课件17张PPT。第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形1.全等形
(1)定义：能够_________的两个图形.
(2)特点：_____和_____完全相同.
2.全等三角形
(1)定义：能够_________的两个三角形.
(2)对应元素：
①_____的顶点叫做对应顶点.
②_____的边叫做对应边.
③_____的角叫做对应角.完全重合形状大小完全重合重合重合重合(3)表示方法：
①△ABC和△DEF全等，记作△ABC___△DEF.
②记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在_____位
置上.
(4)性质：
①全等三角形的对应边_____.
②全等三角形的对应角_____.≌对应相等相等【思维诊断】打“√”或者“×”
1.两个形状相同的图形是全等形. ( )
2.边数相同的图形一定能互相重合. ( )
3.所有的正方形都是全等形. ( )
4.全等三角形的周长相等. ( )
5.两个三角形全等时，两个三角形中最长的边是对应边.( )×××√√知识点一 找全等三角形的对应元素
【示范题1】如图所示，△ABC≌△EDA，∠BAC与∠DEA是对应角，AB与ED是对应边，写出其他对应边及对应角.【思路点拨】根据对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边，找出对应边和对应角.
【自主解答】因为∠BAC与∠DEA是对应角，
所以BC与DA是对应边.
又因为AB与ED是对应边，
所以∠ACB与∠EAD是对应角，
所以AC与EA是对应边，∠ADE与∠CBA是对应角.【想一想】
此题还有另外的方法找对应边和对应角吗?
提示：有，可以根据书写全等时，对应顶点的字母在对应位置上确定.【微点拨】寻找对应角的方法：
1.公共角、对顶角是对应角.
2.两全等三角形一对最长(短)的边所对的角是对应角.
3.两全等三角形中最大(小)的角一定是对应角.【方法一点通】
确定对应边的“三种方法”
1.若全等三角形中有公共边，则公共边是对应边.
2.若已知对应角或对应顶点，则对应角所对边或对应顶点的夹边为对应边.
3.若已知全等三角形中有最长(或最短)边，则一对最长(或最短)边是对应边.知识点二 全等三角形性质的应用
【示范题2】如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，
BF=2，求∠DFE的度数和EC的长.【思路点拨】根据三角形的内角和等于180°求出∠ACB的度数，然后根据全等三角形对应角相等即可求出∠DFE，全等三角形对应边相等可得EF=BC，然后推出EC=BF.
【自主解答】∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC，
∴EF-CF=BC-CF，即EC=BF，
∵BF=2，∴EC=2.【想一想】
示范题2中，如果添加CF=5，能求EF的长吗?
提示：能.EF=EC+CF.由△ABC≌△DEF知EF=BC=7.【备选例题】已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，求∠BAC的度数.
【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠C=∠E，∠B=∠D；
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-20°=130°.【方法一点通】
全等三角形性质的“两点应用”
1.求线段：全等三角形的对应边相等，可以直接确定对应边的数量关系，也可以间接求解相关线段的长度等.
2.求角：全等三角形的对应角相等，可以直接确定对应角的数量关系，也可以间接求解相关角的大小等.温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
提技能·题组训练
找全等三角形的对应元素
1.一个图形经过下列变换得到的图形与原图形不全等的是( )
A.平移 B.旋转 C.翻折 D.放大
【解析】选D.平移、旋转、翻折不改变图形的形状和大小，而放大就改变了图形的大小.
2.下列四组图形中，是全等图形的一组是 ( )
【解析】选C.由全等形的概念可知：A，B中的两个图形大小不同，D中的形状不同，C则完全相同.
3.若△ABC与△DEF全等，A和E，B和D分别是对应点，则下列结论错误的是
( )
A.BC=EF B.∠B=∠D
C.∠C=∠F D.AC=EF
【解析】选A.∵△ABC与△DEF全等，A和E，B和D分别是对应点，∴BC=DF，∠B=∠D，∠C=∠F，AC=EF.B，C，D是正确的，A是错误的.
4.如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后与哪个图形对应”的关系填空：A与 对应；B与 对应；C与 对应；D与 对应.
【解析】由全等形的概念可知：A是三个三角形，与M对应；B是一个三角形和两个直角梯形，与N对应；C是一个三角形和两个四边形，与Q对应；D是两个三角形和一个四边形，与P对应.
答案：M N Q P
5.如图，△ABC≌△ADE，写出其对应顶点、对应边、对应角.
【解析】根据△ABC≌△ADE的对应关系，可写出其对应顶点、对应边及对应角.
对应顶点是点A与点A，点B与点D，点C与点E；对应边是AB与AD，BC与DE，AC与AE；对应角是∠B与∠D，∠C与∠E，∠BAC与∠DAE.
全等三角形性质的应用
1.如图，已知△ABC≌△A′B′C′，则∠C的度数是 ( )
A.56° B.51° C.107° D.73°
【解题指南】求全等三角形角的度数，首先要分清全等三角形的对应角.
【解析】选D.∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠B′=51°，
在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-56°-51°=73°.
2.如图，△ACE≌△DBF，若AD=8，BC=2，则AB的长度等于 ( )
A.1 B. C.2 D.3
【解析】选D.∵△ACE≌△DBF，∴AC=DB，∴AC-BC=BD-BC，即AB=CD，∵AD=8，BC=2，∴AB=(AD-BC)=×(8-2)=3.
3.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是 ( )
A.PO B.QP C.MO D.MQ
【解析】选B.因为MN和QP是对应边，根据全等三角形的对应边相等可知，只要测出QP的长即可求得MN的长.
