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提技能·题组训练
三角形的内角和定理的应用
1.已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于 ( )
A.40° B.60° C.80° D.90°
【解析】选A.设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°.
【方法技巧】利用三角形的内角和求角
已知角的和、差、倍、分关系，在三角形中求角时，常用的方法是根据三角形内角和为180°列方程(组)求解.
2.(2013·重庆中考)如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为 ( )
A.40° B.35° C.50° D.45°
【解析】选A.∵AD平分∠BAC，∠BAD=70°，∴∠CAD=∠BAD=70°.又∵AB∥CD，∴∠ADC=∠BAD=70°.
又∵∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°，
∴∠ACD=180°―70°―70°=40°.
【一题多解】选A.∵AD平分∠BAC，∠BAD=70°，
∴∠CAB=140°.又∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，
∴∠ACD=180°―140°=40°.
3.(2013·丽水中考)如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20°，∠COD=
100°，则∠C的度数是 ( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
【解析】选C.∵AB∥CD，∠A=20°，∴∠D=∠A=20°.
又∵∠COD=100°，∴∠C=180°-∠D-∠COD=60°.
4.如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，
∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为 ( )
A.90° B.78° C.68° D.62°
【解析】选D.∵∠A=70°，∠ACD=20°，
∴∠ADC=90°，∵∠ABE=28°，
∴∠CFE=∠BFD=90°-∠ABE=90°-28°=62°.
5.在我们的生活中处处有数学的身影，如图折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：三角形的三个内角和等于 °.
【解析】经过折叠，三角形的三个角集中成了一个平角，其和为180°.
答案：180
【知识拓展】三角形内角和定理的证明方法
思路一：设法将三角形的三个内角拼成一个平角，为此，用辅助线构造出一个平角，再用辅助线(平行线)“移动”内角，将其集中起来，或用其他方法将其集中起来，这就是“拼角”的思路.
法1：如图，延长边BC至D处，并过顶点C作CE∥BA.
法2：如图，过顶点C作DE∥AB.
思路二：平行线的同旁内角之和为180°，那么，可以将三角形的三个内角拼成平行线的一组同旁内角.
如图，过顶点C作CD∥BA，
6.在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
【解析】设∠A=x°，则∠C=∠ABC=2x°，所以x+2x+2x=180，解得x=36，所以∠C=72°.在Rt△BDC中，∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°.
直角三角形的性质
1.(2014·临沂商城质检)直角三角形一个锐角的度数为30°，则另一个锐角的度数是 ( )
A.70° B.60° C.45° D.30°
【解析】选B.根据直角三角形的两锐角互余得另一个锐角为90°-30°=60°.
2.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为 ( )
A.75° B.60° C.65° D.55°
【解析】选A.已知，∠ADE=45°，∠F=60°，∴∠α=180°-60°-45°=75°.
3.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是
( )
A.24° B.34° C.44° D.46°
【解析】选B.两个锐角和是90°，一个直角三角形两个锐角的差为22°，设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为90°-x，得：90°-x-x=22°，得x=34°.
4.在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
【解析】选B.依据三角形的内角和定理得∠C+∠C+
∠C=180°，解得∠C=90°.
5.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为边BC和CD上的点，且AE⊥EF.
求证：∠1=∠2.
【证明】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，△ABE为直角三角形，
∴∠1+∠AEB=90°.
又AE⊥EF，∴∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2.
6.如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是边AC，AB上的高，H是BD，CE的交点，求∠BHC的度数.
【解析】∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB=∠BEH=90°，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°，
∴∠BHC=∠BEH+∠ABD=90°+30°=120°.
【互动探究】题目中∠DCH与∠EBH有怎样的数量关系?
提示：∠DCH=∠EBH.
∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB=∠BEH=90°，
∴∠ABD+∠A=∠ACE+∠A=90°.
∴∠DCH=∠EBH.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，求这个等腰三角形的顶角.
(1)错因：_________________________________________________________.
(2)纠错：_________________________________________________________
__________________________________________________________________
_________________________________________________________________
答案：(1)本题错在漏了高在等腰三角形外部的情况.
(2)高在等腰三角形内部时的情况如原解析，当高在等腰三角形外部时，如图，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°-∠ABD=90°-30°=60°，∴∠BAC=
180°-60°=120°.
