课件22张PPT。第十三章 轴 对 称
13.1 轴 对 称
13.1.1 轴 对 称1.成轴对称：(1)定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，
如果它能够与另一个图形_____，那么就说这两个图形关于
这条直线_________.这条直线叫做_______，折叠后重合的
点是_______，叫做对称点.
(2)性质：成轴对称的两个图形的关系是：_____.
(3)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.重合成轴对称对称轴对应点全等2.轴对称图形：(1)定义：如果一个平面图形沿一条直线折
叠，直线_____的部分能够互相_____，这个图形就叫轴对称
图形，这条直线就是它的_______.
(2)性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线
段的___________.
3.线段的垂直平分线：经过线段_____并且_______这条线段的直线.两旁重合对称轴垂直平分线中点垂直于【思维诊断】打“√”或“×”
1.成轴对称的两个图形全等. ( )
2.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两
个图形全等且对称. ( )
3.轴对称图形的对称轴可能不止一条. ( )
4.圆的直径就是它的对称轴. ( )
5.两个全等三角形一定成轴对称. ( )√√√××知识点一 轴对称图形的识别
【示范题1】指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴.【思路点拨】尝试找到一条直线→沿该直线对折→直线两旁的部分能够互相重合.【自主解答】轴对称图形有等边三角形、等腰梯形、正方形、扇形、正五边形.对称轴如图：【想一想】
扇形的对称轴能说成是扇形的顶角的平分线吗?
提示：不能.轴对称图形的对称轴是直线，不是线段或射线.【微点拨】识别轴对称图形常用操作法，看能否找到一条直线，把图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，若能找到一条直线，则是轴对称图形；若不能找到一条直线，则不是轴对称图形.【备选例题】在下面由阴影组成的图案中，是轴对称图形的图案是( )【解析】选D.根据轴对称图形的定义可得D是轴对称图形.【方法一点通】
1.判断轴对称图形的两个条件
(1)存在直线(对称轴).
(2)沿此直线对折，直线两旁的部分能够互相重合.
2.正多边形的对称轴两个特点
(1)条数与正多边形的边数相同.
(2)对称轴都经过正多边形的中心.知识点二 判断两个图形成轴对称
【示范题2】如图表示把长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况，是否存在关于某条直线成轴对称的两个三角形?如果存在，请分别指出来，并指出它们的对称轴及对称点.【思路点拨】先找出所有的三角形，再看能否找到一条直线，使两个三角形中的对应点关于这条直线对称，进而确定关于这条直线成轴对称图形、对称轴及对称点.
【自主解答】图中存在2对关于某条直线成轴对称的三角形，△ABD和△CDB成轴对称，△ABE和△CDE成轴对称，其中点A和点C，点B和点D是对称点，它们的对称轴都是过点E且与BD垂直的直线.【想一想】
两个图形成轴对称，如果将这两个图形看成一个图形，它的对称轴的条数只有一条吗?
提示：不一定.【微点拨】轴对称图形与成轴对称的区别与联系【方法一点通】
寻找成轴对称的图形应注意的“三个问题”
1.是否存在两个图形.
2.是否能够存在一条直线.
3.两个图形沿该直线折叠后能否重合.知识点三 轴对称的性质及应用
【示范题3】如图，四边形ABCD与四边形EBCF关于边BC所在的直线对称，若∠ABE=110°，则∠F等于 ( )
A.60° B.55° C.45° D.35° 【教你解题】选B.【想一想】
利用轴对称的性质证明线段相等时还要证明三角形全等吗?
提示：不需要证明三角形全等，直接使用性质即可.【方法一点通】
轴对称性质应用“三个关键”
1.熟记性质：要熟记轴对称图形及轴对称的性质.
2.准确找点：根据题目条件和图形特征，准确地找出图中的对称点.
3.确立对应：确定对应线段，对应角.课件20张PPT。13.1.2
线段的垂直平分线的性质1.线段垂直平分线的性质与判定：
(1)性质：线段垂直平分线上的点与
这条线段两个端点的距离_____.
应用格式：如图用符号语言表示为：∵l⊥AB，CA=CB，
∴___=___.相等PAPB(2)判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的_____________.
应用格式：如图：用符号语言表示为：∵PA=PB，
∴______________________.垂直平分线上点P在AB的垂直平分线上2.线段垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看成
到___________________的所有点的集合.线段两端点距离相等3.已知线段AB垂直平分线的作图步骤：
(1)分别以点_____为圆心，以____________
为半径作弧，两弧相交于C，D两点.