4.如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果AD=9 cm，DE=2.4 cm，∠BAF=60°，则AF= cm，EF= cm，∠DAE=
.
【解析】在长方形ABCD中，∠BAD=90°.
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE.
∴AF=AD=9 cm，EF=DE=2.4 cm，∠DAE=∠FAE.
又∵∠BAF=60°，
∴∠FAD=∠BAD-∠BAF=90°-60°=30°.
∴∠DAE=∠FAE=∠FAD=×30°=15°.
答案：9 2.4 15°
【知识归纳】图形折叠类问题解题要点
1.图形折叠前后的图形是全等形，所以符合全等三角形的性质，即对应边相等、对应角相等.
2.找对应边与对应角时应该从对称的角度考虑.
5.已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4cm，则△DEF的三条边中，其中一条边边长等于多少?
【解析】△ABC的周长为23cm，
BC=4cm，AB=AC，
则AB=AC==9.5(cm)，
又因为全等三角形的对应边相等，
因而△DEF的边中必有一条边等于4cm或9.5cm.
【易错提醒】全等三角形的对应边相等，因为对应边长度不确定，所以本题很容易漏掉一个解，做题时，加强注意.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图，△ABC≌△DEF，则此图中相等的线段有 ( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
(1)找错：从第____步开始出现错误.
(2)纠错：___________________________________________________
答案：(1)②
(2) 漏掉BE=FC这一对相等线段.应为4对，选D.
关闭Word文档返回原板块
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(六)
全等三角形
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列图形中与已知图形全等的是 ( )
【解析】选B.只有选项B与已知图形能完全重合,正确;其余选项都不能与已知图形重合.
2.如图,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD= ( )
A.65° B.75° C.85° D.95°
【解析】选D.∵△OAD≌△OBC,∴∠OAD=∠OBC,∵∠O=65°,∠C=20°,
∴∠OBC=180°-65°-20°=95°,∴∠OAD=95°.
3.如图所示,Rt△ABE≌Rt△ECD,点B,E,C在同一直线上,则结论:①AE=ED;②AE⊥DE;③BC=AB+CD;④AB∥DC中成立的是 ( )
A.仅① B.仅①③
C.仅①③④ D.①②③④
【解析】选D.∵Rt△ABE≌Rt△ECD,∴AE=ED,故①正确;∠AEB=∠D,又∠D+
∠DEC=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠AED=90°,
∴AE⊥DE,故②正确;
又AB=EC,BE=CD,∴BC=BE+CE=CD+AB,故③正确;∵∠B=∠C=90°,∴∠B+∠C=
180°,
∴AB∥DC,故④正确.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,如果图中的两个三角形全等,根据图中所标数据,可以推理得到∠α= .
【解析】∵两个三角形全等,长度为3的边是对应边,
∴长度为3的边对的角是对应角,∴∠α=67°.
答案:67°
5.如图,在平面直角坐标系中,△AOB≌△COD,则点D的坐标是 .
【解析】∵△AOB≌△COD,∴OD=OB,
∴点D的坐标是(-2,0).
答案:(-2,0)
6.如图,△ABC≌△EDF,AE=20,FC=10,则AF的长为 .
【解析】∵△ABC≌△EDF,∴AC=EF,
∴AC-FC=EF-FC,即AF=EC,又AE=20,FC=10,∴AF+CE=10,∴AF=5.
答案:5
【变式训练】如图,如果△ABC≌△DEF,△DEF周长是32cm,DE=9cm,EF=13cm,则AC= cm.
【解析】DF=32-DE-EF=10cm.
∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF=10cm.
答案:10
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,已知△ABD与△AEC全等,∠B和∠E是对应角,AB与AE是对应边,试说明:BC=DE.
【解析】因为△ABD与△AEC全等,并且∠B和∠E是对应角,所以AD和AC是对应边.
又因为AB与AE是对应边,
所以BD和EC是对应边,即BD=EC,
所以BD-CD=EC-CD,所以BC=DE.
【知识归纳】找对应元素常用的两种方法
1.运动角度
(1)翻转法:找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.
(2)旋转法:三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
(3)平移法:沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
2.根据位置元素来推理
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边:两个对应角所夹的边是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
【变式训练】如图,△ABC≌△DEF,求证:AD=BE.
【证明】∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE,∴AB-DB=DE-DB,∴AD=BE.
8.(8分)已知如图,有一长方形纸片ABCD,先找到长方形纸的宽DC的中点E,将∠C过E点折起任意一个角,使点C落在点C'处,折痕是EF,再将∠D过E点折起,使DE和C'E重合,折痕是GE,试求∠GEF的度数.
【解析】由题意可得△DEG≌△C'EG,△CEF≌△C'EF,
所以∠DEG=∠C'EG,∠CEF=∠C'EF.
又因为∠DEG+∠C'EG+∠CEF+∠C'EF=180°,
所以2(∠C'EG+∠C'EF)=180°,所以∠GEF=90°.
【培优训练】
9.(10分)如图,在正方形ABCD中,E是边AD上的一点,F是BA延长线上的一点,并且AF=AE,已知△ABE≌△ADF,指出线段BE与DF之间的关系,并说明理由.
【解析】线段BE与DF之间的关系为BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:
如图,延长BE交DF于点G.
∵△ABE≌△ADF,
∴BE=DF,∠ABE=∠ADF.
在Rt△ADF中,
∠ADF+∠F=90°,
∴∠F+∠FBG=90°,
可得出∠FGB=180°-(∠F+∠FBG)=90°,
即BE⊥DF.
【易错提醒】只探索BE=DF,易漏掉BE⊥DF.
关闭Word文档返回原板块
