贵州省卓越发展计划高二测试参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D C B D C ACD AD ABD ABD
1.【解析】
2.【解析】
π
3.【解析】因为 y = sin2x + cos2x = 2sin 2x + ，函数的周期为 π，显然是非奇非偶函数，
4
A 不正确；
π
因为 y = sinx + cosx = 2sin x + ，函数的周期为 2π，B 不正确；
4
π
因为 y = sin 2x + = cos2x，函数的周期为 π，是偶函数，C 正确；
2
π
因为 y = cos 2x + = sin2x，函数的周期为 π，是奇函数，D 不正确；故选：C
2
4.【解析】
5【. 解析】由斐波那契数列为 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，知a4 + a8 = 3+ 21= 24 .
故选：C
6.【解析】
7. 4【解析】对于 A,每人各有 4 种选择,每人都安排一项工作的不同方法数为 4 ,A 错误;
对于B,将4名同学按2,1,1分成3组有C24种方法,再将这3组分配到3个比赛场馆,共有A
3
3种,
则所有分配方案共有C24·A
3
3=36(种),B 错误;
对于 C,由题可知,甲两天,乙三天,丙和丁各一天,所以不同的安排方法有C27·C
3
5·A
2
2=420
种,C 错误;
对于 D,先将 4 名志愿者分成 2 组,每组 2 个人或者一组 3 人,一组 1 人,若每组 2 个人,分别
分配给 2个项目,则有C24=6种分法,若一组 3人,一组 1人,分别分配给 2个项目,则有C
3
4A
2
2=8
种分法,因此不同的分配方案共 14 种,D 正确.
8.【解析】构造函数 F (x) = f (x) x ，因为 f (x) 1，所以 F (x) = f (x) 1 0 ，可知函
数 F (x) 在 R 上单调递增， F (1) = f (1) 1= f ( 1) 1=1 ，不等式 f (x 1) x 化为
f (x 1) (x 1) 1，即 F (x 1) F (1)，由单调递增可得 x 1 1，即 x 2，故选C .
9.【解析】已知函数是奇函数且图象关于直线 x =1对称，可知函数的周期为 4，由 f (x)在
区间 1,3 内的图象可知函数对称轴为 x =1+ 2k,k Z ，对称中心为 (2k,0), k Z .所以
{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
f ( 4)= f (0)= 0，f (5)= f (1)=1，A正确；如果 f (x 4)= f (x +1)，则 f (x)= f (x + 5)，
周期为 5，所以 B 错误；直线 x = 3是函数的一条对称轴，C 正确；点 (4,0)为函数的一个
对称中心， D正确，故选 A C D .
2π 2π 2π 1 3
10.【解析】对于 A：当 = 时，b = cos ,sin = , 3 3 3 2 2
，
1 3
此时 a b = 3 + 1= 0，故 a ⊥ b，即 A 正确；
2 2
r r 3 π
对于 B：若 a//b，则cosq = 3sinq ，所以 tan = ，所以 = + kπ， k Z，故 B 错误；
3 6
3 1 π
对于 C：a b = 3 cos + sin = 2 cos + sin = 2sin + 2,2 ，故 C 错误；
2 2 3
2
对于 D：因为a = ( 3,1)，b = (cos ,sin ) ( ) 2，所以 a = 3 +12 = 2，b = cos + sin2 =1，
2 2 2 2 2 π
所以 a b = (a b) = a 2a b+b = a 2a b + b = 5 4sin + ，
3
π π
因为 sin + 1,1 ，所以5 4sin + 1,9 ，所以 a b 1,3 ，故 D 正确；
3 3
故选：AD
1
11.【解析】对于 A,当 μ= 时，E为 AC中点，∵AB=BC，∴在等腰三角形 ABC中，BE⊥
2
AC，又在直三棱柱中，AA1⊥面 ABC且 BE在面 ABC内，∴AA1⊥BE且 AA1∩AC=A，AA11，
AC在面 AA1C1C内，∴BE⊥面 AA1C1C且 C1E在面 AA1C1C内，∴BE⊥C1E，A 正确；
对于 B，在直三棱柱中，BB1⊥面 ABC且 BB1在面 B1EB内，∴面 B1EB⊥面 ABC，B 正确；
对于 C，若 A1B1∥平面 DEC1，易得 λ=μ且 λ，μ∈（0,1），C 错误；
对于 D，如图建系，设 AB=BC=BB1=2，则 B1(0, 3,2),C1(1,0,2), E(0,0,0) ,设平面 B1C1E的
法向量为n = (x, y, z)
→
n EB1 = 0 3y + 2z = 0 2
由 ，得 ，取n = (2, , 1)
→
x + 2z = 0 3
n EC1 = 0
则平面 BDE与平面 B1C1E所成的夹角的余弦值为
{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
1 57
=
4 19 ，D 正确.
