课件21张PPT。12.3
角的平分线的性质1.角的平分线的性质和判定：
(1)角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离
_____.
应用格式：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴______.相等PD=PE(2)角的平分线的判定：角的内部到角的两边_________的点在
角的平分线上.
应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，______.∴OC平分∠AOB.
2.证明几何命题的一般步骤：
(1)明确命题中的已知和求证.
(2)根据题意画出图形，并用_____表示已知和求证.
(3)经过分析，找出由已知推出要证的_____的途径，写出证明
过程.距离相等PD=PE符号结论3.三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于
___点，它到_______________.
三角形内，到三边距离相等的点是___________________.一三边的距离相等三条角平分线的交点【思维诊断】打“√”或“×”
1.三角形两个角的平分线的交点在三角形内. ( )
2.三角形的三条角平分线交于一点. ( )
3.三角形两个角的平分线的交点到三个顶点的距离相等.( )
4.三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等. ( )
5.AD为△ABC的角平分线，则AD上任一点到点B和点C的距离相
等. ( )√√×√×知识点一 角平分线的性质
【示范题1】(2013·丽水中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,
∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△DBC的面积
是 .【解题探究】1.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如何作辅助线，才能利用角平分线的性质?
提示：过点D作DE⊥BC于点E，则AD=DE.
2.已知BC=10，求△DBC的面积时如何求△DBC底边上的高，这条高是点D到∠ABC两边的距离吗?
提示：点D到∠ABC两边的距离正是△DBC底边上的高，使用三角形的面积公式可得到答案.【尝试解答】作DE⊥BC，
由BD是∠ABC的平分线，BA⊥AD，
故DE=AD=3，
∴△DBC的面积= ×10×3=15.
答案：15【想一想】
角平分线上的点到两边的距离相等，能理解成角平分线上的点到角的两边任意点连线的长度相等吗?
提示：不能.如图，已知BP是角的平分线，那么不能理解成PD=PE.【微点拨】
已知条件BD是∠ABC的平分线，BA⊥AD，根据角平分线性质，作DE⊥BC，得DE=AD.有时角平分线上的点到两边的距离在题干中不一定出现垂直，但常利用直角得出垂直，遇到这种情况，通常作出另一条边的垂线，应用角平分线的性质解决问题.【备选例题】如图，点P为∠ABC平分线上的一点，D点和E点分别在AB和BC上，且PD=PE，试探究∠BDP与∠BEP的数量关系，并给予证明.【解析】∠BDP+∠BEP=180°.
理由：过P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
由角平分线性质，得PM=PN，在Rt△DPM和Rt△EPN中
∴Rt△DPM≌Rt△EPN(HL)，∠ADP=∠BEP，
又∠BDP+∠ADP=180°，∴∠BDP+∠BEP=180°.【方法一点通】角平分线图形结构中的“两种数量关系”
如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F，可以得到以下结论：
(1)角之间的相等关系
∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF；
∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP；
∠DPO=∠EPO=∠ODF
=∠OEF.
(2)线段的相等关系
OD=OE，DP=EP，DF=EF.知识点二 角平分线的判定
【示范题2】如图，在四边形ABCD中，∠ADC
+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD交AD的延长
线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
【思路点拨】证∠ABC=∠CDE，∠CFB=∠CED→△CFB≌△CED→CF=CE→结论【自主解答】∵∠ADC+∠ABC=180°，
又∵∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠ABC=∠CDE.
∵CF⊥AB，CE⊥AD，
∴∠CFB=∠CED=90°.
在Rt△CFB和Rt△CED中，
∴△CFB≌△CED(AAS)，
∴CF=CE,
∴AC平分∠BAD.【想一想】
“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这句话能不能去掉“角的内部”这个条件?
提示：不能.如图，点P到OA的距离PE，到OB的距离PD，且PE=PD，但点P不在∠AOB的平分线上.【方法一点通】
证明角平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角平分线的定义.
(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.温馨提示：
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提技能·题组训练
角平分线的性质
1.如图，∠POB=∠POA，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，下列结论错误的是( )
A.PD=PE B.OD=OE
C.∠DPO=∠EPO D.PD=OD
【解析】选D.选项A，B，C都正确，选项D，根据已知不能推出PD=OD，错误.
