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提技能·题组训练
同底数幂的乘法
1.(2013·连云港中考)计算a2·a4的结果是 ( )
A.a8 B.a6 C.2a6 D.2a8
【解析】选B.a2·a4=a2+4=a6.
2.下面计算正确的是 ( )
A.b3b2=b6 B.x3+x3=x6
C.a4+a2=a6 D.mm5=m6
【解析】选D.A的结果为b5，B的结果为2x3，C不能进行计算，D根据同底数幂的乘法运算法则得底数不变，指数相加，结果正确.
3.若a7·am=a2·a10，则m= .
【解析】∵a7·am=a7+m，a2·a10=a12，
∴a7+m=a12，即7+m=12，故m=5.
答案：5
【变式训练】(1)若10m·102=102016，则m的值为 .
(2)若an-3·a2n+1=a10，则n的值为 .
【解析】(1)10m·102=10m+2，所以m+2=2016，
解得m=2014.
答案：2014
(2)an-3·a2n+1=an-3+2n+1=a3n-2，所以3n-2=10，
解得n=4.
答案：4
4.计算：xn·x2= ；(b-a)3·(a-b)5= .
【解析】xn·x2=xn+2；
(b-a)3·(a-b)5=-(a-b)3·(a-b)5=-(a-b)8.
答案：xn+2 -(a-b)8
【知识归纳】在幂的运算中，经常用到下列变形：
(-a)n=
(a-b)n=
5.计算：
(1)(2a+b)3(2a+b)m-4(2a+b)2n+1.
(2)(x-y)2(y-x)5.
【解析】(1)原式=(2a+b)3+m-4+2n+1=(2a+b)m+2n.
(2)原式=(y-x)2(y-x)5=(y-x)7.
同底数幂的乘法法则的应用
1.若3m=5，3n=7，则3m+n等于 ( )
A.35 B.12 C.57 D.75
【解析】选A.逆用同底数幂的乘法公式，3m+n=3m·3n=5×7=35.
【知识归纳】同底数幂的乘法法则的逆用
1.法则am·an=am+n(m，n都是正整数)，从右向左为am+n=am·an(m，n都是正整数).
2.法则推广：=ap·…·aq(p，…，q都是正整数).
3.当幂的指数是和的形式时，可考虑变为同底数幂的乘法，结合已知条件灵活变形，使计算简便.
2.若10x=a，10y=b，则10x+y= .
【解析】10x+y=10x·10y=ab.
答案：ab
3.计算：22013-22014= .
【解题指南】将2014拆写成2013+1，再逆用同底数幂的乘法法则.
【解析】22013-22014=22013-22013+1=22013-(22013×2)=22013×(1-2)=-22013.
答案：-22013
4.已知1km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108kg煤所产生的能量，那么我国9.6×106km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少千克?
【解析】一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤的质量为9.6×106×1.3×108=1.248×1015(kg).
5.计算：
(1)(-x)2·(-x)3+2x·(-x)4-(-x)·x4.
(2)x·xm-1+x2·xm-2-3·x3·xm-3.
【解析】(1)原式=(-x)5+2x5+x5=-x5+2x5+x5=2x5.
(2)原式=xm+xm-3xm=-xm.
【易错提醒】当底数为负数或带有负号时，要注意指数的奇偶性，同时还要注意能合并同类项的要合并同类项.
6.已知3x=2，求3x+2的值.
【解析】因为3x=2，所以3x+2=3x×32=2×9=18.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
若m=-2，求-m2·(-m)4·(-m)3的值.
(1)找错：从第___步开始出现错误.
(2)纠错：_______________________________________________________
答案：(1)①
(2)原式=-m2·m4·(-m3)=m9，当m=-2时，原式=(-2)9=-29.
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提技能·题组训练
幂的乘方运算
1.(2013·宁夏中考)计算(a2)3的结果是 ( )
A.a5 B.a6 C.a8 D.a9
【解析】选B.(a2)3=a6.
2.下列运算正确的是 ( )
A.a2·a3=a6 B.(a7)2=a14
C.a2+a3=a6 D.a2-a3=a
【解析】选B.A.应为a2·a3=a2+3=a5，故本选项错误；
B.(a7)2=a7×2=a14，正确；
C.a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D.a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误.
3.计算：(-a)3(-a)2(-a5)= ( )
A.a10 B.-a10 C.a30 D.-a30
【解析】选A.(-a)3(-a)2(-a5)=(-a3)·a2(-a5)=a3+2+5=a10.
【易错提醒】当底数带负号时，注意指数为奇数、偶数时符号的变化情况.指数为奇数时，运算的结果带有负号，指数为偶数时，计算的结果没有负号.
4.计算：y3·(y3)2-2(y3)3= .
【解析】y3·(y3)2-2(y3)3=y3·y6-2y3×3=y9-2y9=-y9.
答案：-y9
【变式训练】计算：(x6)4-(x3)8= .
【解析】(x6)4-(x3)8=x24-x24=0.
答案：0
5.计算：(xm-1)2·(xm+1)3= .
【解析】(xm-1)2·(xm+1)3=x2m-2·x3m+3=x5m+1.
答案：x5m+1
6.计算：(1)(b5)5. (2)(an)3.
(3)-(x2. (4)(y2)3·y.
【解析】(1)(b5)5= b25.
(2)(an)3=a3n.
(3)-(x2)m=- x2m.
(4)(y2)3·y=y6·y = y7.
灵活运用幂的乘方法则
1.下列各式中，计算结果不为a14的是 ( )
A.(a7)7 B.a5·(a3)3
C.(a2)7 D.(a7)2
【解析】选A.(a7)7=a7×7=a49.