1 4+ +1
3
故选 ABD.
1 1
0 1
12.【详解】ABD 因为 a b ，且 lna lnb =1，可得a e b 1，
a b
对于选项 A： a e b 1 2 2 故 A 正确；
( 2 2ln a + ln b) (ln ab) ln2 ab
1= ln a ln b = 1
对于选项 B：因为 4 4 ，即 4 ，
解得 lnab 2，所以ab e
2
，故 B 正确；
对于选项 C：因为a e b 1，则 (a 1)(b 1)= ab +1 (a + b) 0 ，
可得ab+1 a+b，所以 log 2 (ab +1) log 2 (a +b)，故 C 错误；
ex ex (x 1)
f (x)= (x 1) f (x)= 0
2
构造函数 x ，则 x ，
ex
f (x)=
所以函数 x 在 (1,+ )上单调递增，又a e b 1，
ea eb ea a a b a
e
b
所以 a b ，所以 e b ，即 b ，D 正确；
13. 24；【解析】
1
14. 3 ；【解析】
6
15. 3 ；【解析】
16. a n+1n = n 2 ；6 .（第一空 2 分，第二空 3 分）【解析】在数列 a 中， a1 = 4n ，由
a
na = 2(n+1)a 得： n+1
an a1
n+1 n = 2 ，而 = 4，
n +1 n 1
a
于是得数列{ n
a
} n 14 n+1是以 为首项，2 为公比的等比数列，则 n = 4 2 ，即an = n 2 ，
n n
所以数列 a a = n 2n+1n 的通项公式为 n ；
{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
a n 2n+1 (n+1) 2n+2n (n+ 2) 2
n+1 2n+2 2n+1
显然， = = = ，
(n+1)(n+ 2) (n+1)(n+ 2) (n+1)(n+ 2) n+ 2 n+1
23 22 24 23 25 24 2n+1 2n 2n+2 2n+1 2n+2
则 S ， n = ( )+ ( )+ ( )+ + ( )+ ( ) = 2
3 2 4 3 5 4 n+1 n n+ 2 n+1 n+ 2
2n+2 2n+2 2n+2 bn+1 2(n+ 2)
由 Sn 30得： 2 30 ，即 32，令b = ，则 = 1，即数列{bn}n
n+ 2 n+ 2 n+ 2 bn n+3
是递增数列，
2n+2
由 32，得b b bn 32，而b6 = 32，因此， n 6 ，从而得n 6，nmin = 6，
n+ 2
所以满足不等式 Sn 30的 n 的最小值为 6.