(2)作直线___即为所求的直线.A，BCD【思维诊断】打“√”或“×”
1.点A和点B成轴对称，其对称轴就是线段AB的垂直平分
线. ( )
2.若PC=PD，那么点P在线段CD的垂直平分线上. ( )
3.在同一平面内，若PA=PB，MA=MB，则直线MP就是线段AB的
垂直平分线. ( )
4.若PA=PB，那么过点P的直线就是线段AB的垂直平分
线. ( )
5.可以用线段垂直平分线的尺规作图找出线段的中点.( )√√√×√知识点一 线段的垂直平分线
【示范题1】(2013·临沂中考)如图，
四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足
为E，下列结论不一定成立的是( )
A.AB=AD B.AC平分∠BCD
C.AB=BD D.△BEC≌△DEC【思路点拨】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可得AB=AD，BC=CD，再根据全等三角形的性质可得AC平分∠BCD，进而可证明△BEC≌△DEC.
【自主解答】选C.∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，
∴△ABD，△BCD是等腰三角形，
∴AC平分∠BCD，
再应用“SAS”判定△BEC≌△DEC，
∴选项A，B，D正确.【想一想】
利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质都可以证明线段相等吗?
提示：可以.它们都是证线段相等常用的方法.【微点拨】利用线段的垂直平分线的性质可以证明两线段相等，在证明相等时只需直线满足垂直、平分线段即可得到到两端点的距离相等，不用再通过证三角形全等去证明线段相等.【备选例题】(2014·建邺区一模)两组邻
边分别相等的四边形我们称它为筝形.
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，
AC与BD相交于点O，下列判断正确的有
(填序号).
①AC⊥BD；②AC，BD互相平分；③AC平分∠BCD；
④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为 AC·BD.【解析】∵在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD.故③正确；
∵AC平分∠BAD，∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，
∴AC，BD互相垂直，但不平分.故①正确，②错误；
④没有条件证明，不正确，∵AC，BD互相垂直，
∴筝形ABCD的面积为： AC·BO+ AC·OD= AC·BD.
⑤正确；正确的说法是①③⑤.
答案：①③⑤【方法一点通】
线段垂直平分线的性质和判定的“三点应用”
1.使用性质可以证明线段相等.
2.使用判定能够证明垂直关系.
3.利用线段垂直平分线的判定可以得出作一条线段的垂直平分线的方法.知识点二 作对称轴
【示范题2】如图，△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，请你作出它们的对称轴.【教你解题】【想一想】
任意形状的一个图形能作对称轴吗?
任意形状的两个图形能作对称轴吗?
提示：只有轴对称图形和成轴对称的两个图形才能作出对称轴，其余图形都不能.【方法一点通】
作对称轴的“三字诀”
1.找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键点都是找出图形中的任意一对对应点.
2.连：连接这对对应点.
3.作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是这两个成轴对称的图形或这个轴对称图形的一条对称轴.温馨提示：
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提技能·题组训练
轴对称图形的识别
1.(2013·咸宁中考)下列学习用具中，不是轴对称图形的是( )
【解析】选C.A是直尺，可看成矩形，是轴对称图形；B是一个角为45°的三角板，可看成等腰直角三角形，是轴对称图形；C是一个角为30°的三角板，可看成有一个角为30°的直角三角形，不是轴对称图形；D是量角器，可看成半圆，是轴对称图形.故选C.
2.(2014·海珠区一模)下列交通标志中，是轴对称图形的是( )
【解析】选D.判断是轴对称图形的关键是寻找一条直线使图形两旁的部分重合，A，B，C选项中的图形都无法找到这样一条直线，所以不是轴对称图形，选项D可以.
3.(2013·株洲中考)下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是 ( )
A.等边三角形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
【解析】选D.A、等边三角形有3条对称轴；B、矩形有2条对称轴；C、菱形有2条对称轴；D、正方形有4条对称轴.
【变式训练】下面四个图形中，对称轴的总条数是 ( )
A.6 B.10 C.12 D.13
【解析】选C.第一、二个图形的对称轴各有1条，第三个图形有4条，第四个图形有6条，故选C.
4.26个英文字母中，有很多都具有轴对称结构，请你写出其中具有轴对称结构的字母(至少3个).
【解析】答案不唯一，如：A，B，C.
5.找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来.
【解析】所画对称轴如图所示：
【知识归纳】几种常见几何图形的对称轴
1.角：角平分线所在的直线就是角的对称轴.