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提技能·题组训练
三角形外角的性质
1.图中△ABC的外角是 ( )
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
【解析】选C.根据三角形外角的定义可知，∠3的一边是AB，另一边是CB的延长线，符合三角形外角的定义.
【知识归纳】三角形的外角
三角形的每个顶点处有两个外角，它们是一对对顶角，一个三角形共有六个外角.
2.(2013·衡阳中考)如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是 ( )
A.10° B.20°
C.30° D.80°
【解析】选C.∵∠1=100°，∠C=70°，∴∠A=∠1-∠C=100°-70°=30°.
【一题多解】选C.∵∠1=100°，∴∠CBA=180°-100°=80°.又∵∠C=70°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-80°-70°=30°.
3.(2013·荆州中考)如图，AB∥CD，∠ABE=60°，∠D=
50°，则∠E的度数为 ( )
A.30° B.20°
C.10° D.40°
【解析】选C.∵AB∥CD，∴∠CFE=∠ABE=60°.∵∠D=
50°，∴∠E=∠CFE-∠D=10°.
4.如图所示，D是△ABC边AC上的一点，E是BD上的一点，∠1，∠2，∠A之间的关系描述正确的是( )
A.∠1<∠A<∠2
B.∠2>∠1>∠A
C.∠1>∠2>∠A
D.无法确定
【解析】选B.因为∠2是△EDC的外角，所以∠2=∠1+∠DCE，∴∠2>∠1，同理：∠1>∠A，于是∠2>∠1>∠A.
5.△ABC中，∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于 .
【解析】根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即得结果.由题意得，与∠A相邻的一个外角等于∠B+∠C=117°.
答案：117°
6.如图，在△ABC中，已知∠ABC=40°，∠BCA=76°，D为BC延长线上一点，且∠1=∠D，求∠BAD的度数.
【解析】在△ABC中，∵∠ABC=40°，∠ACB=76°，
∴∠BAC=180°-40°-76°=64°.
又∵∠BCA=∠1+∠D，∠1=∠D，
∴∠1=∠D=∠BCA=38°，
∴∠BAD=∠BAC+∠1=102°.
三角形外角性质的综合应用
1.如图所示，已知AB∥CD，则 ( )
A.∠1=∠2+∠3
B.∠1=2∠2+∠3
C.∠1=2∠2-∠3
D.∠1=180°-∠2-∠3
【解析】选A.因为AB∥CD，所以∠ABD=∠3，因此∠1=∠2+∠ABD=∠2+∠3.
2.(2013·鄂州中考)一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是 ( )
A.165° B.120°
C.150° D.135°
【解析】选A.如图，∵∠2=90°-30°=60°，∴∠1=∠2-45°=15°.∴∠α=
180°-∠1=165°.
3.(2014·鞍山模拟)如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=114°，则∠3的度数为 ( )
A.26° B.34°
C.44° D.36°
【解析】选D.∵尺子的边缘是平行的，
∴∠2+∠4=180°，
又∠2=114°，∴∠4=66°，
又∠4为三角形的外角，
∴∠4=∠1+∠3，
又∠1=30°，∴∠3=66°-30°=36°.
4.如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= .
【解析】根据平行线的性质，可得∠NCP=∠A=70°.又根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠P=∠NCP-∠B=70°-40°=30°.
答案：30°
【互动探究】已知，如图，∠P=∠A-∠B，求证：MA∥NB.
【证明】∵∠P=∠A-∠B，
∴∠A=∠P+∠B.
∵∠NCP=∠P+∠B，
∴∠NCP=∠A，
∴MA∥NB.
5.两只猎豹在如图的A处发现有一只野牛离群独自在O处觅食，猎豹打算用迂回的方式，由一只先从A前进到C处，然后再折回到B处截住野牛返回牛群的去路，另一只则直接从A处扑向野牛，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°，问，猎豹从C处要转多少度才能直达B处?
【解析】∵∠BAC=40°，∠ABC=70°，
∴∠ECB=∠CBA+∠CAB=70°+40°=110°，所以猎豹从C处要转110°才能直达B处.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
在△ABC中，∠ACB=∠ABC，如果这个三角形的一个外角为110°，求∠ACB的度数.
(1)错因：__________________________________________________________.
(2)纠错：__________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
答案：(1)本题错在漏了与外角相邻的角是顶角的情况.
(2)与110°的外角相邻的内角为底角时，与错解相同，与
110°的外角相邻的角是顶角时,如图，∠DAC=110°,
∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=∠ABC=∠DAC=55°.