2.计算：[(a4)2]3= .
【解析】[(a4)2]3=(a2×4)3=(a8)3=a24.
答案：a24
【知识归纳】幂的乘方的推广
[(am)n]p=(amn)p=amnp(m，n，p为正整数).
3.已知am=7，a2n=4，求a2m+n的值.
【解析】∵am=7，∴a2m=(am)2=72=49.
∵a2n=4，∴(an)2=4，∴an=±2，
∴a2m+n=a2m·an=49×(±2)=±98.
4.已知a2n+1=0.5，求8a6n+3-1的值.
【解题指南】找出2n+1和6n+3之间存在的倍数关系，应用幂的乘方法则进行计算.
【解析】∵3(2n+1)=6n+3，
∴a6n+3=a3(2n+1)=(a2n+1)3=0.125，
∴8a6n+3-1=8×0.125-1=0.
【变式训练】已知a3n=5，b2n=3，求：a6nb4n的值.
【解析】a6nb4n=(a3n)2(b2n)2=52×32=225.
5.若3x+2y-3=0，求27x·9y的值.
【解析】由条件知，3x+2y=3，
27x·9y=33x·32y=33x+2y=33=27.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算(a2n+1)2.
(1)找错：从第___步开始出现错误.
(2)纠错：______.
答案：(1)①
(2) (a2n+1)2=a2(2n+1)=a4n+2
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提技能·题组训练
积的乘方运算
1.(2013·重庆中考)计算(2x3y)2的结果是 ( )
A.4x6y2 B.8x6y2 C.4x5y2 D.8x5y2
【解析】选A.(2x3y)2=22×(x3)2×y2=4x6y2.
2.(2013·淮安中考)计算(2a)3的结果是 ( )
A.6a B.8a C.2a3 D.8a3
【解析】选D.(2a)3=23·a3=8a3.
3.(2013·泸州中考)下列各式计算正确的是 ( )
A.(a7)2=a9 B.a7·a2=a14
C.2a2+3a3=5a5 D.(ab)3=a3b3
【解析】选D.A选项中(a7)2=a14，错误；B选项中a7·a2=a9，错误；C选项中2a2与3a3不能合并，错误；D选项(ab)3=a3b3，正确.
【变式训练】(2013·株洲中考)下列计算正确的是 ( )
A.x+x=2x2 B.x3·x2=x5
C.(x2)3=x5 D.(2x)2=2x2
【解析】选B.A中运算是合并同类项，结果是2x，答案不正确.B中运算为同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，答案正确.C中运算为幂的乘方，底数不变，指数相乘，结果应为x6，答案不正确.D中运算为积的乘方，等于积中各因式的乘方的积，结果应为4x2，答案不正确.
4.如果a3=5，b6=2，那么(ab2)3= .
【解析】(ab2)3=a3(b2)3=a3b6=5×2=10.
答案：10
5.计算：(1)(-a3b6)2-(-a2b4)3.
(2)2(anbn)2+(a2b2)n.
【解析】(1)原式=a6b12-(-a6b12)=a6b12+a6b12=2a6b12.
(2)原式=2a2nb2n+a2nb2n=3a2nb2n.
逆用积的乘方法则
1.计算：1.252012×的值是 ( )
A. B. C.1 D.-1
【解析】选B.1.252012×()2014=()2012×()2012×()2=(×)2012×()2=1×=.
2.计算：×(0.75)10= .
【解析】×(0.75)10=××0.75=×0.75=-1×0.75=-0.75.
答案：-0.75
3.计算：(0.125)15×(215)3= .
【解析】(0.125)15×(215)3=(0.125)15×(23)15=(0.125×8)15=1.
答案：1
4.若(ab-3)2+(b-2)2=0，则a2014·b4028= .
【解析】由题意知：ab=3，b=2，
所以a2014·b4028=a2014b2014b2014=(ab)2014b2014=32014×22014=62014.
答案：62014
5.若x3=-8a6b9，则x= .
【解析】∵x3=(-2)3·(a2)3·(b3)3=(-2a2b3)3，
∴x=-2a2b3.
答案：-2a2b3
6.计算：24×44×0.1254.
【解题指南】观察算式的特点，其指数相同，底数的乘积为1，考虑逆用积的乘方法则进行计算.
【解析】24×44×0.1254=(2×4×0.125)4=1.
【知识拓展】在积的乘方中，当底数的因式多于2个时，法则同样适用，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
7.比较：218×310与210×315的大小.
【解析】∵218×310=28×210×310=28×(2×3)10
=256×610，
210×315=210×310×35=(2×3)10×35=243×610，
又256>243，∴218×310>210×315.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算(-x3y)2.
(1)找错：从第___步开始出现错误.
(2)纠错：___________________________.
答案：(1)①
(2) (-x3y)2=(-1)2(x3)2y2=x6y2.
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提技能·题组训练
单项式和单项式相乘
1.(2013·绍兴中考)计算3a·2b的结果是 ( )
A.3ab B.6a C.6ab D.5ab
【解析】选C.3a·2b=3×2a·b=6ab.
2.下列计算正确的是 ( )
A.3x3·2x2y=6x5
B.2a2·3a3=6a5
C.(3x2)2·(-7x4y7)2=-147x6y14
D.(-2xy)·(-3x2y)=6x3y
【解析】选B.A项漏掉了字母“y”，C项应为441x12y14，D项应为6x3y2.
3.(2013·厦门中考).计算：m2·m3= .
【解析】m2·m3=m5.
答案：m5
4.当x=2时，3(x-1)-(x-5)的值为 .
【解析】原式=3x-3-x+5=2x+2.
当x=2时，原式=2×2+2=6.