2.扇形：弧的中点与扇形所在圆的圆心所在的直线为对称轴.
3.正方形：对角线所在直线及正方形对边中点所在直线为对称轴.
4.圆：每一条直径所在的直线是圆的对称轴.
注意：轴对称图形的对称轴是直线，不是线段.
判断两个图形成轴对称
1.如图所示的图形中成轴对称的是 ( )
【解题指南】关键是掌握沿直线对折，直线两旁的部分能完全重合.
【解析】选C.根据轴对称图形的定义可得C选项中1成轴对称.
2.下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是 ( )
【解析】选C.判断成轴对称的关键是寻找对称轴，A，B，D选项中的图形都无法找到这样一条直线，沿该直线折叠，直线两侧的部分能完全重合，所以不是轴对称.
【变式训练】下列选项中右边图形与左边图形成轴对称的是 ( )
【解析】选D.根据轴对称图形的定义可知选项D正确.
3.每组的两个图形中成轴对称的是 .
【解析】通过观察可以发现，只有④中存在一条直线，此图形沿该直线折叠，直线两旁的部分能重合.
答案：④
4.观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 (只写序号①、②等).
【解析】③中的伞把不对称，①②④中的图形成轴对称.
答案：①②④
【知识归纳】轴对称的定义包含两层含义：
(1)有两个图形，且这两个图形折叠后与原来的图形完全重合，即形状和大小完全相等.
(2)对重合的方式有限制，也就是它们的位置关系必须满足，把其中一个图形沿着一条直线对折后能够与另外一个图形重合.
5.在同一平面内，△ABC与△A1B1C1关于直线m对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线n对称，且有m∥n，则△ABC可以通过两次轴对称变换直接得到△A2B2C2，则
△A2B2C2能看作由△ABC平移变换得到的吗?
【解析】可以.如图所示，从△ABC到△A2B2C2有两次轴对称变化，且m∥n，∴可以看作通过平移得到.
6.如图，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗?实际中这个算式是什么?(写出即可)
【解析】是正确的.根据镜面对称的性质得出，实际数据为：151+25+12=188，所以正确.
【易错提醒】镜子中的数字并不是实际数字，要根据对称的性质找到实际数据求解.做题时，学生要注意找实际数字.
轴对称的性质及应用
1.(2013·柳州中考)如图是经过轴对称变换后所得到的图形，与原图形相
比 ( )
A.形状没有改变，大小没有改变
B.形状没有改变，大小有改变
C.形状有改变，大小没有改变
D.形状有改变，大小有改变
【解析】选A.根据轴对称的性质，轴对称变换后所得到的图形与原图形全等.所以选A.
2.如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等.黑球放在如图所示
的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号
是 ( )
A.① B.② C.⑤ D.⑥
【解析】选A.根据轴对称的性质，台球走过的路径如图所示.
3.(2014·玄武区一模)如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是 ( )
A.AC=A′C′ B.AB∥B′C′
C.AA′⊥MN D.BO=B′O
【解析】选B.∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC=A′C′，AA′⊥MN，BO=B′O，故A，C，D选项正确，
AB∥B′C′不一定成立，故B选项错误.
4.如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“1”的图形，将纸片展开，得到的图形是 ( )
【解析】选D.根据折叠和轴对称的性质，从折叠的方向和剪去一个三角形的位置看，放开后是位于中间的正方形，故要在B，D两项中选择；从剪去的形如“1”的图形的箭头判断D选项正确.
【知识拓展】关于对称的三个性质
(1)轴对称图形(关于某条直线对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等.
(2)成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等.
(3)成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点一定在对称轴上，若不相交，则与对称轴平行.
5.如图，已知由四个边长为1的小正方形组成的长方形，图中阴影部分的面积是 .
【解析】由图形可知该图形是轴对称图形，阴影部分的面积正好等于两个小正方形的面积，故阴影部分的面积为2.
答案：2
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
两个大小不等的圆组成一个轴对称图形，对称轴有几条?
(1)找错：从第___步开始出现错误.
(2)纠错：_________________________________________________________
__________________________________________
答案： (1)①
(2)图形有如下两种情况，
图形如上面位置时(圆心不同)，轴对称图形只有一条对称轴，
图形如上面位置时(圆心相同)，轴对称图形有无数条对称轴.
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提技能·题组训练
线段的垂直平分线
1.如图所示，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边形ACBD的周长是 ( )
A.3.9 cm B.7.8 cm
C.4 cm D.4.6 cm
【解析】选B.∵CD垂直平分线段BA，
∴AD=BD=2.3cm，BC=AC=1.6cm，
∴四边形ACBD的周长=AD+BD+BC+AC=7.8cm.
