课件17张PPT。11.3
多边形及其内角和1.多边形的有关概念：
(1)多边形：在平面内，由一些线段_________相接组成的封闭
图形.
(2)内角：多边形_____两边组成的角.
(3)外角：多边形的边和它邻边的_______组成的角.
(4)对角线：连接多边形_______的两个顶点的线段.n边形从同
一顶点出发的对角线有______条.首尾顺次相邻延长线不相邻(n-3)(5)凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整
个多边形都在这条直线的_______，那么这个多边形就是凸多
边形.
(6)正多边形：各个角都_____，各条边都_____的多边形.
2.多边形的内角和公式：n边形的内角和为___________°.
3.多边形的外角和度数：多边形的外角和等于______.同一侧相等相等(n-2)·180360°【思维诊断】打“√”或“×”
1.过五边形的某一个顶点可以作2条对角线. ( )
2.多边形的每个顶点处有1个外角. ( )
3.各边都相等的多边形是正多边形. ( )
4.四边形的外角和是360°. ( )
5.十边形的外角和比三角形的外角和大. ( )√××√×知识点一 多边形的有关概念
【示范题1】十边形有 个顶点， 个内角，从一个顶点出发可画 条对角线，将这个十边形分成______个三角形，这个十边形共有 条对角线.【自主解答】十边形有10个顶点，10个内角，从一个顶点出
发可画7条对角线，将这个十边形分成8个三角形,因为
所以十边形共有35条对角线．
答案：10 10 7 8 35【想一想】
从n边形的某个顶点出发，能引多少条对角线?可以将其分成多少个三角形?
提示：从n边形的某个顶点出发，能引(n-3)条对角线；可以将其分为(n-2)个三角形.【微点拨】多边形的对角线
根据对角线的定义，对于每一个顶点都有三个点不能连接，一个是其本身，另外两个是与其相邻的两个顶点.【方法一点通】
1.n边形的对角线的总条数为 条.
2.多边形的边数、顶点数及内角的个数相等．多边形的内、外角和知识点二 多边形的内、外角和
【示范题2】已知一个多边形的内角和是外角和的 则这个多边形的边数是 .
【思路点拨】设边数是n→根据内角和与外角和的关系，列出方程→解方程求得答案.【自主解答】设这个多边形的边数是n，根据题意得
(n-2)·180°= ×360°，解得n=5，所以这个多边形
的边数是5.
答案：5【想一想】
正n边形的每个内角为多少度？每个外角为多少度？
提示：正n边形的每个内角为 每个外角为【备选例题】正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的
边数为 ( )
A.9 B.8 C.7 D.4
【解析】选B.因为正多边形的每一个内角(外角)都相等，并且
内外角互补.多边形外角和为360°.因为正多边形的一个内角
为135°，故它的每一个外角为45°.故n= =8，故选B.【方法一点通】
证明多边形内角和定理的“两种方法”
1.在n边形内任取一点，把这点与各顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角360°，即得到多边形的内角和为(n-2)·180°.
2.在n边形的一条边上取一点与各顶点相连，得(n-1)个三角形.n边形的内角和等于这(n-1)个三角形的内角和减去所取点处的一个平角，即(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°.温馨提示：
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提技能·题组训练
多边形的有关概念
1.在下列图形中，属于多边形的是 ( )
A.线段 B.角 C.五边形 D.圆
【解析】选C.根据多边形的定义，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
【知识归纳】多边形概念理解的两点说明
1.多边形是由“不在同一直线上”的线段首尾顺次相接组成的封闭图形.
2.多边形必须是“平面图形”.
2.若一个六边形的各条边都相等，当边长为3cm时，它的周长为 cm.
【解析】由于六边形的各条边都相等，则六边形的周长为边长×6.即3×6=18(cm).故这个六边形的周长为18cm.
答案：18
3.从n边形的一个顶点可引出5条对角线，则这是 边形，它共有 条对角线.
【解析】根据题意得：n-3=5，解得n=8，八边形的对角线共有==20.
答案：八 20
4.如图所示，将多边形分割成三角形，图(1)中可分割出2个三角形；图(2)中可分割出3个三角形；图(3)中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形.
【解析】图(1)三角形分割成了2个三角形；
图(2)四边形分割成了3个三角形；
图(3)五边形分割成了4个三角形；……，以此类推，n边形分割成了(n-1)个三角形.
答案：(n-1)
5.阅读材料，再画图回答问题.
多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形.图1给出了五边形的具体分割方法，分别将五边形分割成了3个、4个、5个三角形.请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并分别写出得到的三角形的个数.说出分割的三角形的个数与多边形的内角和有什么关系.
图1
图2
【解析】
按照图1的方法将图2中的六边形进行分割，得到的三角形的个数分别为4，5，6.
从多边形一顶点引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数乘以180°正好等于多边形的内角和；从多边形一边上引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数减去1，再乘以180°正好等于多边形的内角和；从多边形内一点引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数减去2，再乘以180°正好等于多边形的内角和.
多边形的内、外角和
1.(2013·资阳中考)一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )
A.正六边形 B.正八边形
C.正十边形 D.正十二边形
【解析】选C.利用多边形的外角和为360°，除以外角的度数，即可求得边数，即360÷36=10.
【知识归纳】多边形的外角
1.多边形的外角和不受边数的影响，是一个固定值360°.
