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第十一章主题1 三角形的三边关系
【主题训练1】(2013·南通中考)有3cm，6cm，8cm，9cm四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【自主解答】选C.四条线段的所有组合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9；只有3，6，8和6，8，9和3，8，9能组成三角形.【主题升华】
三角形的三边关系的“三类型”
1.不等边三角形：满足两个较小边的和大于最大边.
2.等腰三角形：满足两腰的和大于底.
3.第三边：第三边大于另外两边的差，小于另外两边的和.1.(2013·梧州中考)以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是 ( )
A.2 cm，3 cm，4 cm B.2 cm，3 cm，5 cm
C.2 cm，5 cm，10 cm D.8 cm，4 cm，4 cm【解析】选A.根据三角形任意两边的和大于第三边，可知A、2+3>4，能组成三角形，故本选项正确；B、2+3=5，不能组成三角形，故本选项错误；C、2+5<10，不能组成三角形，故本选项错误；D、4+4=8，不能组成三角形，故本选项错误.2.(2013·长沙中考)如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边的长可能是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选B.设第三边长为x，则由三角形三边关系得4-2
A.2 B.3 C.4 D.8
【解析】选C.由题意，令第三边长为x，则5-3即2【解析】当3cm为腰，7cm为底时，∵3+3<7，∴不能构成三角形；当7cm为腰，3cm为底时，能构成三角形，
∴周长为7+7+3=17(cm).
答案：174.(2012·茂名中考)如图所示，建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部都是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质?答： (填“稳定性”或“不稳定性”).【解析】塔吊上部的三角形结构，运用了三角形的稳定性.
答案：稳定性主题2 与三角形有关的角
【主题训练2】(2013·黔东南州中考)在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= .
【自主解答】∵∠B-∠A=∠C-∠B，∴∠A+∠C=2∠B，
又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°.
答案：60°【备选例题】(2013·襄阳中考)如图，
在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B
=40°，∠ACD=120°，则∠A等于
( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
【解析】选C.∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°.【主题升华】
解三角形有关角的“两种思想”
1.转化思想：解决与三角形内角和有关的证明或计算时，应注意运用转化思想将已知条件转化到三角形的内部.
2.方程思想：三角形内角和与三角形外角的性质，本身就是一种等量关系，因此在求三角形有关角的度数时要注意方程思想的运用.1.(2012·梧州中考)如图，AE是△ABC
的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=
128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是( )
A.10° B.12° C.15° D.18°【解析】选A．∵AD⊥BC，∠C=36°，∴∠CAD=90°-36°
=54°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，∴∠CAE=
∠BAC= ×128°=64°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=64°-
54°=10°．2.(2013·盘锦中考)如图，将一副三角
板和一张对边平行的纸条按下列方式摆
放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 ( )
A.30° B.20° C.15° D.14°【解析】选C.如图，延长两三角板重合
的边与纸条相交，根据两直线平行，内
错角相等得∠2=30°，由三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角的和可得：∠1=∠3-∠2
=45°-30°=15°.3.(2013·河池中考)如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是 °.【解析】∵在△BOC中，∠BOC=118°，
∴∠1+∠2=180°-118°=62°.∵BO和
CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB
=2(∠1+∠2)=2×62°=124°，在△ABC
中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-124°=56°.
答案：564.(2012·河北中考)如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A等于 °.【解析】根据垂直定义知道：∠ACO=90°，再根据对顶角性质可以知道∠AOC=∠BOD=38°，∴∠A=180°-90°-38°=52°.
答案：525.(2012·湖州中考)如图，在△ABC中，
D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的
延长线上，DE∥BC，∠A=46°，∠1=
52°，则∠2= 度.
【解析】∵DE∥BC，∴∠1=∠B.
∵∠2=∠B+∠A，
∴∠2=∠1+∠A=52°+46°=98°.
答案：986.(2012·镇江中考)如图，∠1是△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，∠1=120°，则∠2的度数是 .【解析】∵∠1+∠ACB=180°，∠1=120°，∴∠ACB=60°.
又∵DE∥BC，∴∠AED=∠ACB=60°.
在△ADE中，∠A+∠2+∠AED =180°，∠A=90°，
∴∠2=180°-90°-60°=30°.
答案：30°主题3 多边形内角和公式及外角和
【主题训练3】(2013·德阳中考)已知一个多边形的每一个内
角都等于108°，则这个多边形的边数是 .
【自主解答】∵多边形的每一个内角都等于108°，∴多边形
的每一个外角都等于180°-108°=72°，∴边数n=360°÷72°
=5.
答案：5【一题多解】设这个多边形的边数是n，则
解得n=5.
答案：5【主题升华】
求多边形边数的“三种方法”
1.已知内角和,利用（n－2）·180°=内角和求解.
2.已知正多边形的每个内角,利用 =每个内角求解.