2.(2014·滨城区二模)如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB∶∠CAE=3∶1，则∠C等于 ( )
A.28° B.25° C.22.5° D.20°
【解析】选A.设∠CAE=x，则∠EAB=3x.
∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，
∴AE=CE.∴△AED≌△CED，∴∠C=∠CAE=x.
根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°-∠B，
即x+4x=140°，x=28°.则∠C=28°.
3.如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于 ( )
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
【解析】选C.∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE=BE.
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18cm.
又∵BC=8cm，∴AC=10cm.
【变式训练】如图，在△ABC中，DE为AC边的垂直平分线，AB=12cm，BC=10cm，则△ABE的周长为 ( )
A.22 cm B.16 cm
C.26 cm D.25 cm
【解析】选A.∵DE为AC边的垂直平分线，
∴AE=EC，∵AB=12cm，BC=10cm，
∴△ABE的周长为AE+BE+AB=AB+BC=22cm.
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC=AD.
(2)AB=BC+AD.
【证明】(1)因为AD∥BC(已知)，
所以∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等)，
因为E是CD的中点(已知)，所以DE=EC(中点的定义).
因为在△ADE与△FCE中，
所以△ADE≌△FCE(ASA)，所以FC=AD(全等三角形的性质).
(2)因为△ADE≌△FCE，
所以AE=EF(全等三角形的对应边相等)，
所以BE是线段AF的垂直平分线，
所以AB=BF=BC+CF，因为AD=CF(已证)，
所以AB=BC+AD(等量代换).
【易错提醒】运用线段垂直平分线的性质求线段相等时，该点一定在这条线段的垂直平分线上.
5.已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，
求证：∠B=∠E.
【解题指南】因为AF是CD的垂直平分线，连接AC，AD，则根据线段垂直平分线的性质得AC=AD，进而证得△ABC≌△AED，可得∠B=∠E.
【证明】连接AC，AD，
∵AF是CD的垂直平分线，
∴AC=AD.
又AB=AE，BC=ED，
∴△ABC≌△AED(SSS).
∴∠B=∠E.
【变式训练】如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，DM是AB的垂直平分线.证明：∠E=∠C.
【证明】如图，连接AD，BD.
∵DM是AB的垂直平分线(已知)，
∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
在△ADE与△DBC中，
∴△ADE≌△DBC(SSS)，
∴∠E=∠C(全等三角形的对应角相等).
【知识归纳】线段垂直平分线性质与判定应用两原则
(1)线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一，在应用时要注意分清条件与结论，防止混淆.
(2)线段垂直平分线的图形结构中，含有全等三角形，但在应用时，一般情况下不要用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加麻烦.
作对称轴
1.分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是 ( )
【解题指南】关键是掌握沿直线对折，直线两旁的部分能完全重合.
【解析】选C.根据轴对称的定义可得C沿l对折不能重合.
2.如图所示的虚线中，是该图形对称轴的是 ( )
A.直线a与直线b
B.直线a与直线c
C.直线a与直线d
D.直线a，b，c，d
【解析】选B.对称轴满足两边的图形重合，故选B.
3.如图所示的图案，它有 条对称轴.
【解析】共有三条对称轴.
答案：三
4.如图方格中，有两个图形.
(1)画出图形(1)向右平移7个单位的图形a.
(2)画出图形a关于直线AB的轴对称图形b.
(3)将图形b与图形(2)看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴的条数.
【解析】(1)(2)所作图形如下：
(3)由图知，共2条.
5.利用图形中的对称点，画出图形的对称轴.
【解析】
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图，直线CP是AB的垂直平分线且交AB于P，某人想在AB上取两点D，E，使得AD=DC，CE=EB，说明他应该如何做，并画出图形.
(1)找错：从第___步开始出现错误.
(2)纠错：__________________________________________________________
答案：(1)①
(2)作AC，BC的垂直平分线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求.
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课时提升作业(十三)
线段的垂直平分线的性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2014·石景山区二模)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为 ( )
A.18cm B.22cm
C.24cm D.26cm
【解题指南】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出△ABD的周长=AB+BC,再求出AC的长,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.
【解析】选B.∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,
∵AE=4cm,∴AC=2AE=2×4=8(cm),
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22(cm).
2.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为 ( )
A.7 B.14 C.17 D.20
【解析】选C.由题意中的作图步骤可知直线MN是线段AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以△ABC的周长为AC+CD+BD+AB=AC+CD+AD+AB=10+7=17.