答案：6
5.若×3ab=3a2b3，则内应填的代数式为 .
【解析】ab2×3ab=3a2b3，则内应填ab2.
答案：ab2
6.计算：(1)(-2x2y)2·.
(2)3ab2··2abc.
【解析】(1)(-2x2y)2·
=4x4y2··x3z3
=[4××](x4·x·x3)(y2·y)(z·z3)
=-x8y3z4.
(2)3ab2··2abc
=[3××2](a·a2·a)(b2·b·b)·c=-2a4b4c.
7.小民的步长为am，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?
【解析】15a×14a=210a2(m2)，即这间卧室的面积有210a2m2.
8.计算：-2(x-y)×3(x-y)2.
【解析】原式=(-2×3)(x-y)1+2=-6(x-y)3.
【变式训练】计算3(x-y)2·.
【解析】原式=3(x-y)2·
=-·(x-y)2+3+4=-(x-y)9.
【知识归纳】整体思想的应用
当一个多项式在同一题中出现两次以上时，则可把这个多项式看成一个整体，常利用“当底数互为相反数时偶次幂相等，奇次幂互为相反数”进行转化成同一整体.
单项式和多项式相乘
1.(2013·上海中考)计算：2(a-b)+3b= .
【解析】2(a-b)+3b=2a-2b+3b=2a+b.
答案：2a+b
2.化简：9xy·= .
【解析】9xy·=9xy·+9xy
=-3x3y2+9xy.
答案：-3x3y2+9xy
【易错提醒】单项式乘多项式应注意的三点
(1)用单项式依次去乘多项式的每一项，不要漏乘.
(2)多项式里的每一项都包含前面的符号，两项相乘时先判断积的符号，再写成代数和形式.
(3)展开后若有同类项必须合并，化成最简形式.
3.计算：(1)(-2a2)(3ab2-5ab3).
(2)xy(-x2y+xy5-x3y2).
【解析】(1)(-2a2)(3ab2-5ab3)
=(-2a2)·3ab2+(-2a2)·(-5ab3)=-6a3b2+10a3b3.
(2)xy(-x2y+xy5-x3y2)
=xy·(-x2y)+xy·xy5+xy·(-x3y2)=-x3y2+x2y6-x4y3.
【知识归纳】
1.实质：单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘.
2.结果：是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以用来检验运算中是否漏乘.
4.计算：-3x2·-10x·(x2y-xy2).
【解析】原式=-x3y+3x2y2-10x3y+10x2y2=-11x3y+13x2y2.
5.已知m2+n2=5，那么m(m+n)-n(m-n)的值是多少?
【解析】m(m+n)-n(m-n)=m2+mn-mn+n2=m2+n2=5.
【变式训练】先化简，再求值：x2(3-x)+x(x2-2x)+1，其中x2-1=0.
【解析】x2(3-x)+x(x2-2x)+1
=3x2-x3+x3-2x2+1=x2+1.
当x2=1时，原式=1+1=2.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算-x3y·xyz.
(1)找错：从第___步开始出现错误.
(2)纠错：_______________________________.
答案：(1)①
(2) 原式=
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提技能·题组训练
多项式与多项式相乘
1.(x-1)(2x+3)的计算结果是 ( )
A.2x2+x-3 B.2x2-x-3
C.2x2-x+3 D.x2-2x-3
【解析】选A.(x-1)(2x+3)=2x2+3x-2x-3=2x2+x-3.
2.三个连续奇数，若中间的一个为n，则它们的积为 ( )
A.6n3-6n B.4n3-n
C.n3-4n D.n3-n
【解析】选C.三个连续奇数分别为n-2，n，n+2，
则(n-2)·n·(n+2)=n(n2-2n+2n-4)=n(n2-4)
=n3-4n.
3.长方形一边长为3m+2n，另一边比它长m-n，则这个长方形面积是 ( )
A.12m2+11mn+2n2 B.12m2+5mn+2n2
C.12m2-5mn+2n2 D.12m2+11mn+n2
【解析】选A.由题意知，另一边的长为3m+2n+m-n=4m+n，所以这个长方形的面积是(3m+2n)(4m+n)=12m2+11mn+2n2.
4.当x=-7时，代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值为 .
【解析】(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)=(2x2+7x+5)-(x2-2x-3)=x2+9x+8，
当x=-7时，x2+9x+8=(-7)2+9×(-7)+8=-6.
答案：-6
5.已知a+b=，ab=1，化简：(a-2)(b-2)的结果是 .
【解析】(a-2)(b-2)=ab-2b-2a+4=ab-2(a+b)+4，
将a+b=，ab=1代入，得原式=1-2×+4=2.
答案：2
(x+a)(x+b)型多项式的乘法
1.(x-2)(x+3)=x2+px+q，则p，q的值为 ( )
A.p=5，q=6 B.p=1，q=-6
C.p=1，q=6 D.p=5，q=-6
【解题指南】由公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab可得p，q的值.
【解析】选B.p=-2+3=1，q=-2×3=-6.
2.下列计算结果是x2-8x+15的是 ( )
A.(x+3)(x+5) B.(x-1)(x-15)
C.(x-3)(x-5) D.(x+1)(x+15)
【解析】选C.∵-3与-5之和为-8；-3与-5之积为15，
∴(x-3)(x-5)= x2-8x+15.
3.计算：(ab-3)(ab+3)的计算结果是 .
【解析】(ab-3)(ab+3)=(ab)2+(-3+3)ab+(-3)×3=a2b2-32=a2b2-9.
答案：a2b2-9
4.计算：(x+3)(x+3)-(x-1)(x-2).