a = n 2n+1故答案为： n ；6
17.解：若选择①：由已知条件及正弦定理，得
b a c c
= + ，...............................................1 分
a + c b a + c
b c a c
即 = ．整理得b2 + c2 a2 = bc ．............................................................................2 分
a + c b
b2 + c2 a2 bc 1
由余弦定理，得 cos A = = = ．....................................................................3 分
2bc 2bc 2
又因为 A (0,π)，......................................................................................................................4 分
π
所以 A = ． .....................................................................................................................5 分
3
若选择②：因为2acos B = 2c b，由正弦定理得
2sin Acos B = 2sinC sin B，...........................1 分
所以2sin Acos B = 2sin (A+ B) sin B = 2(sin Acos B + cos Asin B) sin B ，......................2 分
所以2cos Asin B sin B = 0，又sin B 0，............................................................................3 分
1
所以 cos A = ，因为0 A π， ............................................................................4 分
2
π
所以 A = ； .....................................................................................................................5 分
3
2 2 1
若选择③：因为 a b = ac cos B bc ，
2
所以根据余弦定理，可得
2 2 2
a2 b2
a + c b 1
= ac bc，.......................................................................1 分
2ac 2
所以b2 + c2 a2 = bc ，.......................................................................................................2 分
{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
b2 + c2 a2 1
所以 cosA = = . ................ ................................................................3 分
2bc 2
因为 A (0,π)， ............................................................................................................4 分
π
所以 A = . ............................................................................................................5 分
3
（2）因为 a2 = b2 + c2 2bc cos A = b2 + c2 bc 2bc bc = bc ，...........................................7 分
所以bc 4，当且仅当b = c = 2时取等号；..... ................................................................8 分
1 1
又因为 bcsin A = AD a且a = 2
2 2
1 3
所以 AD = bc sin A = bc ≤ 3 ，..........................................................................9 分
2 4
故 AD的最大值为 3 .............................................................................................................10 分
18 解：用比例分配的分层随机抽样方法从这 100 盒牛排中抽取 10 盒，-------------1 分
其中 T骨牛排有 3 盒，非 T骨牛排有 7 盒， --------------3 分
再从中随机抽取 4 盒，设恰好有 2 盒牛排是 T骨牛排为事件 A，
C2 2
则P(A) = 3
C7 3 21 3= =
4 ； ----------------6 分 C10 210 10
20 1
（2）这 100 盒牛排中菲力牛排有 20 盒，所以菲力牛排的频率为 = ，-------7 分
100 5
设从这批牛排中随机抽取 1 盒，抽到菲力牛排的事件为 B，
1
将频率视为概率，用样本估计总体可得P(B) = ， ------------8 分
5
1
从这批牛排中随机抽取 3 盒，抽到的菲力牛排的数量 X满足 X : B 3, ，--------9 分