2.如图，∠C=∠D=90°，若∠DAB的角平分线AE交CD于点E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的长的大小关系是 ( )
A.AB>AD+BC B.AB=AD+BC
C.AB
【解析】选B.过点E作EF⊥AB于F，
∵BE，AE分别为∠ABC和∠DAB的角平分线，∠C=∠D=
90°，∴EC=EF=ED，∴△BCE≌△BFE，△AEF≌△AED，
∴BC=BF，AF=AD，∴AB=AF+BF=AD+BC.
【变式训练】在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是 ( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
【解析】选A.过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE=EB=EF，
又∠B=90°，且AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF.
又∵∠CED=35°，∠C=90°，
∴∠CDE=90°-35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，
∴∠EAB=35°.
3.如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=4，∠1=∠2，则点C到AE的距离是 .
【解析】∵∠1=∠2，∴AC是∠EAB的平分线，
∵∠B=90°，BC=4，∴点C到直线AE的距离为4.
答案：4
【易错提醒】角平分线上的点到角两边的距离相等，指的是到两边的垂线段的长度相等，所以点C到AE的距离等于BC的长度.
4.如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长.
【解题指南】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到BC的距离等于DE，然后根据△ABC的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解.
【解析】∵BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E，
∴点D到BC的距离等于DE的长度，∵AB=18，BC=12，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=×18·DE+×12·DE=DE(18+12)=15·DE，∵△ABC的面积等于90，
∴15·DE=90，解得DE=6.
【易错提醒】运用角平分线的性质的注意事项
(1)距离指的是点到角的两边垂线段的长.
(2)性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再证三角形全等.
(3)使用该性质的前提条件是图中有角平分线、有垂直.
角平分线的判定
1.如图所示，OB与OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，那么∠BAO与∠CAO的大小关系为 ( )
A.∠BAO>∠CAO B.∠BAO=∠CAO
C.∠BAO<∠CAO D.不确定
【解析】选B.∵OB与OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，∴点O到AB，BC，AC的距离相等，
∴点O也在∠BAC的平分线上，∴∠BAO=∠CAO.
2.如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在 ( )
A.在AC，BC两边高线的交点处
B.在AC，BC两边中线的交点处
C.在∠A，∠B两内角平分线的交点处
D.在AC，BC两边垂直平分线的交点处
【解析】选C.到三角形两条边的距离相等的点在这两边的夹角的平分线上，所以到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点.集贸市场应建在∠A，∠B两内角平分线的交点处.
【变式训练】某地为了发展旅游业，要在三条公路上修建一个度假村，使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址地点共有 ( )
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
【解析】选D.如图，度假村在三角形内部时，为三角形的内心，只有1个，在外部时，为外角平分线的交点，共有3个，所以，这个度假村的选址地点共有P1，P2，P3，P44处.
【方法技巧】有关到线段距离相等的点的位置确定方法
1.当点指定在三角形内部时，只要作出内角的平分线的交点即可.
2.在点没有指定在三角形内部时，要注意画出内角平分线的交点和外角平分线的交点，这时交点有多个.
3.如图，P在∠AOB的内部，PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，PD=PC，当∠AOP=
(2x-10)°，∠BOP=(x+5)°时，∠AOB= .
【解题指南】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得∠AOP=∠BOP，然后列出方程求出x，从而得到∠AOP，∠BOP，再根据∠AOB=∠AOP+∠BOP计算即可得解.
【解析】∵PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，PD=PC，
∴∠AOP=∠BOP，∴2x-10=x+5，
解得x=15，∴∠AOP=∠BOP=20°，
∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=20°+20°=40°.
答案：40°
4.(2014·沈阳模拟)如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE= .
【解析】过点E作EF⊥BD于点F，
作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H.
∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，
∴AE是∠CAH的平分线，
∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，
∴∠CAE=∠CAH=55°.
答案：55°
5.如图，△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线.
求证：点P在∠A的平分线上.
【证明】过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC，垂足分别为M，N，Q.
∵点P在∠ABC的外角∠CBM的平分线上，
∴PM=PQ.
∵点P在∠ACB的外角∠BCN的平分线上，
∴PN=PQ，∴PM=PN，而PM⊥AB，PN⊥AC，
∴点P在∠A的平分线上.