【解析】原式=x2+6x+9-(x2-3x+2)
=x2+6x+9-x2+3x-2
=9x+7.
【知识归纳】多项式与多项式相乘
1.第一步要先进行整理，在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘.
2.多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号.
【变式训练】若M=，N=，试比较M，N的大小.
【解析】=x2-3x-5x+(-3)(-5)=x2-8x+15，
=x2-2x-6x+(-2)(-6)=x2-8x+12，
所以M>N.
5.(2013·衡阳中考)先化简，再求值：(1+a)(1-a)+a(a-2)，其中a=.
【解析】(1+a)(1-a)+a(a-2)=1-a2+a2-2a=1-2a，
当a=时，原式=0.
6.若(x+a)·(x+2)=x2-5x+b，求a，b的值.
【解析】(x+a)(x+2)=x·x+a·x+2·x+2·a=x2+(2+a)x+2a即2+a=-5，2a=b，所以a=-7，b=-14.
【变式训练】若(ax+b)(x+2)=x2-4，则ba= .
【解析】(ax+b)(x+2)=ax2+2ax+bx+2b
=ax2+(2a+b)x+2b，
a=1，2a+b=0，2b=-4
解得：a=1，b=-2，则ba=-2.
答案：-2
7.若a，b，k均为整数且满足等式(x+a)(x+b)=x2+kx+36，写出两个符合条件的k的值.
【解析】因为(x+a)(x+b)=x2+kx+36，所以x2+(a+b)x+ab=x2+kx+36，根据等式的对应项的系数相等可得
又因为a，b，k均为整数，36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6=(-1)×(-36)=(-2)×(-18)=(-3)×(-12)=(-4)×(-9)=(-6)×(-6)，
所以a，b对应的值共有10对，从而求出a+b的值，即k的值有10个，分别为±37，±20，±15，±13，±12.只要写出其中的两个即可.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算：(2x-3y)(3x-4y).
(1)找错：从第___步开始出现错误.
(2)纠错：___________________________________________.
答案：(1)①
(2)(2x-3y)(3x-4y)=2x·3x-2x·4y-3y·3x+3y·4y=6x2-8xy-9xy+12y2
=6x2-17xy+12y2
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提技能·题组训练
同底数幂的除法
1.(2013·呼和浩特中考)下列运算正确的是 ( )
A.x2+x3=x5 B.x8÷x2=x4
C.3x-2x=1 D.(x2)3=x6
【解析】选D.x2和x3不是同类项，不能合并，A选项错误；B选项根据同底数幂的除法法则，指数相减，应为x8÷x2=x6，所以B选项错误；C选项合并后应为x，所以C选项错误.
2.(2013·扬州中考)下列运算中，结果是a6的是 ( )
A.a2·a3 B.a12÷a2
C.(a3)3 D.(-a)6
【解析】选D.A是同底数幂相乘，结果应该是a2+3=a5；B是同底数幂相除，结果应该是a12-2=a10；C是幂的乘方，结果是a3×3=a9；D是积的乘方，结果是(-1)6a6=a6.
3.下列计算正确的是 ( )
A.÷=-a3 B.x6÷x2=x6÷2=x3
C.÷a5=a2 D.÷=-x2
【解析】选A.B同底数幂相除，结果应该是x6-2=x4；C为-a7÷a5=-a2；D为÷=(-x)2=x2.A是同底数幂相除，结果是(-a)5-2=(-a)3=-a3.
4.填空：(1)412÷43= .
(2)÷= .
(3)32m+1÷3m-1= .
【解析】(1)412÷43=412-3=49.
(2)÷===.
(3)32m+1÷3m-1=32m+1-m+1=3m+2.
答案：(1)49 (2) (3)3m+2
5.若10x=7，10y=21，则10x-y的值是多少?
【解析】10x-y=10x÷10y=7÷21=.
【变式训练】(1)已知xm=-3，xn=-4，求x3m-2n的值.
(2)已知3x=2，3y=4，求9x-y的值.
【解析】(1)x3m-2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2
=(-3)3÷(-4)2=-.
(2)9x-y=9x÷9y=32x÷32y=22÷42=.
6.计算：(1)÷.
(2)÷.(3)x10÷x2÷x3÷x4.
【解析】(1)÷==(-xy)5.
(2)÷==a+b.
(3)x10÷x2÷x3÷x4=x10-2-3-4=x.
零指数幂
1.(2013·常德中考)下面计算正确的是 ( )
A.x3÷x3=0 B.x3-x2=x
C.x2·x3=x6 D.x3÷x2=x
【解题指南】幂的运算转化成幂的指数降一级的运算，幂的乘法→指数的加法运算，幂的乘方→指数的乘法运算，幂的除法运算→指数的减法运算.
【解析】选D.x3÷x3=x0=1，则A错误；因为x3与x2不是同类项，x3-x2不能继续化简计算，故x3-x2=x是错误的；x2·x3=x2+3=x5，故C是错误的；
x3÷x2=x3-2=x，所以D是正确的.
2.已知a≠0，下列等式不正确的是 ( )
A.(-7a)0=1 B.=1
C.(|a|-1)0=1 D.=1
【解析】选C.当a=±1时，|a|-1=0，所以(|a|-1)0=1错误.
3.若(2x+1)0=1，则 ( )
A.x≥- B.x≠-
C.x≤- D.x≠
【解析】选B.若(2x+1)0=1，则2x+1≠0，即x≠-.
【变式训练】若32x-1=1，则x= .
【解析】若32x-1=1，则2x-1=0，即x=.
答案：
4.计算：(π-2+3.1245)0= .
【解析】(π-2+3.1245)0=1.
答案：1
5.计算：(a2)6÷(a6)2= .