5
0 3 2
1 4 64 1 4 48
P(X = 0) = C03 = , P(X =1) = C
1
3 = ， --------------10 分
5 5 125 5 5 125
2 3 0
2 1 4 12 3 1 4 1P(X = 2) = C3 = , P(X = 3) = C3 = ． ----------------12 分
5 5 125 5 5 125
19.解：（1）完成列联表如图所示： ------------------------1 分
男生 女生 合计
了解 15n 10n 25n
不了解 5n 10n 15n
{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
合计 20n 20n 40n
2 ， ---------------------2 分
40n (15n 10n 10n 5n) 8
2 = = n
25n 15n 20n 20n 3
8n
由题意可得5.024 6.635，解得1.884 n 2.488125，----------------------4 分
3
又因 n N*，所以n = 2； -----------------------6 分
（2）由（1）得了解中国航天事业的学生有 25 2 = 50人，-----------------------7 分
其中男生有30人，女生有 20人， ------------------------8 分
5 5
则所抽取 5 人中男生30 = 3人，设为 A，B，C，女生 20 = 2人,设为 a，b，-----9 分
50 50
从 5 人中再抽取 3 人的基本事件有： ABC, ABa, ABb, ACa, ACb, Aab, BCa, BCb, Bab,Cab,共 10 种，
其中符合男生至少 2 人的基本事件有： ABC, ABa, ABb, ACa, ACb, BCa, BCb, 共 7 种，--------11 分
7
则至少有 2 名男生被第二次调查的概率P = . ---------12 分
10
20.(1) ∵由图一得： DC ⊥CF , DC ⊥CB，且CF CB =C ，
∴在图 2 中 DC ⊥平面 BCF , BCF 是二面角 F DC B的平面角，则 BCF = 60 ，
∴△BCF 是正三角形，且 N 是 BC 的中点， FN ⊥ BC ，又 DC ⊥平面BCF ，FN
平面 BCF ，可得 FN ⊥CD，而 BC CD =C ，∴ FN ⊥平面 ABCD，而 AD 平面
ABCD FN ⊥ AD．
（2）因为 FN ⊥平面 ABCD，过点 N 做 AB 平行线 NP，所以以点 N 为原点， NP，NB、
NF 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 N xyz，
则 A(5, 3,0), B(0, 3,0), D(3, 3,0), E(1,0,3) ，设M ( x0，y0，z0)
→ → 3 3
∴ AM = (x0 5, y0 3,
z B),MAE== (3 , 4, 3, ,3) ,, AD = ( 2, 2 3,0), DE = ( 2, 3,3) 0
2 2
{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
x0 5 = 4 x0 = 5 4
→ →
∵ AM = AE ，∴ y0 3 = 3 , y0 = 3 3 , M (5 4 , 3 3 ,3 )
z0 = 3
z0 = 3
→
∴ BM = (5 4 , 3 ,3 ),设平面 ADE 的法向量为n = (x, y, z)
n AD = 0 2x 2 3y = 0
由 ，得 ，取 n = ( 3, 1, 3) ，
n DE = 0 2x + 3y +3z = 0
设直线 BM 与平面 ADE 所成角为 ，
3 3 3
3 3 + +
| n BM | 25 3 2 5 35 7 5 7
∴ sin = cos n, BM = == = = =,
| n | BM | 3+1+ 3 28
2
3 490 + 275 2 134 14
3+1+3 9+ +
4 4
1 13
∴28 2 40 +13 = 0 ,∴ = 或 =
2 14
p
21.（1）抛物线的准线为 x = ，当MD 与 x轴垂直时，点 M的横坐标为 p，
2
p
此时 MF =p + = 3，所以 p = 2，
2
所以抛物线 C的方程为 y2 = 4x；
y2 y2 y2 y2
（2）设M 1 , y
2
1 , N , y , A
3
2 , y3 , B
4
, y ，直线MN : x = my +14 ，
4 4 4 4
x = my +1
由 2 可得 y
2 4my 4 = 0， 0, y1y2 = 4，
y = 4x
y1 y2 4 y y 4kMN = = k =
3 4
由斜率公式可得 2 2 ， AB
=
y y y2 21 2 y y1 + y2 3 4 y ， 3
+ y4
4 4 4 4
x1 2 4(x2 1 2)
直线MD : x = y + 2，代入抛物线方程可得 y y 8 = 0，
y1 y1
0, y1y3 = 8，所以 y3 = 2y2 ，同理可得 y4 = 2y1，
4 4 k
所以 kAB = = =
MN
y3 + y4 2( y1 + y2 ) 2
k tan
又因为直线 MN、AB的倾斜角分别为 , ，所以 kAB = tan =
MN = ，
2 2
若要使 最大，则 0, ，设 kMN = 2kAB = 2k 0，则
2
{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
tan tan k 1 1 2
tan ( ) = = = =
1+ tan tan 1+ 2k 2 1 4 ，
+ 2k 12 2k
k k
1 2
当且仅当 = 2k 即 k = 时，等号成立，
k 2
所以当
2
最大时， k = ，设直线 AB : x = 2y + n， AB
2
代入抛物线方程可得 y2 4 2y 4n = 0，
0, y3 y4 = 4n = 4y1y2 = 16，所以n = 4，
所以直线 AB : x = 2y + 4 .