3.已知正多边形一个外角：利用 =每个外角求解.1.（2013·长沙中考）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【解析】选A．设多边形的边数是n，则（n-2）·180=360，解得n=4． 2.(2013·泰安中考)如图，五边形ABCDE
中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是
∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+
∠2+∠3等于 ( )
A.90° B.180° C.210° D.270°
【解析】选B.∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠B，∠C两角
的外角和是180°，∵五边形外角和是360°，∴∠1+∠2+∠3
=360°-180°=180°.3.(2013·莱芜中考)正十二边形每个内角的度数为 .
【解析】正十二边形的每个外角的度数是： =30°，则每
一个内角的度数是：180°-30°=150°.
答案：150°【知识归纳】求正多边形每个内角的两种方法
1.已知正多边形的边数：利用 求解.
2.先利用 求正多边形的外角，再利用内角与外角互补求内角.4.(2012·北海中考)一个多边形的每一个外角都等于18°，它是 边形.
【解析】方法一：∵一个多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数为360°÷18°=20.
方法二：设这个多边形的边数为n，则每个内角为180°-18°=162°，由题意得：180°(n-2)=162°n，化简，得18n=360，
解得：n=20.
答案：二十5.(2012·南京中考)如图，∠1，∠2，
∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角.
若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=
.【解析】由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°.
答案：300°6.(2013·连云港中考)如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= .【解题指南】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案.
【解析】作出辅助线如图：则∠2=42°，∠1=∠3，
∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，
∴∠3=180°-∠2-108°=30°，
∴∠1=∠3=30°.
答案：30°温馨提示：
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拓视野·真题备选
1.(2012·郴州中考)以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A.1 cm，2 cm，4 cm B.4 cm，6 cm，8 cm
C.5 cm，6 cm，12 cm D.2 cm，3 cm，5 cm
【解析】选B.A选项，1+2<4，故不能构成三角形；B选项，4+6>8，故能构成三角形；C选项，5+6<12，故不能构成三角形；D选项，2+3=5，故也不能组成三角形.
2.(2012·恩施中考)如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，
∠1=50°，则∠2等于 ( )
A.50° B.60°
C.65° D.90°
【解析】选C.∵AB∥CD，∴∠FEB+∠1=180°，(两直线平行，同旁内角互补).
∵∠1=50°，∴∠FEB=180°-50°=130°，
∵EG平分∠FEB，∴∠GEB=×130°=65°，∴∠2=65°.
3.(2012·来宾中考)如图，在△ABC中，已知∠A=80°，
∠B=60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是 ( )
A.40° B.60°
C.120° D.140°
【解析】选D.方法一：∵在△ABC中，∠A=80°，∠B=60°，
∴∠C=40°，
又∵DE∥BC，∴∠C+∠CED=180°，
∴∠CED=180°-40°=140°.
方法二：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°.
∴∠CED=∠A+∠ADE=80°+60°=140°.
4.(2012·南平中考)正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的边数为
( )
A.6 B.9 C.12 D.15
【解析】选C.设这个多边形的边数为n，
方法一：根据题意可得(n-2)·180°=(180°-30°)·n，解得n=12.
方法二：∵每个外角等于30°，外角和为360°，
∴边数n=360°÷30°=12.
5.(2011·来宾中考)如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是 ( )
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
【解析】选D.因外角和为360°，故该多边形的内角和为180°，因此为三角形.
6.(2013·遂宁中考)若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是 .
【解析】∵一个多边形内角和等于1260°，∴(n-2)×180°=1260°，解得，n=9.
答案：9
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单元评价检测(一)
第十一章
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.(2013·温州中考)下列各组数可能是一个三角形的边长的是 ( )
A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11
【解析】选C.A、因为1+2<4,所以本组数不能构成三角形,故本选项错误;B、因为4+5=9,所以本组数不能构成三角形,故本选项错误;C、因为4+6>8,所以本组数可以构成三角形,故本选项正确;D、因为5+5<11,所以本组数不能构成三角形,故本选项错误.
2.已知△ABC的一个外角为50°,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
【解析】选B.一个外角为50°,所以与它相邻的内角的度数为130°,所以三角形为钝角三角形.
【方法技巧】已知三角形的外角判断三角形的形状
1.三角形的外角有一个锐角,则此三角形一定是钝角三角形.
2.三角形的外角有一个直角,则此三角形一定是直角三角形.
3.三角形的外角都是钝角,则此三角形一定是锐角三角形.
3.(2013·新疆中考)等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.12 B.15 C.12或15 D.18
【解题指南】已知等腰三角形的两边求周长需要采用分类讨论的方法去思考问题.分别将3和6作为腰,看是否符合三角形三边关系.
【解析】选B.①当3为底时,其他两边都为6,3,6,6可以构成三角形,周长为15;②当3为腰时,其他两边为3和6,∵3+3=6,∴不能构成三角形,故舍去.