【解析】原式=a12÷a12=1.
答案：1
6.设a=-0.32，b=-32，c=，d=，则a，b，c，d的大小关系为 .
【解析】a=-0.32=-0.09，b=-32=-9，c==，d==1，所以b
答案：b7.计算：+×32014.
【解析】原式=1+=1+12014=1+1=2.
【知识归纳】幂的运算及乘方的混合运算
(1)运算顺序：先乘方再乘除.
(2)分清运算种类，运用相应的法则进行计算，避免出现幂的运算与乘方的混淆，与指数加减混淆.乘方为指数相乘，幂的运算为指数加减.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算：m6÷m2÷m2.
(1)找错：从第___步开始出现错误.
(2)纠错：__________________________________.
答案：(1)①
(2) m6÷m2÷m2=m6-2-2=m2(同级运算应该按从左到右依次进行)
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提技能·题组训练
单项式除以单项式
1.(2013·重庆中考)计算3x3÷x2的结果是 ( )
A.2x2 B.3x2 C.3x D.3
【解析】选C.3x3÷x2=3x3-2=3x.
2.(2013·盐城中考)下列运算中，正确的是 ( )
A.2a2+3a2=5a4 B.5a2―2a2=3
C.a3×2a2=2a6 D.3a6÷a2=3a4
【解析】选D.∵2a2+3a2=(2+3)a2=5a2，∴选项A是错误的；
∵5a2―2a2=(5-2)a2=3a2，∴选项B是错误的；
∵a3×2a2=(1×2)a3+2=2a5，∴选项C是错误的；
∵3a6÷a2=(3÷1)a6-2=3a4，∴选项D是正确的.
3.如果( )×2a2b=-6a3b2，则( )内应填的代数式是( )
A.-3ab2 B.-3ab C.3ab D.3ab2
【解析】选B.由除法与乘法互为逆运算，-6a3b2÷2a2b=-3ab，故括号内应填的代数式是-3ab.
4.(2013·梅州中考)化简：3a2b÷ab= .
【解析】3a2b÷ab=3a.
答案：3a
5.÷a= .
【解析】原式=a4b2÷a=a3b2.
答案：a3b2
6.计算：(1)(-0.5a2bc2)÷.
(2)(6×108)÷(3×105).
(3)(6x2y3)2÷(-3xy2)2.
【解析】(1)(-0.5a2bc2)÷
=a2-1bc2-2=ab.
(2)(6×108)÷(3×105)=(6÷3)×108-5=2×103.
(3)(6x2y3)2÷(-3xy2)2
=36x4y6÷9x2y4=(36÷9)x4-2y6-4=4x2y2.
7.木星的质量约是1.90×1024t.地球的质量约是5.08×1021t.你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?
【解析】(1.90×1024)÷(5.98×1021)==·≈0.318×103=318.即木星的质量约为地球质量的318倍.
多项式除以单项式
1.÷的值为 ( )
A.-2n+2n2 B.-2n2-2n2+1
C.-2n+2n2+1 D.-2n+2n2-1
【解题指南】利用多项式除以单项式的法则把多项式的每一项都除以-3m2，再把所得的商相加即可.
【解析】选C.÷=-2n+2n2+1.
2.如果a=0.75，计算(28a3-28a2+7a)÷7a的值是 ( )
A.6.25 B.0.25 C.-2.25 D.-4
【解析】选B.(28a3-28a2+7a)÷7a=4a2-4a+1=(2a-1)2，把a=0.75代入得，原式=0.25.
3.若A÷5ab2=-7ab2c3+1，则A= .
【解析】A=5ab2×(-7ab2c3+1)=-35a2b4c3+5ab2.
答案：-35a2b4c3+5ab2
【知识归纳】乘除互为逆运算的应用
1.根据乘除互为逆运算可以在已知三个量中的任两个的前提下，求出第三个量.
2.由“被除数÷除数=商”得：“被除数=除数×商”或“被除数÷商=除数”.
3.由“因数×因数=积”得：“因数=积÷另一个因数”.
4.长方形的面积为4a2-6ab+2a，若它的一边长为2a，则该长方形的周长为 .
【解析】另一边长为(4a2-6ab+2a)÷2a=2a-3b+1，所以周长为2(2a-3b+1+2a)=8a-6b+2.
答案：8a-6b+2
5.计算：(1)÷(-2x).
(2)÷.
【解析】(1)÷(-2x)=-4x3+3x2+2x-5.
(2)÷=-ab2+b.
【知识归纳】1.先定商的符号(同号得正，异号得负).
2.多项式除以单项式时：原多项式有多少项，结果的多项式就有多少项.
6.化简：[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(3x-2y)]÷3x.
【解析】[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(3x-2y)]÷3x
=[9x2-4y2-(3x2-2xy+6xy-4y2)]÷3x
=(9x2-4y2-3x2+2xy-6xy+4y2)÷3x
=(6x2-4xy)÷3x=2x-y.
【变式训练】先化简后求值：8m2-(6m2+15m2n)÷3m+m(n-1)，其中m=2，n=-1.
【解析】原式=8m2-2m-5mn+mn-m=8m2-3m-4mn，
当m=2，n=-1时，原式=8×22-3×2-4×2×(-1)=32-6+8=34.
7.计算：(1)[4(m-n)7+12(n-m)5]÷2(m-n)2.
(2)[2(a+b)5-3(a+b)4+(-a-b)3]÷2(a+b)3.
【解析】(1)原式=[4(m-n)7-12(m-n)5]÷2(m-n)2=2(m-n)5-6(m-n)3.
(2)原式=[2(a+b)5-3(a+b)4-(a+b)3]÷2(a+b)3=(a+b)2-(a+b)-.