【易错提醒】应用角的平分线的性质不要只看到内角平分线上的点具有到角的两边距离相等的性质，外角平分线同时也具有到角的两边的距离相等的性质，在应用时需要注意.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知：如图所示，BF与CE相交于D，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E.求证：点D在∠BAC的平分线上.
(1)找错：第____步出现错误.
(2)纠错：____________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
答案：(1)①
(2)∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE=DF，
∴点D在∠BAC的平分线上.
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课时提升作业(十一)
角的平分线的性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,在直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,点D的坐标是(0,-3),那么点D到AB的距离是 ( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2
【解析】选A.如图,∵点D的坐标是(0,-3),∴OD=3,过点D作DE⊥AB于E,∵AD是∠OAB的平分线,∴DE=OD=3,即点D到AB的距离是3.
【易错提醒】点到直线的距离,不是图中的线段BD的长,应该是点D到AB的垂线段DE的长.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E.若△ADE的周长为8cm,则AB的长为 ( )
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
【解析】选B.∠C=90°,
BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E,
利用角平分线的性质,可知CD=DE,
可知△CDB≌△EDB.
∵△ADE的周长为8cm,即AD+AE+DE=8(cm).
∵∠C=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∴AE=DE,
∴AD+2CD=8(cm)=AC+CD,
∴AB=BE+AE=AC+CD=8(cm),故选B.
3.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA三条角平分线的交点.上述结论中,正确结论的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.由角平分线的判定定理,可得①②③④都正确.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·长沙中考)如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为 cm.
【解析】过点P作PF⊥BC于点F,根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”知PF=PE=4cm,即点P到边BC的距离为4cm.
答案:4
5.(2013·泉州中考)如图,∠AOB =70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,
则∠AOQ= °.
【解析】∵QC⊥OA,QD⊥OB,QC = QD,∴点Q在∠AOB的平分线上,∴∠AOQ=∠AOB,
∵∠AOB =70°,∴∠AOQ =35°.
答案:35
6.如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为 .
【解题指南】本题求AD与BC间的距离,应该由点P作PM⊥AD,PN⊥BC.垂足分别为M,N,因为P点分别在∠ABC和∠BAD的平分线上,所以PN=PM=PE,则AD与BC之间的距离可以求出.
【解析】过P点作PM⊥AD于M,PN⊥BC于N,则M,N,P三点共线.∵BP平分∠ABC,AP平分∠BAD,PE⊥AB于点E,PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,
∴PN=PE=PM(角平分线上的点到角两边的距离相等).
∵PE=2,∴PM=PN=2.∴MN=4.
答案:4
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,已知在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:PM=PN.
【解题指南】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可.
【证明】∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.
8.(8分)如图,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E,EF⊥AB于F,EG⊥AC交AC的延长线于G,求证:BF=CG.
【证明】连接EB和EC,
∵AE为∠BAC的平分线,
EG⊥AC,EF⊥AB.∴EG=EF.
又D为BC中点,∴BD=CD.
∵DE⊥BC,
∴∠BDE=∠CDE=90°.
在△EDB和△EDC中,
∴△EDB≌△EDC(SAS).∴BE=CE.
在Rt△EBF和Rt△ECG中,
∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL).∴BF=CG.
【方法技巧】角平分线的三种作辅助线的方法
1.在角的两边上截相等线段与角平分线上的点连接构造全等三角形.
2.过角平分线上的一点向角两边作垂线.
3.过角平分线上的一点作角平分线的垂线与角两边相交构造全等三角形.
【培优训练】
9.(10分)已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA,OB相交于点D,E.
(1)如图1,当CD⊥OA于D,CE⊥OB于E时,求证:CD=CE.
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2这种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.
【解析】(1)∵OM是∠AOB的平分线,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,∴CD=CE.
(2)上述结论仍然成立.理由如下:
过点C分别作CK⊥OA,垂足为K,CH⊥OB,垂足为H.
∵OM为∠AOB的平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB,
∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°,
又∵∠1与∠2都为旋转角,
∴∠1=∠2,
在△CKD和△CHE中,
∴△CKD≌△CHE(ASA),
∴CD=CE.
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