，由等边对等角得出，即可得出，进而判定，根据平行线的性质得到，即，即可得解；
由是直径得出，进而得到，，根据两角相等的两个三角形相似得到∽，即可得出，求出，在根据锐角三角函数定义求出，即得，再根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可根据求解；
根据阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积求解即可．
本题考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线与相切是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
：：，
和的相似比是，
与的高之比等于相似比是．
故答案为：．
作于，交于，
，
∽，
：：，
的面积，，
，
，
，，
：：，
，
矩形的表面积，
当时，矩形的面积最大；
延长，交于，作于，
当矩形的面积最大时，费用最小，
，
是等边三角形，
，，
令，则，
，
，
，
矩形的面积，
矩形面积的最大值是，
，
的面积，
的面积，
四边形的面积的面积的面积，
种植花卉的面积，
此时绿化改造所需费元，
绿化改造所需费用至少为元．
由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案；
由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于的二次函数关系，即可解决问题；
由二次函数的性质求出矩形面积的最大值即可解决问题；
本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：球台与轴距离为，，
代入，解得，
，
到轴的距离为米，
当时，，
点，将点代入，解得，
故答案为：，，．
解：抛物线顶点，设抛物线解析式为，把代入，解得，
的表达式为，即，
点在反比例函数，且米，
点的坐标为，当时，，
与滑道不相交，
小球不能落在滑道上．
当时，；当时，，
即，解得，
的取值范围是．
解：一号球的轨迹为，向上平移到经过得二号球轨迹，
二号球抛物线表达式为，且，
当时，，即，解得，
的取值范围是．
球台到轴的距离为米，米，可知点的坐标，弯道：与球台交于点，可求出反比例函数解析式，到轴的距离为米，且在反比例函数图象上，可求出点的坐标，把点代入二次函数即可求解；
的最高点坐标为，根据二次函数的顶点式设二次函数的解析式，把点代入二次函数，即可求解的解析式，再计算与轴的交点，根据米，计算出点的坐标，两者进行比较即可；在轴上有托盘，小球恰好能被托盘接住，则托盘在函数的图象上，由此即可求解；
根据题意求出一号球的轨迹函数，向上平移到经过得二号球轨迹，可求出二号球的轨迹函数，当时，，由此即可求解．
本题主要考查二次函数，反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法是解题的关键．
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