【知识归纳】整体思想的应用
整体思想是数学思想中常用的一种方法，当一个单项式或多项式在同一题中重复出现两次或两次以上，此单项式或多项式即可被看成一个整体，用整体思想来解决问题.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算：(3a3b2-2a2b+ab)÷ab.
(1)找错：第___步出现错误.
(2)纠错：_____________________
答案：(1)②
(2)原式=3a3-1b2-1-2a2-1b1-1+a1-1b1-1=3a2b-2a+1.
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课时提升作业(二十)
幂的乘方
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共9分)
1.下列各式中,正确的是 ( )
A.y3·y2=y6 B.(a3)3=a6
C.(-x2)3=-x6 D.-(-m2)4=m8
【解析】选C.A项应为:y3·y2=y3+2=y5,故错误;
B项应为:(a3)3=a3×3=a9,故错误;
C项,(-x2)3=-x2×3=-x6,故正确;
D项应为:-(-m2)4=-m2×4=-m8,故错误.
2.若3×9m×27m=321,则m的值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选B.3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=321,所以1+5m=21,解得m=4.
3.已知a=8131,b=2741,c=961,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b C.ac>a
【解题指南】本题直接计算比较,难度很大,通过运用幂的乘方的性质,把不同底数的幂化成相同底数的幂后,再通过比较其指数的大小来比较它们的大小就简单多了.
【解析】选A.∵a=8131=(34)31=3124,
b=2741=(33)41=3123,
c=961=(32)61=3122,∴a>b>c.
【变式训练】如果底数不相同时,如何比较?如:已知a=255,b=344,c=533,d=622,则a,b,c,d从小到大的顺序是 .
【解析】∵a=255=(25)11=3211,
b=344=(34)11=8111,
c=533=(53)11=12511,
d=622=(62)11=3611.
由乘方的意义可知:3211<3611<8111<12511,
∴a答案:a【知识归纳】比较幂的大小的“两种方法”
1.底数相同:逆用幂的乘方法则,将几个幂的底数化为相同的正数,若底数大于1,则指数大的数的绝对值大.
2.指数相同:当指数相同时,底数大的数大.当指数有最大公约数时,常把它们转化成指数全为最大公约数的幂的形式,通过比较底数,确定幂的大小.
二、填空题(每小题3分,共9分)
4.计算:(a3)2+a5的结果是 .
【解析】(a3)2+a5=a3×2+a5=a6+a5.
答案:a6+a5
5.已知a3n=4,则a6n= .
【解析】∵a3n=4,
∴a6n=(a3n)2=42=16.
答案:16
6.若272=m3=n6,则m= ,n= .
【解析】因为272=(33)2=36=(32)3=93,
所以m=9,n=3.
答案:9 3
三、解答题(共32分)
7.(12分)计算:(1)x4·x6+(x5)2.
(2)(a3)3·(a4)3.
(3)2(a2)6-(a3)4+3a5·a7.
(4)[(b-2a)2]m·[(2a-b)3]n.
【解析】(1)x4·x6+(x5)2=x4+6+x5×2=x10+x10=2x10.
(2)(a3)3·(a4)3=a3×3·a4×3=a9·a12=a9+12=a21.
(3)原式=2a12-a12+3a12=4a12.
(4)原式=[(2a-b)2]m·[(2a-b)3]n
=(2a-b)2m·(2a-b)3n=(2a-b)2m+3n.
8.(10分)(1)已知:ap=2,aq=3,ar=4,求a2p+3q+r的值.
(2)已知3x+4y-5=0,求8x×16y的值.
【解题指南】条件中已经分别给出了ap,aq,ar的值,要求a2p+3q+r的值,看似复杂,其实只需逆用同底数幂的乘法法则、幂的乘方的法则,将a2p+3q+r转化成ap,aq,ar的形式即可.
【解析】(1)因为a2p+3q+r=a2p×a3q×ar=(ap)2×(aq)3×ar,又ap=2,aq=3,ar=4,所以a2p+3q+r=22×33×4=432.
(2)∵3x+4y-5=0,∴3x+4y=5,
∴8x·16y=(23)x×(24)y=23x×24y==25=32.
【培优训练】
9.(10分)我们知道:(am)n=am n,am·an=am+n(m,n为正整数).两者的意义不同,但有时两者的数值相同,即(am)n=am·an.如果a取不等于零的有理数,使等式(am)n=am·an总成立.试确定正整数m,n的值.
【解析】分三种情况:
(1)因为(am)n=am·an,所以am n=am+n,所以mn=m+n.观察式子特征可知:m=n=2时,(am)n=am·an.
(2)当a=1时,m,n为任意正整数都有(am)n=am·an.
(3)当a=-1时,若m,n为任意的正偶数时,都有(am)n=am·an.
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课时提升作业(二十一)
积的乘方
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.计算(-ab2c3)2的结果是 ( )
A.-a2b4c6 B.-a2b4c6
C.ab4c6 D.a2b4c6
【解析】选D.=a2(b2)2(c3)2=a2b4c6.
【易错提醒】应用积的乘方法则时,要特别注意观察底数含有几个因式,每个因式都分别乘方,注意系数及系数的符号,对于系数是-1的不可省略.
2.如果(an·bm·b)3=a9b15,那么 ( )
A.m=9,n=4 B.m=9,n=-4
C.m=3,n=4 D.m=4,n=3
【解析】选D.∵(an·bm·b)3=a3n·b3m·b3=a3nb3m+3,
∴3n=9,3m+3=15,解得:n=3,m=4.
3.计算:××的结果为 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】每一个因式变形为指数相同的因式,利用积的乘方逆运算法则计算得到结果,即可作出判断.