1
22.（1）因为函数 f (x) = ln(x +1)(x 1) ，所以 f (x)= f (0)=1 f (0)= 0x +1
函数 f (x)在 x = 0处的切线方程 y = x
1
（2）设 g(x)= ln(x +1) x， (x 1) . 则 g (x)= 1，
x +1
所以 g(x)在 ( 1，0)单调递增，在 (0，+ )单调递减，
由 g(0)= 0得 g(x) 0，即当 x 1时， ln(x +1) x ………（*）
令h(x)= x a
2ex + a ， x 1
h (x)=1 a2ex ，令h (x)= 0 得 x = 2lna 0
当 2lna 1即a e 时， h (x) 0 ，有 h(x)在 ( 1，+ )上单调递减
a2 e a2 + ae
所以h(x) 1 + a = 0
e e
当 2lna 1即1 a e 时，有 h(x)在 ( 1， 2ln a)单调递增，在 ( 2ln a,+ )递减
所以 h(x) h( 2ln a)= 2ln a + a 1
2 2
令 (a)= 2ln a a +1，h (a)= 1 1 0
a e
所以 (a)在 1，e )单调递增，有 (a) (1)= 0 ，所以 h(x) 0
2 x
故a 1时， h(x) 0对 x ( 1，+ )恒成立，即 x a e a 对 x ( 1，+ )恒成立
2 x
由（*）可知 ln(x +1) x 因此，当a 1时， ln(x+1) a e a
{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}绝密★启用前
贵州省卓越发展计划高二测试
数学 2023.6
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求：
1. 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。
2. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴虚线框”内，若没有条形码，可以填涂准考证号的
方式。
3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。回答非选
择题时，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以
上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。）
1.已知集合 A = { 1,0,1,2,4}， B = {x || x 1| 1}，则 A B =
A．{ 1,2} B．{1,2} C．{0,1,2} D．{ 1,0,1,2}
2.已知a,b R,a + 2i = (b + i)i （ i为虚数单位），则
A．a =1,b = 2 B． a = 1,b = 2 C．a = 1,b = 2 D．a =1,b = 2
3.下列函数中，最小正周期为 的偶函数是
A． y = sin(2x + ) B． y = sin x + cos x
2
C． y = sin 2x + cos2x D． y = cos(2x + )
2
2
4.某学校共 1000 人参加数学测验，考试成绩 近似服从正态分布 N (100, )，若
P(80 100) = 0.45，则 P( 120) =
A．0.1 B．0.9 C．0.45 D．0.05
5.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔
子繁殖为例子而引入，故又称该数列为 “兔子数列”.已知数列 an 为“斐波那契数列”且
满足: a1 =1，a2 =1，an = an 1 + a
*
n 2 (n 3，n N )，则a4 + a8 =
A．12 B．16 C．24 D．39
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{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
6.在 ABC 中， E 为 AC 上一点， AC = 3AE， P 为线段 BE 上 任一点，若
1 1
AP = xAB + yAC ，则 + 的最小值是
x y
A．3+ 2 2 B．4+ 2 3 C．6 D．8
7.第24届冬季奥林匹克运动会,即2022年北京冬季奥运会,是由中国举办的国际性奥林匹克
赛事,于 2022 年 2 月 4 日开幕,2 月 20日闭幕.有 4名大学生参加了冬奥会新闻中心志愿者
服务,下列说法正确的是
A. 将 4 名志愿者每人都安排一项工作(一共 4 项不同的工作)的不同方法数为 24 种
B. 将 4 名志愿者分配到 3 个采访场馆,每个采访场馆至少分配一名志愿者,所有分配方案共
有 72 种
C. 将 4 名志愿者安排到七天中服务,每天一人,甲两天,乙三天,丙和丁各一天,不同的安排
方法有 140种
D. 将 4 名志愿者分配到记者招待会、集体采访 2个项目进行培训,每名志愿者分配到 1 个项
目,每个项目至少分配到 1 名志愿者,不同的分配方案共有 14种
8.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的可导函数，且满足 f ( x) + f (x) = 0 ， f (x) 1，
f ( 1) = 2 ，则不等式 f (x 1) x 的解集是
A. ( 1,+ ) B. (1,+ ) C. (2,+ ) D. (3,+ )
二、选择题（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求.全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有错选的得 0 分。）
9.已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，图象关于直线 x =1对称，且 f (x)在区间 1,3 内的
图象如图所示，下列说法正确的是 y
1
A. f ( 4) f (5) B. f (x 4) = f (x +1) -1 o
1 2 3 x
C. 直线 x = 3是函数的一条对称轴 -1
D. 点 (4,0)为函数的一个对称中心
10.已知向量a = ( 3,1)，b = (cos ,sin )，则下列说法正确的是
2π π
A．若 = ，则 a,b = B．若a //b，则 =
3 2 6
