课件42张PPT。阶段复习课
第 十五 章主题1 分式的有关概念及性质
【主题训练1】（2013·黔西南州中考）分式 的值
为零，则x的值为（ ）
A.-1 B.0 C.±1 D.1
【自主解答】选D．由题意得
解得x=1．【备选例题】（2012·崇左中考）化简 =________.
【解析】原式=
答案：【主题升华】
分式有意义、无意义、值为0的条件
1.分式有意义：分母≠0.
2.分式无意义：分母=0.
3.分式值为0：1.（2013·南宁中考）若分式 的值为0，则x的值
为（ ）
A.-1 B.0 C.2 D.-1或2
【解析】选C.∵x-2=0且x+1≠0 ，∴x=2.2.（2012·钦州中考）如果把 的x与y都扩大10倍，
那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大50倍
C．扩大10倍 D．缩小为原来的
【解析】选A．将 的x与y都扩大10倍，
即是3.（2013·淄博中考）下列运算错误的是（ ）【解析】选D. 正确；
正确；
正确；
错误.4.(2012·抚顺中考)若分式 有意义，则x的取值范围是
_______.
【解析】由题意得x+1≠0，解得x≠-1．
答案：x≠-1【变式训练】若分式 无意义，则x的取值范围是______.
【解析】由题意得x+1=0，解得x=-1．
答案：x=-1主题2 分式的运算
【主题训练2】(2012·盘锦中考)先化简,再求值：
其中x为 的整数.【自主解答】原式=
∵x为0
∴x=1或x=2，
又有 且x2+2x≠0，
得x≠1且x≠0且x≠-2且x≠-1,
故当x=2时, 【备选例题】(2012·贵阳中考）先化简：
当b=－1时，再从－2＜a＜2的范围内选取一个合适的整数a代
入求值．【规范解答】原式
在－2①若a=-1,分式 无意义；
②若a=0,分式 无意义；
③若a=1,分式 无意义．
所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值
不存在）.【主题升华】
分式加减运算的“四个步骤”
1.先确定最简公分母.
2.对每项通分,化为同分母分式.
3.按同分母分式运算法则进行运算.
4.注意结果化为最简分式．1.（2013·枣庄中考）化简 的结果是（ ）
A.x+1 B.x-1 C.-x D.x
【解析】选D. 2.(2013·上海中考)计算：
【解析】
答案：3b3.（2013·河南中考）化简：
【解析】原式
答案：4.(2013·成都中考)化简：
【解析】原式＝5.（2013·鞍山中考）先化简，再求值：
其中
【解析】原式=
当x= +1时，原式主题3 分式方程的解及解法
【主题训练3】（2013·泰州中考）解方程：
【自主解答】
去分母得：(x－2)(2x+2)－x(x+2)=x2－2,
解得：x=－ 经检验x=－ 是原分式方程的解.【主题升华】
解分式方程的一般步骤
1.去分母：在分式方程的两边都乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程.
2.解整式方程.
3.检验：将求得的整式方程的解代入最简公分母，看结果是否为0.
4.写出原方程的解.【知识拓展】 分式方程为什么必须验根
把分式方程转化为整式方程过程中，无形中去掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，有如下两种情况：
（1）如果整式方程的解都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的解就是分式方程的解.
（2）如果整式方程的有些解不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种解就不是分式方程的解.
因此，解分式方程时，检验是必不可少的步骤．1.（2013·无锡中考）方程 的解为（ ）
A.x=2 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3
【解析】选C.∵该分式方程只含有两个分母(x－2)和x，且不能分解因式，∴两个分母的积x(x－2)便是最简公分母，∴分式方程两边同乘以x(x－2)便能转化为一元一次方程x－3(x－2)=0，解得x=3，代入最简公分母x(x－2)≠0，有意义.2.（2013·扬州中考）已知关于x的方程 的解是
负数，则n的取值范围为________．
【解析】由题意，得：x=n－2，则有n－2<0且2（n－2）
+1≠0，所以n<2且n≠
答案：n<2且n≠3.（2013·陕西中考）解分式方程：
【解析】2+x(x+2)=x2－4，
2+x2+2x=x2－4，
x=－3.
