扬中市2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题4
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一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知是各项不相等的等差数列，若，且，，成等比数列，则数列的前10项和 （ C ）
A. 5 B. 45 C. 55 D. 110
2．在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是 （ C ）
A. B.
C. D.
3．下列说法中正确的是 （ A ）
①若随机变量，则
②若随机变量且，则
③甲、乙、丙、丁四人到四个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，则
④设随机变量X，则，
A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①②
4．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则 （ D ）
A. B. C. D.
5．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为 （ A ）
A. B.
C. D.
6．若的展开式中的系数为20，则 （ B ）
A. B. C. D.
7．已知抛物线：，焦点为F，点M为抛物线上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ A ）
A. B.
C.5 D.3
8．设，，，则 （ C ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某学校一同学研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则 （ ABC ）
A.样本中心点为（8，25） B.
C. ，残差为0.2 D.若去掉样本点（8，25），则样本的相关系数r增大
10．记A，B为随机事件，下列说法正确的是 （ BC ）
A. 若事件A，B互斥，，，
B. 若事件A，B相互独立，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11．如图所示，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是 （ ABD ）
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12．已知直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有 （ AD ）
A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得
C. 当时，，使得 D. 当，，
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．设a∈Z，且0≤a≤15，若492022＋a能被15整除，则a＝ 14 .
14．已知圆柱的体积为，则该圆柱的表面积的最小值为 ．
15．中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗.经过科研工作者长达一年左右的研制，截至目前我国已有4款自主研发的新冠疫苗获批上市.其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有_____624_____种（用数字作答）
16．已知数列满足，，当时，___ ___；若数列的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a的值为__2____.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．在条件①无理项的系数和为，②的系数是64，③第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
问题：在的展开式中_____________．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．解：（1）因为展开式的通项为
，
若选①，当为奇数时为无理项，为偶数时为有理项，
则无理项系数和与的无理项系数和互为相反数，
令的无理项系数和为、有理项系数和为，
令，则，
所以，所以；
若选②，令，解得，
因为且，解得且为的倍数，
所以，因为，所以，所以，
所以；
若选③，依题意可得，即，解得；
（2）由（1）可得，则展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式中常数项；
18．已知正项数列的前n项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列为等比数列，数列满足，若，，求证：.
18．解：（1）因为，则，
累乘可得，，
所以，又符合式子，
所以，
当时，，
所以两式相减可得，，
又符合上式，所以，
（2）因数列为等比数列，，且，
设数列的公比为，则，即，
所以，则
所以，
即
19．阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
19．解：（1）依题意有，解得，
所以椭圆C的标准方程是.
（2）（i）当直线的斜率不存在，易知，，或，，
当，时，直线PA的方程为：，所以点，
此时，，，显然B，Q，F三点共线，
同理，时，B，Q，F三点共线；
（ii）当直线的斜率存在时，显然斜率，设直线的方程：，
设，，
由整理可得：，
，，
由（1）可得左右顶点分别为，，
直线PA的方程为，又因为直线与交于F，所以，
所以，，
因为
，
又
，
所以，所以，所以B，Q，F三点共线；
20．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
20．解：（1）连接FG.
在△中，F、G分别为的中点，
所以.
又因为平面, 平面，
所以平面.
（2）因为平面,平面，
所以.
又，所以.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
则,，
，.,.
设平面SCD的一个法向量为.
则，即，
令,得.
所以平面SCD的一个法向量为.
又平面ESD的一个法向量为.
所以
所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为.
（3）假设存在点H,设,
则.
由（2）知,平面的一个法向量为.
则，
即,所以.
故存在满足题意的点H,此时.
21．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到）．
参考数据：．
附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
（2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率．
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折．某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
21．解：（1）由表中数据可得，，，，
，所以，
所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．
而，则，
所以．令，可得．
答：月日到该专营店购物的人数约为．
（2）因为，所以从第天和第天取的人数分别为和，
从而人取自不同天的种数为，所以概率．
答：这人取自不同天的概率为．
（3）若选方案一，需付款元．
若选方案二，设需付款元，则的取值可能为，，，，
则，，
，，
所以，
因此选择方案二更划算．
22． 已知函数的最大值是．
（1）求实数的值；
（2）设函数，若，使，求实数的取值范围．
22．解：（1）求导，得，令 ， 解得 ．
当 时， ；当 时， ，
所以在 上单调递增， 在上单调递减，
所以当 时， 函数有最大值， 即，
所以
（2）令，
求导， 得
令， 求导得，
当时， ， 所以在 上单调递增.
因为
所以存在唯一的， 使，
当时， ;
当时， ，
所以在 上单调递减， 在上单调递增，
由， 得
构造函数， 求导， 得，
所以在 上单调递增， 又，所以
所以.
故实数的取值范围是
【点睛】关键点点睛：构造后，由导数知函数在 上单调递增，需要找到两个合适的值，确定隐零点的范围是解题的第一个关键点，当确定存在唯一的， 使后，利用隐零点得到函数极值，再由隐零点满足的条件构造函数，利用单调性得出是解题的第二个关键所在，解决这两个关键点，即可得解.扬中市2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题4 姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知是各项不相等的等差数列，若，且，，成等比数列，则数列的前10项和 （ ）
A. 5 B. 45 C. 55 D. 110
2．在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是 （ ）
A. B.
C. D.
3．下列说法中正确的是 （ ）
①若随机变量，则
②若随机变量且，则
③甲、乙、丙、丁四人到四个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，则
④设随机变量X，则，
A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①②
4．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则 （ ）
A. B. C. D.
5．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为 （ ）
A. B.
C. D.
6．若的展开式中的系数为20，则 （ ）
A. B. C. D.
7．已知抛物线：，焦点为F，点M为抛物线上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A. B.
C.5 D.3
8．设，，，则 （ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某学校一同学研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则 （ ）
A.样本中心点为（8，25） B.
C. ，残差为0.2 D.若去掉样本点（8，25），则样本的相关系数r增大
10．记A，B为随机事件，下列说法正确的是 （ ）
A. 若事件A，B互斥，，，
B. 若事件A，B相互独立，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11．如图所示，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是 （ ）
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12．已知直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有 （ ）
A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得
C. 当时，，使得 D. 当，，
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．设a∈Z，且0≤a≤15，若492022＋a能被15整除，则a＝ .
14．已知圆柱的体积为，则该圆柱的表面积的最小值为 ．
15．中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗.经过科研工作者长达一年左右的研制，截至目前我国已有4款自主研发的新冠疫苗获批上市.其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有__________种（用数字作答）
16．已知数列满足，，当时，___ ___；若数列的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a的值为______.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．在条件①无理项的系数和为，②的系数是64，③第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
问题：在的展开式中_____________．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知正项数列的前n项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列为等比数列，数列满足，若，，求证：.
19．阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
20．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
21．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到）．
参考数据：．
附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
（2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率．
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折．某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
22． 已知函数的最大值是．
（1）求实数的值；
（2）设函数，若，使，求实数的取值范围．