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{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
C．a b 的最大值为 3 +1 D． a b 的取值范围是 1,3
11.如图，在直棱柱 ABC A1B1C1 中，E 是 AC 的中点，D，E 分别
是BC与 AC 上的任一点，BD = BC，AE = AC，AB = BC = BB1，
则下列结论正确的是
A.存在 , (0,1)，使得BE ⊥C1E
B.平面B1EB⊥平面 ABC
1
C.若 A1B1∥平面DEC1,则 = =
3
57
D.若 ABC = 60 ,则平面BDE 与平面B1C1E 所成的夹角的余弦值为
19
1 1
12．已知实数 a ，b 满足0 1，且 lna lnb =1，则
a b
2a
a
A. 2b 2 a b B. ab e C． log 2 (ab +1) log 2 (a +b) D．e
b
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。）
1
(2x + )413. 展开式的常数项是__________；（用数字作答）
x
14.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，
这时另一个也是女孩的概率是________；
x2 y2
15．椭圆C : + =1(a b 0)的左顶点为 A，点P ，Q 均在C 上，且关于 y 轴对称．若
a2 b2
1
直线 AP， AQ 的斜率之积为 ，则C 的离心率为 ；
3
16.已知数列 an 满足 a = 4 ，nan+1 = 21 (n+1)an ，则数列 an 的通项公式为_____________，
a
若数列{
n }的前 n项和 Sn ，则满足不等式 Sn 30的 n 的最小值为____________．
(n+1)(n+ 2)
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。）
17.请在下列三个条件中选择一个作为条件补充在题目的横线上，并解决问题.
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{#{QQABIYaUggggAAJAAQBCEwGQCgEQkgGACAgGRBAUIEABSRNABAA=}#}
b a c c
① = + .
sin A+ sin C sin B sin A+ sin C
②2acosB = 2c-b .
③a2-b2
1
= accos B- bc .
2
已知 ABC的内角 A， B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且__________________
（1）求 A；
（2）若a = 2，点 D在线段 BC上，且 AD BC = 0，求 AD的最大值.
18．牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T 骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批
牛排中随机抽取 100 盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：
牛排种类 菲力牛排 肉眼牛排 西冷牛排 T 骨牛排
数量/盒 20 30 20 30
（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这 100盒牛排中抽取 10 盒，再从抽取的 10盒牛排
中随机抽取 4 盒，求恰好有 2 盒牛排是 T 骨牛排的概率；
（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取 3 盒，若 X 表示抽到的
菲力牛排的数量，求 X 的分布列和数学期望．
19．2022 年 12月 2 日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘
组移交了中国空间站的钥匙，6 名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有
人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被
* 2
调查的男女生人数均为 20n (n N )，统计得到以下列联表，经计算， x0.025 x0.01．
男生 女生 合计
了解 10n
不了解 5n
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合计
附表及公式：
0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
2
2 n (ad bc) =
(a + b) (c + d ) (a + c) (b + d )
（1）求n 的值．
（2）现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取 5 人，再从这
5 人中抽取 3 人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有 2
名男生被第二次调查的概率．
20.如图 1，已知 ABFE是直角梯形，EF // AB， ABF = 90 ， BAE = 60 ,C、D分
别为 BF、AE的中点， AB = 5， EF =1，将直角梯形 ABFE沿CD翻折，使得二面角
F DC B的大小为60 ，如图 2 所示，设 N 为 BC的中点．
（1）证明：FN ⊥ AD；
AM
（2）若M 为 AE上一点，且 = ,则当 为何值时，直线 BM 与平面 ADE 所成角的
AE
5 7
正弦值为 .
14
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21．设抛物线C : y2 = 2px(p 0)的焦点为 F，点D ( p,0)，过 F的直线交 C于 M，N两点．当
直线 MD垂直于 x轴时， MF = 3．
(1)求 C的方程；
(2)设直线MD, ND与 C的另一个交点分别为 A，B，记直线MN , AB的倾斜角分别为 , ．当
取得最大值时，求直线 AB的方程．
22.已知函数 f (x) = ln(x +1).
（1）求函数 f (x)在 x = 0处的切线方程；
（2）当a 1时，证明： f (x) a2ex a .
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