【变式训练】(2014·德惠一模)如图,△ABC中,AB=6,AC=4,分别以点B和点C为圆心,以大于BC一半的长为半径画弧,两弧相交于点M和N,作直线MN.直线MN交AB于点D,连接CD,则△ADC的周长为 .
【解析】∵分别以点B和点C为圆心,以大于BC一半的长为半径画弧,两弧相交于点M和N,作直线MN.直线MN交AB于点D,连接CD,∴直线MN是线段BC的垂直平分线,∴BD=CD,∴BD+AD=CD+AD=AB,∵AB=6,AC=4,∴△ADC的周长=(CD+AD)+AC=AB+AC=6+4=10.
答案:10
【归纳整合】线段垂直平分线的性质与判定的应用
性质的应用
判定的应用
(1)证明两条线段相等,三角形是等腰
三角形.
(2)证明对应的角相等.
(3)确定轴对称图形的对称轴
(1)判定点(中点)在直线(垂直平
分线)上.
(2)判定直线(垂直平分线)经过某
点(中点).
(3)判定两直线的位置关系:互相
垂直
3.(2014·黄浦一模)如图,地图上A地位于B地的正北方,C地位于B地的北偏东50°方向,且C地到A地、B地的距离相等,那么C地位于A地的 ( )
A.南偏东50°方向 B.北偏西50°方向
C.南偏东40°方向 D.北偏西40°方向
【解析】选A.∵A地位于B地的正北方,C地位于B地的北偏东50°方向,
∴∠ABC=50°,
∵C地到A地、B地的距离相等,
∴点C在线段AB的垂直平分线上,CA=CB,
根据轴对称图形的对称性,得∠BAC=∠ABC=50°,
∴C地位于A地的南偏东50°.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,因为MN⊥AB,MO=NO,所以 是 的垂直平分线.
【解析】∵MN⊥AB,MO=NO,∴线段MN被AB垂直平分,∴AB是MN的垂直平分线.
答案:AB MN
【易错提醒】学生从图形上往往容易得到MN是AB的垂直平分线,从题目给的条件看应该AB是MN的垂直平分线.
5.如图,△ABC中,∠C=90°,DE为AB的垂直平分线,D为垂足,且EC=DE,则∠B的度数为 .
【解题指南】角平分线的性质与线段的垂直平分线性质是证明线段相等常用的方法.
【解析】连接AE,
∵EC=DE,∠C=90°,
DE⊥AB,
∴∠CAE=∠DAE,
∵DE为AB的垂直平分线,∴AE=BE,
∴∠B=∠DAE,∴∠B=∠CAE=∠DAE,
在△ABC中,∠B+∠CAE+∠DAE=90°,
∴∠B=30°.
答案:30°
6.如图,BD垂直平分线段AC,AE⊥BC,垂足为E,交BD于P点,PE=3cm,则P点到直线AB的距离是 cm.
【解析】过点P作PM⊥AB于点M,
∵BD垂直平分线段AC,∴AB=CB.
又∵BD=BD,∴Rt△ABD≌Rt△CBD,
∴∠ABD=∠DBC,
∵PM⊥AB,PE⊥CB,∴PM=PE=3cm.
答案:3
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在△ABC中,∠B=∠C,D,E,F分别在三边上,且BE=CD,BD=CF,G为EF的中点.求证:DG垂直平分EF.
【解题指南】要使DG垂直平分EF,因为G为EF的中点,所以只需证FD=ED,连接ED,FD,则证△BED与△CDF全等即可.
【证明】如图所示,连接ED,FD,∠B=∠C,
又BE=CD,BD=CF,
∴△BED≌△CDF(SAS),
∴ED=FD,
又G为EF的中点,∴DG垂直平分EF.
8.(8分)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN⊥AB于点N,PM⊥AC于点M,求证:BN=CM.
【证明】连接PB,PC,
∵AP是∠BAC的平分线,PN⊥AB,PM⊥AC,∴PM=PN,
∠PMC=∠PNB=90°,
∵P在BC的垂直平分线上,
∴PC=PB,
在Rt△PMC和Rt△PNB中,
∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL),∴BN=CM.
【易错提醒】线段垂直平分线的性质和角平分线的性质中“距离”这个词语的含义迥然不同,前者是指“点与点”之间的距离,而后者是指“点与线”之间的距离,运用这两个性质时一定要分清含义再用.