经检验，x=－3是原分式方程的解.4.(2013·普洱中考)解方程：
【解析】两边同时乘以（x-2），得x-3+x-2=-3，
解得x=1.检验：当x=1时，x-2=1-2=-1≠0，
∴原方程的解为x=1.【变式训练】解方程
【解题指南】对于较复杂的分式方程，要善于观察方程的
特点，采用灵活的解题策略．本题就是利用分式值相等的
条件——分子等于0或分母分别相等，将分式方程转化为
整式方程，这样要比用去分母的方法来解简单得多．【解析】方法一：原方程变为
化简，得
两边分别通分，得
由于分子相同，所以x2－11x＋30＝x2－17x＋72，
解得x＝7．
检验：当x＝7时，原方程的分母均不等于0，
所以x＝7是原方程的解．方法二：由方法一，知
移项，得
两边分别通分，得
由分式值相等的性质，
得2x－14＝0，解得x＝7；
或x2－14x＋45＝x2－14x＋48，此方程无解．
检验：当x＝7时，原方程的分母均不等于0，
所以x＝7是原方程的解．主题4 分式方程的应用
【主题训练4】(2013·仙桃中考)某文化用品商店用1 000元购
进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1 500元购进
第二批该款套尺，购进时单价是第一批的 倍，所购数量比第
一批多100套．
（1）求第一批套尺购进时单价是多少？
（2）若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出，可以
盈利多少元？【自主解答】（1）设第一批套尺购进时单价是x元/套.
由题意得：
即 解得：x=2.
经检验：x=2是所列方程的解且满足题意.
答：第一批套尺购进时单价是2元/套.
（2）
答：商店可以盈利1 900元.【主题升华】
列分式方程解应用题的方法与步骤
1.审——审清题意，找出等量关系.
2.设——直接设未知数或间接设未知数.
3.列——根据等量关系列出分式方程.
4.解——解方程，得出未知数的值.
5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合实际情况.
6.答——完整地写出答案，注意单位.1.（2013·葫芦岛中考）甲车行驶30 km与乙车行驶40 km所用时间相同，已知乙车比甲车每小时多行驶15 km，设甲车的速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
【解析】选D.根据甲车行驶30 km与乙车行驶40 km所用时间
相同列方程,得2.（2013·天水中考）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg，若设第一块试验田每公顷的产量为
x kg，根据题意，可列方程为_________.
【解析】第一块试验田每公顷的产量为x kg，
则第二块试验田每公顷的产量为（x+3 000）kg，
根据题意可列方程：
答案：3.（2013·徐州中考）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1 000棵树.由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务.原计划每天种多少棵树？
【解析】设原计划每天种树x棵，
则
解得x=40.
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意.
答：原计划每天种40棵树.【知识归纳】分式方程应用的模型
等量关系涉及a=bc型.a是已知量，b,c是未知量，且这两个量又分别具有某种等量关系，常可以建立分式方程模型来解决.温馨提示：
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拓视野·真题备选
1.(2012·宜昌中考)若分式有意义，则a的取值范围是 ( )
A.a=0 B.a=1
C.a≠-1 D.a≠0
【解析】选C.要使分式有意义，则必有：a+1≠0，
所以a≠-1.
2.(2012·丽水中考)把分式方程=转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( )
A.x B.2x
C.x+4 D.x(x+4)
【解析】选D.∵该分式方程只含有两个分母(x+4)和x，且不能分解因式，∴两个分母的积x(x+4)便是最简公分母，
∴分式方程两边同乘以x(x+4)便能转化为一元一次方程.
3.(2012·宜宾中考)分式方程-=的解为 ( )
A.3 B.-3 C.无解 D.3或-3
【解析】选C.-=方程两边同时乘以(x+3)(x-3)，得12-2(x+3)=x-3，
解得x=3.检验：当x=3时，(x+3)(x-3)=0，
所以x=3不是原方程的解，原分式方程无解.
4.(2013·海南中考)今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg和9 800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程 ( )
A.= B.=
C.= D.=
【解析】选A.由甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，得乙荔枝园平均每亩收获荔枝(x+60)kg，根据题意，得=.
5.(2013·河池中考)若分式有意义，则x的取值范围是 .
【解析】∵x-1≠0，∴x≠1.