2.对于正多边形，知道一个外角的度数，则边数=.
2.一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【解析】选D.设这个多边形的边数为n，则有120n=(n-2)·180，解得n=6.
【一题多解】设这个多边形的边数为n，因为正多边形的每个内角都等于120°，则每个外角都等于60°，所以n·60°=360°，解得n=6.
3.已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 .
【解析】设多边形边数为n，由题意得：180(n-2)=1080，解得：n=8.
答案：8
4.(2013·娄底中考)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 .
【解析】∵多边形的外角和是360°，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720°，根据(n-2)·180=720，得n=6，∴这个多边形是六边形.
答案：6
【知识拓展】多边形内、外角的和与方程
n边形n个内角的和等于(n-2)·180°，n个外角的和等于360°，利用其关系建立方程是求多边形的边数的一种常用的方法.从题中找到等量关系列出方程是解本类题的关键.
5.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数.
【解析】设这个多边形的边数为n，
则(n-2)×180°=360°×3-180°，解得n=7.
所以这个多边形的边数为7.
6.已知：如图，在多边形ABCDE中，AB∥CD，求图形中的x的值.
【解析】∵AB∥CD，∠C=60°，
∴∠B=180°-60°=120°，
∴(5-2)×180=x+150+125+60+120，∴x=85.
7.粗心的小马在求多边形的内角和时少算了一个角的度数，结果算出其余各角和为2760°，请你帮助他计算出少算的这个角的度数，并说明这个多边形的边数.
【解析】设这个多边形的边数为n，少算的这个内角为x，
依题意(n-2)×180°=2760°+x，
即(n-2)×180°=15×180°+(60°+x).
因为等式左边是180°的整数倍，
所以等式右边也是180°的整数倍.
又因为0°答：这个少算的角的度数为120°，这个多边形的边数为18.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
把一个多边形截去一个内角后，它的内角和为1260°，求原来这个多边形的边数.
(1)错因：___________________________________________________________
___________________________________________________________________.
(2)纠错：__________________________________________________________
答案：(1)把一个多边形截去一个内角后，所得的多边形的边数可能与原来的边数相等，也可能比原来的边数少1，还可能比原来的边数多1.
(2)解得n=9，n-1=8，n+1=10.所以原来的多边形的边数可能为8，9，10.
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课时提升作业(五)
多边形及其内角和
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,下列图形不是凸多边形的是 ( )
【解析】选C.若将AB向两方延长,这个图形有一部分在直线AB左侧,有一部分在直线AB右侧.
【知识归纳】多边形的分类
多边形有两类:一类是凸多边形,它的每个内角都小于180°,另一类是凹多边形,它的内角中至少有一个大于180°.
2.(2014·连江明智质检)如图所示,一个60°角的三角形纸片,剪去这个60°角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数为 ( )
A.120° B.180° C.240° D.300°
【解析】选C.根据三角形的内角和定理得:四边形除去∠1,∠2后的两角的度数为180°-60°=120°,则根据四边形的内角和定理得:∠1+∠2=360°-120°=240°.
3.多边形的每个内角都等于150°,则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有 ( )
A.8条 B.9条 C.10条 D.11条
【解析】选B.∵多边形的每个内角都等于150°,∴多边形的每个外角都等于
180°-150°=30°,∴边数n=360°÷30°=12,∴从此多边形的一个顶点出发可作的对角线条数为12-3=9.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.剪掉多边形的一个角,则所成的新多边形的内角和 .
【解析】n边形的内角和是(n-2)·180°,
因为剪掉一个多边形的一个角,
则所得新的多边形的边数可能增加一,可能不变,也可能减少一,因而所成的新多边形的内角和增加180°或不变或减少180°.
答案:增加180°或不变或减少180°
5.如图:小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了 m.
【解析】此多边形的每个外角均相等,每一条边都相等,由外角和为360°,得边数==24,则小亮走的总路程为24×10=240(m).
答案:240
6.由于一个多边形的外角最多能有 个钝角,因此,一个多边形的内角最多能有 个锐角.
【解析】多边形的外角和是360°,设最多有x个钝角,则90°x<360°,解得x<4,∴x最大取3,即外角最多有3个钝角.∴内角最多有3个锐角.
答案:3 3
三、解答题(共26分)
7.(8分)在一个正多边形中,一个外角的度数等于一个内角度数的,求这个正多边形的边数和它每一个内角的度数.
【解析】设这个正多边形的边数为n,
由题意得:(n-2)×180=360,解得:n=9,
故每一个内角为180°-=140°.
答:这个正多边形的边数为9,每一个内角的度数为140°.
8.(8分)四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°.
(1)如图1,若∠B=∠C,试求出∠C的度数.
(2)如图2,若∠ABC的角平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求出∠C的度数.
【解析】(1)因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠B=∠C,
所以∠B=∠C===70°.
(2)∵BE∥AD,∴∠BEC=∠D=80°,
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°.
又∵BE平分∠ABC,∴∠EBC=∠ABE=40°,
∴∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°.
【培优训练】
9.(10分)小明和小亮分别利用图①、图②的不同方法求出了五边形的内角和都是540°.请你考虑在图③中再用另外一种方法求五边形的内角和.并写出求解过程.
【解析】(答案不唯一)连接五边形的一对不相邻的顶点,得到一个三角形和一个四边形,三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,因而五边形的内角和是180°+360°=540°.
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