【培优训练】
9.(10分)如图,在四边形ADBC中,AB与CD互相垂直平分,垂足为O.
(1)找出图中相等的线段(OE,OF除外).
(2)OE,OF分别是点O到∠CAD两边的距离,试说明它们的大小有什么关系?
【解析】(1)AC=BC=AD=BD,OC=OD,OA=OB.
(2)OE=OF.
∵AB垂直平分CD,∴∠AOC=∠AOD,CO=OD,
在△AOC和△AOD中,
∴△AOC≌△AOD(SAS),∴∠CAO=∠DAO.
又∵OE⊥AC,OF⊥AD,∴OE=OF.
【一题多解】∵CO=DO,AO⊥CD.
∴S△AOC=AO·OC=DO·AO=S△AOD.
又∵S△AOC=AC·OE,S△AOD=AD·OF,
又∵AC=AD,∴OE=OF.
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课时提升作业(十二)
轴 对 称
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·邵阳中考)下列四个图形中,不是轴对称图形的是 ( )
【解析】选B.只有B不能找到对称轴.
2.(2013·绵阳中考)下列“数字”图形中,有且仅有一条对称轴的是 ( )
【解题指南】找对称轴可以试着画对称轴通过观察两部分是否重合来判定,要全方位去找,不要漏掉对称轴.
【解析】选A.A图有一条对称轴,B不是轴对称图形,C,D图有两条对称轴.
3.(2013·成都中考)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C与点C′重合.若AB=2,则C′D的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=2.
∵△BDC′与△BDC关于直线BD对称,
∴C′D=CD=2.
【变式训练】如图,把一张长方形的纸按图那样折叠后,B,D两点落在B′,D′点处,若得∠AOB′=70°,则∠B′OG的度数为 .
【解析】根据轴对称的性质得:∠B′OG=∠BOG,
又∠AOB′=70°,可得∠B′OG+∠BOG=110°,
∴∠B′OG=×110°=55°.
答案:55°
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图所示的两个“M”是关于直线l成轴对称的两个图案,则与∠1对应的角为 .
【解析】结合图形可得∠1的对应角为∠6.
答案:∠6
5.如图,线段AB,CD关于直线EF对称,则AC⊥ ,BO′= .
【解题指南】
1.连接任意一组对称点,用对称轴就能找到线段的中点.
2.到一组对称点距离相等的点一定在对称轴上.
【解析】根据对称的性质,可知点A和点C为对应点,所以AC⊥EF;点B和点D为对应点,所以BO′=DO′.
答案:EF DO′
6.(2013·河北中考)如图,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B = °.
【解析】∵MF∥AD,∠DAM=100°,∴∠FMB=100°.
由“轴对称的性质”可知∠NMB=∠FMB=×100°=50°.同理可求得∠MNB=35°,∴∠B=180°-∠NMB-∠MNB =180°-50°-35°=95°.
答案:95
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,波兰有一位著名的数学家斯坦因豪斯,在第二次世界大战前夕,他常和几位波兰数学家到一家咖啡馆去,一边喝咖啡一边谈论数学问题,提出精彩答案或提出独到的见解的人,能获得一份额外奖品,下面的问题就是斯坦因豪斯设计的,你会解吗?问题:求图中的阴影部分的面积.
【解题指南】解题的关键是把图形中阴影部分的面积通过割补法根据轴对称的性质找到阴影部分的面积和已知正方形或扇形的面积之间的关系.
【解析】沿正方形的上下两边和左右两边的中点作对称轴,根据轴对称的性质可得S阴影=S正方形=×100=50,图中的阴影部分的面积是50.
8.(8分)如图中的两个四边形关于某直线对称,根据图形提供的条件求x,y.
【解析】∵图中两个四边形关于某直线对称,且AB=EF=2,∠A=∠E=120°,∠D=∠H=100°,
∴点A与点E,点B与点F,点D与点H,点C与点G分别是对称点,GF与CB是对应线段,
∴∠F=∠B,即x=70°,GF=CB,即y=6.
【培优训练】
9.(10分)把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠AEB+∠ADC之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是什么?
【解题指南】根据轴对称的性质,对称轴垂直平分对应点的连线,对应角相等,得到角的关系.
【解析】如图根据轴对称性质得:
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3+∠A=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-2∠A.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=2×180°-∠AEB-∠ADC,
∴2∠A=∠AEB+∠ADC.
【易错提醒】只看到三角形三个内角∠A,∠B和∠C的和是180°,没有理解题目中隐含∠1与∠2,∠3与∠4的轴对称关系.
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