4.以下判断正确的是 ( )
A.在△ABC中,射线AD平分∠BAC,则AD是△ABC的角平分线
B.在△ABC中,点M是BC边上的中点,那么直线AM是△ABC的一条中线
C.在Rt△ABC中,∠C=90°,则直角边AC,BC是直角三角形的两条高线
D.任何三角形的高线的交点不可能在这个三角形的外部
【解析】选C.三角形的中线、角平分线、高线都是线段,钝角三角形的高线的延长线相交在三角形的外部.所以A,B,D选项错.C选项正确.
5.(2013·梅州中考)若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选A.设边数为n,根据题意得(n-2)·180°<360°,解得n<4.∵n为正整数,且n≥3,∴n=3.
【互动探究】若一个多边形的内角和大于其外角和,则这个多边形的边数最少是
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选C.设边数为n,根据题意得(n-2)·180°>360°,解得n>4.∵n为正整数,∴n最小取5.
6.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
【解析】选D.从图中,只能看到一个角是锐角,其他的两个角中,可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角.
7.(2013·烟台中考)一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为 ( )
A.5 B.5或6
C.5或7 D.5或6或7
【解析】选D.+2=6,原多边形的边数可能是5或6或7.
【知识归纳】剪去一个角后原多边形边数
剪去一个角有以下三种情况(以四边形为例)
第一种剪法所得的多边形比原多边形少一条边;第二种剪法与原多边形边数相等;第三种剪法比原多边形多一条边.
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.在生活中,我们常常会看到如图所示的情况,在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆,这样做的依据是 .
【解析】结合图形,为了防止电线杆倾倒,常常在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆,所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性.
答案:三角形的稳定性
9.正n边形的一个外角的度数为60°,则n的值为 .
【解析】=6.
答案:6
【变式训练】正n边形的一个内角的度数为60°,则n的值为 .
【解析】180°-60°=120°,=3.
答案:3
10.如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25cm,AB比AC长6cm,则△ACD的周长为 cm.
【解析】∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,
∴△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,∵△ABD的周长为25cm,AB比AC长6cm,∴△ACD的周长为25-6=19(cm).
答案:19
11.如图,将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠,使AD与A′D重合,A′E与AE重合,
若∠A=30°,则∠1+∠2= .
【解析】根据题意得:∠A′=∠A=30°,在△ADE和△A′DE中,∠A+∠ADE+
∠AED=180°,∠A′+∠A′DE+∠A′ED=180°,∴∠ADE+∠AED=150°,∠A′DE+
∠A′ED=150°,∵(∠1+∠A′DE+∠ADE)+(∠AED+∠A′ED+∠2)=180°+180°=
360°,∴∠1+∠2=60°.
答案:60°
12.某机器零件的横截面如图所示,按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格,一工人测得∠A=23°,∠D=31°,∠AED=143°,则该零件 (填“合格”或“不合格”).
【解析】延长AB,DC相交于F,连接FE,并延长至G.
则有(∠A+∠AFG)+(∠D+∠DFG)=∠AEG+∠DEG=∠AED=143°.∵∠A=23°,∠D=31°,∴∠AFD=∠AFG+∠DFG=∠AED-∠A-∠D=143°-23°-31°=89°≠90°.所以该零件不合格.
答案:不合格
三、解答题(共47分)
13.(10分)若△ABC三边长分别为3,1-2a,8,求a的取值范围.
【解析】由三角形三边关系定理得8-3<1-2a<8+3,即-5 14.(11分)如图,在△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.
(1)求证:∠ACD=∠B.
(2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC于E,F,求证:∠CEF=∠CFE.
【证明】(1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB于D,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B.
(2)在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF,
同理在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE.
又∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠DAE,
∴∠AED=∠CFE,又∵∠CEF=∠AED,
∴∠CEF=∠CFE.
15.(12分)在△ABC中.
(1)如图1,AB,AC边上的高CE,BD交于点O,若∠A=60°,则∠BOC= °.
(2)如图2,若∠A为钝角,请画出AB,AC边上的高CE,BD,CE,BD所在直线交于点O,则∠BAC+∠BOC= °,再用你已学过的数学知识加以说明.
【解析】(1)∵∠A=60°,BD是AC边上的高,
∴∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°.
∵CE是AB边上的高,∴∠BEO=90°,
∴∠BOC=∠ABD+∠BEO=30°+90°=120°.
(2)如图所示,
∵四边形ADOE的内角和为(4-2)×180°=360°,
又BD,CE为△ABC的高,∴∠ODC=∠OEB=90°,
∴∠DOE+∠DAE=180°,
又∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠BOC=180°.
16.(14分)看图回答问题:
(1)内角和为2005°,小明为什么说不可能?
(2)小华求的是几边形的内角和?
(3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗?是多少度呢?
【解析】(1)∵2005°不是180°的整数倍,∴小明说不可能.
(2)依题意有(x-2)·180°=2005°,解得x≈13.1389.
因而多边形的边数是13,小华求的是十三边形的内角和.
(3)十三边形的内角和是(13-2)×180°=1980°,
则错把外角当内角的那个外角的度数是2005°-1980°=25°.
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