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课时提升作业(三)
三角形的内角
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·泉州中考)在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是 ( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
【解析】选D.∵∠A=20°,∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-20°-60°=100°,∴△ABC是钝角三角形.
【互动探究】若将∠B=60°改为∠B=70°,则三角形的形状是 .
【解析】∵∠A=20°,∠B=70°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-20°-70°=90°,∴△ABC是直角三角形.
答案:直角三角形
2.若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4,那么这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
【解析】选B.三角形的内角和是180°,因此这个三角形的三个内角分别是
180°×=40°,180°×=60°,180°×=80°,故这个三角形是锐角三角形.
3.如图,△ABC的角平分线BO,CO相交于点O,∠A=120°,则∠BOC= ( )
A.150° B.140° C.130° D.120°
【解析】选A.∵∠BAC=120°,∴∠ABC+∠ACB=60°,∵点O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点,
∴∠OBC+∠OCB=30°,∴∠BOC=150°.
【知识归纳】如图所示,△ABC的角平分线BO,CO相交于点O,则∠BOC与∠A的关系是什么?
提示:∠O=180°-∠1-∠2=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+
∠A.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2014·姜堰三中模拟)如图,∠1+∠2+∠3+∠4= .
【解析】∵∠1+∠2=180°-40°=140°,∠3+∠4=180°-40°=140°,∴∠1+
∠2+∠3+∠4=280°.
答案:280°
5.一个三角形中最多有 个内角是钝角,最多可有 个角是锐角.
【解析】如果一个三角形中出现2个或3个钝角,那么三角形的内角和就大于
180°,不符合三角形内角和是180°,所以,三角形中最多有1个钝角,一个三角形中最多有3个锐角,如锐角三角形.
答案:1 3
【知识归纳】三角形的角之最
1.最多:(1)三角形的三个角中最多有1个钝角;
(2)三角形的三个角中最多有1个直角;
(3)三角形的三个角中最多有3个锐角.
2.最少:三角形的三个角中最少有2个锐角.
6.(2013·上海中考)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .
【解析】根据定义,α=100°,β=50°,则根据三角形内角和等于180°,可得另一角为30°,因此,这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
答案:30°
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠B=54°,∠C=76°.
(1)求∠ADB和∠ADC的度数.
(2)若DE⊥AC,求∠EDC的度数.
【解析】(1)因为∠B+∠C+∠BAC=180°,又因为∠B=54°,∠C=76°,所以
∠BAC=50°.
又因为AD平分∠BAC,所以∠DAC=∠DAB=25°.所以∠ADB=180°-54°-25°=
101°,∠ADC=180°-101°=79°.
(2)因为DE⊥AC,∠DAE=25°,所以∠ADE=65°.
又因为∠ADC=79°,所以∠EDC=14°.
【变式训练】如图,在△ABC中,∠B=32°,∠C=55°,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,DF⊥AE于F,求∠ADF的度数.
【解析】∵∠B=32°,∠C=55°,∴∠BAC=93°.
∵AE平分∠BAC交BC于E,
∴∠BAE=∠BAC=46.5°,
∴∠AED=∠B+∠BAE=78.5°.
∵AD⊥BC,DF⊥AE,∴∠ADF=∠AED=78.5°.
8.(8分)如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C'处,试探求∠1,∠2与
∠C的数量关系.
【解析】∵∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE,
∴∠1+∠2=360°-2(∠CEF+∠CFE)
=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+2∠C=2∠C.
【培优训练】
9.(10分)如图1,△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E.
(1)猜测∠1与∠2的关系,并说明理由.
(2)如果∠B是钝角,如图2,(1)中的结论是否还成立?
【解析】(1)∠1=∠2.
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴△ABD和△BCE是直角三角形,
∴∠1+∠B=90°,∠2+∠B=90°,
∴∠1=∠2.
(2)结论仍然成立.
理由如下:∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠D=∠E=90°,
∴∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,
∵∠3=∠4(对顶角相等),
∴∠1=∠2.
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课时提升作业(四)
三角形的外角
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图能说明∠1>∠2的是 ( )
【解析】选C.A.∠1和∠2是对顶角,所以∠1=∠2,故本选项不符合题意;B.∠1和∠2是同位角,如果两条被截直线是平行的,则∠1=∠2,若不平行,则∠1>∠2或∠1<∠2都有可能,故本选项不符合题意;C.∠1是三角形的一个外角,所以
∠1>∠2,故本选项符合题意;D.∠1和∠2是同一个角的余角,则∠1=∠2.