答案：x≠1
6.(2013·白银中考)若代数式-1的值为零，则x= ________.
【解析】由题意得-1=0，解得x=3，经检验，x=3是所得方程的解.
答案：3
7.(2013·齐齐哈尔中考)若关于x的分式方程=-2有非负数解，则a的取值范围是 .
【解析】分式方程=-2两边同乘以2(x-1)，
得2x=3a-4(x-1)，x=，
由于方程有非负数解，
所以≥0，a≥-，
由于x=1是分式方程的增根，
则≠1，a≠.
所以方程有非负数解，
则a的取值范围是a≥-，且a≠.
答案：a≥-且a≠
8.(2013·呼和浩特中考)化简：÷.
【解析】原式=×=.
9.(2013·连云港中考)先化简，再求值：
÷，其中m=-3，n=5.
【解析】原式=·=.
当m=-3，n=5时，原式==.
10.(2013·凉山州中考)某车队要把4000t货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变).
(1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?
(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.
【解析】(1)由nt=4000得：n=(t>0).
(2)方法一：设原计划每天运xt，得
=-1，
解得x=1 000，
经检验，x=1 000是所列分式方程的解，
也满足题意，
∴原计划完成任务的天数为=4.
答：原计划完成任务的天数是4天.
方法二：设原计划x天完成任务，得
×(1-20%)=，
解得x=4，
经检验x=4是所列分式方程的解并满足题意.
答：原计划4天完成任务.
11.(2013·重庆中考)先化简，再求值：÷，其中x是不等式3x+7>1的负整数解.
【解析】原式=·
=·
=·
=，
由3x+7>1，解得x>-2.
又∵x为负整数，∴x=-1.
当x=-1时，原式==3.
12.(2013·玉溪中考)某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?
【解析】设排球的单价为x元，
则篮球的单价为(x+30)元，
根据题意，列方程得：=.
解得x=50.
经检验，x=50是原方程的解，也满足题意.
当x=50时，x+30=80.
答：排球的单价为50元，篮球的单价为80元.
13.(2013·娄底中考)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?
(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算?
【解析】(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需2x趟，依题意得：+=1，解得：x=18，
经检验x=18是原方程的解，且满足题意.
∴2x=36.
答：甲车单独运完此堆垃圾需18趟，乙车需36趟.
(2)设甲车每趟需运费a元，则乙车每趟需运费(a-200)元，
依题意得：12a+12(a-200)=4 800，
解得：a=300，∴a-200=100，
∴单独租用甲车的费用=300×18=5 400(元)，
单独租用乙车的费用=100×36=3 600(元)，
∵5 400>3 600，∴单独租用乙车合算.
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单元评价检测(五)
第十五章
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.2014年3月4日,十二届全国人大二次会议新闻发布会召开,大会新闻发言人对民众关注度非常高的热词“雾霾”进行了解读.为了消除百姓的“心肺之患”,与雾霾的天人交战,关键在人,气象条件不利是雾霾形成的外因,污染排放加剧则是内因.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为 ( )
A.0.25×10-5 B.0.25×10-6
C.2.5×10-5 D.2.5×10-6
【解析】选D.0.0000025=2.5×10-6.
2.若分式有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≠± B.x=± C.x< D.x>
【解析】选A.分式有意义的条件是3-x2≠0,即x≠±.
3.化简:-的结果是 ( )
A.m+n B.m-n C.n-m D.-m-n
【解析】选A.-===m+n.
4.分式方程+=2的解是 ( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.无解
【解析】选C.方程两边同时乘(x-1)(x+1),得
(x+1)+2x(x-1)=2(x-1)(x+1),解得x=3.
检验:把x=3代入(x-1)(x+1)=8≠0,即x=3是原分式方程的解.
所以原分式方程的解为x=3.
5.化简:÷的结果是 ( )
A.-a B.a C. D.1
【解析】选B.÷=×=a.
6.(2013·本溪中考)某服装加工厂计划加工400套运动服,在加工完160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.设原计划每天加工x套运动服,根据题意可列方程为( )
A.+=18 B.+=18
C.+=18 D.+=18
【解题指南】首先考虑本题列方程是根据题目中的哪个等量关系,观察各个选项可以发现是根据总天数为18天构造方程,然后结合公式:工作时间=工作总量÷工作效率,即可列出方程.