【解析】选B.原式=××××=××
==.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·福州中考)已知实数a,b满足:a+b=2,a-b=5,则(a+b)3·(a-b)3的值是 .
【解析】∵a+b=2,a-b=5,∴原式=23×53=103=1000.
答案:1000
【互动探究】若将题干中(a-b)的指数改为4,应该如何计算?
【解析】(a+b)3·(a-b)4=(a+b)3·(a-b)3·(a-b)=23×53×5=103×5=5000.
答案:5000
5.n为正整数,且x2n=3,则(3x3n)2的值为 .
【解析】∵x2n=3,
∴(3x3n)2=9x6n=9(x2n)3=9×33=9×27=243.
答案:243
6.一个立方体的棱长为25×102cm,用a×10ncm3(1≤a<10,n为正整数)的形式表示这个立方体的体积为 .
【解题指南】应用立方体的体积公式写出算式,再利用积的乘方法则进行计算,结果要注意a的取值范围.
【解析】V=(25×102)3=253×(102)3=15625×106
=1.5625×1010(cm3).
答案:1.5625×1010cm3
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:
(1)2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7.
(2)(3xy2)2+(-4xy3)·(-xy).
(3)(-2x3)3·(x2)2.
【解析】(1)原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7
=2x9-27x9+25x9=0.
(2)原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4.
(3)原式=-8x9·x4=-8x13.
【易错提醒】注意运算顺序是先乘方,再乘除,最后算加减.
8.(8分)当a=,b=4时,求代数式a3(-b3)2+的值.
【解析】a3(-b3)2+
=a3b6-a3b6=a3b6.
当a=,b=4时,原式=a3b3b3=(ab)3b3=×1×43=56.
【培优训练】
9.(10分)试确定32013×272014的个位数字.
【解析】32013×272014
=32013×272013×27
=(3×27)2013×27
=812013×27,
又812013的个位数字是1,27的个位数字是7,
所以32013×272014的个位数字是7.
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课时提升作业(二十三)
整式的乘法(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列计算中,正确的有 ( )
①(2a-3)(3a-1)=6a2-11a+3;
②(m+n)(n+m)=m2+mn+n2;
③(a-2)(a+3)=a2-6;
④(1-a)(1+a)=1-a2.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选C.因为(2a-3)(3a-1)=6a2-11a+3;
(m+n)(n+m)=m2+2mn+n2;(a-2)(a+3)=a2+a-6;(1-a)(1+a)=1-a2,故正确的有2个.
2.如(x+m)与(x+3)的乘积中含x的一次项,则m的值不等于 ( )
A.-3 B.3 C.0 D.1
【解题指南】解答本题的两个关键
1.利用多项式乘以多项式的法则展开.
2.不含哪项则哪项的系数为零,但必须是合并同类项后的系数.
【解析】选A.(x+m)(x+3)=x2+(m+3)x+3m,乘积中含x的一次项,则m+3≠0,即m≠-3.
3.如图:长方形花园ABCD中,AB=a,AD=b,花园中建有一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK.若LM=RS=c,则花园中可绿化部分的面积为 ( )
A.bc-ab+ac+b2 B.a2+ab+bc-ac
C.ab-bc-ac+c2 D.b2-bc+a2-ab
【解析】选C.将两条路平移后剩余的图形面积为可绿化的面积:(a-c)(b-c)=ab-bc-ac+c2.
【易错提醒】平行四边形的面积为底×高,不要误以为是长×宽.本题会有无法求出平行四边形的面积的情况,或用总体-两条路面积的方法时,多减了重合部分的面积.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知a2-a+5=0,则(a-3)(a+2)的值是 .
【解析】(a-3)(a+2)=a2-a-6,
因为a2-a+5=0,所以a2-a=-5,
所以原式=-5-6=-11.
答案:-11
5.(2013·永州中考)定义为二阶行列式,规定它的运算法则为=ad-bc,那么当x=1时,二阶行列式的值为 .
【解析】=(x+1)(x-1)-1×0=x2-1,当x=1时,原式=12-1=0.
答案:0
6.(2013·滨州中考)观察下列各式的计算过程:
5×5=0×1×100+25,
15×15=1×2×100+25,
25×25=2×3×100+25,
35×35=3×4×100+25,
…… ……
请猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为 .
【解析】方法一:左边两个因数是相同的两位数,十位数字从0开始依次增加1,个数数字为5,故左边第n个算式表示为[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5];等号右边左边十位数字乘以比它大1的数字再乘以100,然后加上25,故表示为100n(n-1)+25;所以算式表示为[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5]=100n(n-1)+25.
方法二:左边的两个相同的因数分别看作是5×1,5×3,5×5……,故第n个是5(2n-1),所以算式表示为5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25.
答案:[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5]=100n(n-1)+25或5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25
三、解答题(共26分)
7.(8分)徐苑乔找来一张挂历画包装数学课本.已知课本长a,宽b,厚c,徐苑乔想将课本封面与封底的每一边都包进去m.问徐苑乔应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?
【解析】由题意得:需裁下长方形的面积为(a+2m)(2b+c+2m)=2ab+ac+2am+4bm+2cm+4m2.
所以应该在挂历画上裁下2ab+ac+2am+4bm+2cm+4m2的长方形.
【变式训练】王弈棋把一块长mm,宽nm的玻璃,长宽各裁掉am后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小),问台面面积是多少?
【解析】由题意知:台面面积为长为(m-a)m、宽为(n-a)m的长方形的面积,即(m-a)(n-a)=mn-am-an+a2(m2).
即台面面积是(mn-am-an+a2)m2.