【变式训练】上图中∠1=∠2的是 (填字母代号).
【解析】A.∠1和∠2是对顶角,所以∠1=∠2,故本选项符合题意;D.∠1和∠2是同一个角的余角,则∠1=∠2.
答案:A,D
2.(2013·郴州中考)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=
25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于 ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
【解析】选D.∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=90°-25°=65°.∵△CDB′由△CDB翻折而成,∴∠CB′D=∠B=65°.∵∠CB′D是△AB′D的外角,
∴∠ADB′=∠CB′D-∠A=65°-25°=40°.
3.如图,∠1,∠2,∠3,∠4恒满足的关系式是 ( )
A.∠1+∠2=∠3+∠4
B.∠1+∠2=∠4-∠3
C.∠1+∠4=∠2+∠3
D.∠1+∠4=∠2-∠3
【解析】选D.∵∠5是△ABC的外角,∴∠1+∠4=∠5.又
∵∠2是△CDF的外角,∴∠5=∠2-∠3.∴∠1+∠4=∠2-
∠3.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角,那么这个三角形是 三角形.
【解析】当三角形的一个外角等于和它相邻的内角时,这两个角的度数为90°,为直角三角形;当三角形的一个外角小于和它相邻的内角时,为钝角三角形;当三角形的任一个外角均大于和它相邻的内角时,为锐角三角形.
答案:钝角
【变式训练】如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么这个三角形的形状是 .
【解析】因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,又因为它们的和为180°,所以这个外角等于90°,与它不相邻的两个内角的和也是90°,三角形的剩余内角等于180°-90°=90°,为直角三角形.
答案:直角三角形
5.如图,已知∠1=150°,∠2=140°,那么∠3= .
【解析】∵∠1=∠5+∠6,∠2=∠4+∠6,∠3=∠4+∠5,∠1+∠2+∠3=∠5+∠6+
∠4+∠6+∠4+∠5=360°,∴∠3=360°-∠1-∠2=360°-150°-140°=70°.
答案:70°
【一题多解】∵∠1=150°,∠2=140°,∴∠4=30°,
∠5=40°,∴∠3=∠4+∠5=70°.
答案:70°
6.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC
= .
【解析】延长BD交AC于点E.
∵DA=DB=DC,
∴∠ABE=∠DAB=20°,∠ECD=∠DAC=30°.
又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°,∠BDC=∠DEC+∠ECD,∠DEC=
∠ABE+∠BAE,
∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°.
答案:100°
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=54°,AD平分∠BAC交BC于点D.
(1)求∠ADB,∠ADC的度数.
(2)若DE⊥AC于E,求∠ADE的度数.
【解析】(1)因为∠B=60°,∠C=54°,所以∠BAC=66°,因为AD平分∠BAC,所以∠DAC=∠DAB=33°,所以∠ADB=∠DAC+∠C=87°,∠ADC=∠DAB+∠B=93°.
(2)由∠DAE=33°,DE⊥AC于点E,所以∠ADE=57°.
8.(8分)一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B和∠C应分别是32°和21°,检验工人量得∠BDC=148°,就断定这个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
【解析】如图,连接AD并延长至E,
则∠CDE=∠C+∠CAD,
∠BDE=∠B+∠BAD,
所以∠BDC=∠CDE+∠BDE
=∠C+∠CAD+∠B+∠BAD=21°+32°+90°=143°≠148°,
所以这个零件不合格.
【培优训练】
9.(10分)如下几个图形是五角星和它的变形.
(1)图(1)中是一个五角星,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E.
(2)图(2)中的点A向下移到BE上时,五个角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化,说明你的结论的正确性.
(3)把图(2)中的点C向上移到BD上时,如图(3)所示,五个角的和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化,说明你的结论的正确性.
【解析】(1)如图,连接CD.在△ACD中,根据三角形内角和定理,得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.
∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3,
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.
(2)无变化.
根据平角的定义,得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°.
∵∠BAC=∠C+∠E,∠EAD=∠B+∠D,
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°.
(3)无变化.
∵∠ACB=∠CAD+∠D,∠ECD=∠B+∠E,
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°.
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