【解析】选B.采用新技术前的工作时间=160÷x;采用新技术后的工作时间=(400-160)÷(1.2x);根据总时间为18天,得+=18.
7.(2013·贵港中考)关于x的分式方程=-1的解是负数,则m的取值范围是
( )
A.m>-1 B.m>-1且m≠0
C.m≥-1 D.m≥-1且m≠0
【解析】选B.=-1,x+1=-m,x=-m-1,因为方程的解是负数,因此-m-1<0,解得m>-1,m=0时,方程不能成立,所以m的取值范围是m>-1且m≠0.
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.(2014·鹤岗模拟)写出一个含有字母x的分式 (要求:不论x取任何实数,该分式都有意义).
【解析】分母中含有字母,且分母满足不为0这一限制条件.
答案:(答案不唯一)
9.分式与的最简公分母是 .
【解析】m2-3m=m(m-3),m2-9=(m+3)(m-3),所以最简公分母为m(m+3)(m-3).
答案:m(m+3)(m-3)
10.计算:-÷= .
【解析】-÷=-·==.
答案:
11.关于x的方程-=0无解,则m的值是 .
【解析】将分式方程去分母得m-1-(x+1)=0,因为方程无解,则x可能等于1或-1,当x=1时,m=3,当x=-1时,m=1.
答案:1或3
12.(2014·临沂模拟)若a1=1-,a2=1-,a3=1-,…,则a2014的值为 (用含m的代数式表示).
【解析】a1=1-,
a2=1-=1-=1-=1-=-,
a3=1-=1+=m,
a4=1-=1-,…;
2014÷3=671……1,则a2014=a1,a2014的值为1-.
答案:1-
三、解答题(共47分)
13.(10分)解方程:+=1.
【解析】方程两边同乘(x-3),
得:2-x-1=x-3,
整理解得:x=2,
经检验:x=2是原方程的解.
【知识归纳】解分式方程的三步骤
一去:利用等式的性质,将方程两边都乘以最简公分母,将方程中的分母去掉;
二解:解整式方程;
三验:将解得的整式方程的根代入原方程检验或代入最简公分母检验.
14.(11分)(2013·自贡中考)先化简÷,然后从1,,-1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值.
【解析】÷
=×
=-
=
=,
由于a≠±1,所以当a=时,原式==2.
15.(12分)描述证明
兔子在研究数学问题时发现了一个有趣的现象:
(1)请你用数学表达式补充完整兔子发现的这个有趣的现象.
(2)请你证明兔子发现的这个有趣现象.
【解析】(1)++2=ab;a+b=ab.
(2)因为++2=ab,
所以=ab,
所以a2+b2+2ab=(ab)2,
所以(a+b)2=(ab)2,
因为a>0,b>0,a+b>0,ab>0,
所以a+b=ab.
16.(14分)(2013·烟台中考)烟台享有“苹果之乡”的美誉.甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果.甲超市销售方案是:将苹果按大小分类包装销售,其中大苹果400kg,以进价的2倍价格销售,剩下的小苹果以高于进价的10%销售.乙超市销售方案是:不将苹果按大小分类,直接包装销售,价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价.若两超市将苹果全部售完,其中甲超市获利2100元(其他成本不计).
问:(1)苹果进价为每千克多少元?
(2)乙超市获利多少元?并比较哪种销售方式更合算.
【解析】(1)设苹果进价为每千克x元.
由题意,得400x+10%x=2100,
解得x=5.
经检验x=5是原方程的解,且满足题意.
答:苹果进价为每千克5元.
(2)由(1)知:每个超市苹果总量:=600(kg),大、小苹果售价分别为10元和5.5元.
∴乙超市获利:600×=1650(元).
∵甲超市获利2100>1650,
∴甲超市销售方式更合算.
【知识归纳】找等量关系的方法
1.从题中反映的基本数量关系确定等量关系.
2.紧扣几何图形的周长、面积等公式确定等量关系.
3.根据常见的数量关系确定等量关系.
4.抓住关键句子确定等量关系.
5.借助线段图确定等量关系.
6.抓住“不变量”确定等量关系.
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