8.(8分)甲、乙两人共同计算一道整式的乘法题(2x+a)(3x+b)后,发现两人的答案不一致,经过交流,乙发现甲由于抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为:6x2+11x-10;甲发现乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.你能知道式子中a,b的值各是多少吗?请帮助两位同学求出正确的答案.
【解析】由甲同学的做法可知,(2x-a)(3x+b)=6x2+11x-10,即6x2-(3a-2b)x-ab=6x2+11x-10,所以-(3a-2b)=11.①
由乙同学的做法可知,(2x+a)(x+b)=2x2-9x+10,即2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10,
所以a+2b=-9.②
由①②得解得
这道题正确的答案为:(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10.
【培优训练】
9.(10分)学习了幂的乘方、多项式与多项式相乘之后,你能求(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)的值吗?还有什么一般结论?
【探究过程】(1)先从简单的题目入手:
计算下列各式:
①(x-1)(x+1)= ;
②(x-1)(x2+x+1)= ;
③(x-1)(x3+x2+x+1)= ;
④(x-1)(x4+x3+x2+x+1)= .
……
由此可得,(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)= .
【猜想归纳】
(2)一般结论为:(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x2+x+1)= .
答案:(1)①x2-1 ②x3-1 ③x4-1
④x5-1 x100-1
(2)xn+1-1
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课时提升作业(二十二)
整式的乘法(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·湖州中考)计算6x3·x2的结果是 ( )
A.6x B.6x5 C.6x6 D.6x9
【解析】选B.6x3·x2=(6×1)(x3·x2)=6x5.
2.若xm+n=3,ym+2=2,那么(2xm·y2)(-3xn·ym)的值为 ( )
A.1 B.-1 C.36 D.-36
【解题指南】解答本题的关键
1.利用单项式乘以单项式的法则把算式转化成含有xm+n和ym+2的形式.
2.整体思想的运用,明确xm+n=3,ym+2=2.
【解析】选D.(2xm·y2)(-3xn·ym)=-6xm+nym+2=-6×3×2=-36.
3.(2013·河北中考)如图,淇淇和嘉嘉做数学游戏:
假设嘉嘉抽到牌的点数为x,淇淇猜中的结果应为y,则y= ( )
A.2 B.3 C.6 D.x+3
【解析】选B.y=(2x+6)×-x=x+3-x=3.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·义乌中考)计算:3a·a2+a3= .
【解析】3a·a2+a3=3a3+a3=4a3.
答案:4a3
5.若(am+1bn+2)·(a2n-1·b)=a5b3,则m+n= .
【解析】(am+1bn+2)·(a2n-1·b)=am+2nbn+3=a5b3,
所以m+2n=5,n+3=3,解之得:m=5,n=0.
故m+n=5.
答案:5
6.(2013·巴中中考)观察下面的单项式:a,-2a2,4a3,-8a4,…根据你发现的规律,第8个式子是 .
【解题指南】本题的单项式的三个因素的确定
1.符号的确定:(-1)n+1.
2.系数绝对值为2n-1.
3.字母不变为a,指数为n.
【解析】第8个式子为-27a8=-128a8.
答案:-128a8
【互动探究】若将题干中“a,-2a2,4a3,-8a4,…”改为“-a,+2a2,-4a3,+8a4,…”,则第n个式子是 .
【解析】由“-a,+2a2,-4a3,+8a4,…”可知符号为(-1)n;
系数绝对值为2n-1;字母不变为a,指数为n.第n个式子是(-1)n2n-1an.
答案:(-1)n2n-1an
三、解答题(共26分)
7.(8分)解方程:8x(5-x)=19-2x(4x-3).
【解析】由题得40x-8x2=19-8x2+6x,
40x-6x=19,
34x=19,
x=.
8.(8分)如图,一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦,求这块地的面积.
【解析】长方形地块的长为:(3a+2b)+(2a-b),宽为4a,
这块地的面积为:4a·[(3a+2b)+(2a-b)]
=4a·(5a+b)=4a·5a+4a·b=20a2+4ab.
答:这块地的面积为20a2+4ab.
【变式训练】某公园欲建如图所示的草坪(阴影部分),需要铺设草坪 m2,若1m2草坪需120元,则为修建该草坪需投资 元(单位:m).
【解析】3a·2a+4a·2a+a·3a+a·4a
=6a2+8a2+3a2+4a2=21a2(平方米).
120×21a2=2520a2(元).
答案:21a2 2520a2
【培优训练】
9.(10分)阅读:已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.
分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.
解:2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y
=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y
=2×33-6×32-8×3=-24.
你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!
已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.
【解析】(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)
=-4a3b3+6a2b2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab,
当ab=3时,原式=-4×33+6×32-8×3=-108+54-24=-78.
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课时提升作业(二十五)
整式的乘法(第4课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.已知a=1.6×109,b=4×103,则a2÷2b的值为 ( )
A.2×107 B.4×1014
C.3.2×105 D.3.2×1014
【解题指南】解答本题的三个关键
1.把a,b分别用1.6×109,4×103来代替.
2.运算顺序:先算乘方再算乘除.
3.用括号体现整体思想.
【解析】选D.a2÷2b=(1.6×109)2÷[2×(4×103)]=(2.56×1018)÷(8×103)=0.32×1015=3.2×1014.
2.对于任意正整数n,按照n→平方→+n→÷n→-n→答案程序计算,应输出的答案是 ( )
A.n2-n+1 B.n2-n
C.3-n D.1
【解析】选D.由题意,得(n2+n)÷n-n=n+1-n=1.
3.张晓将一多项式[(17x2-3x+4)-(ax2+bx+c)],除以(5x+6)后,得商式为(2x+1),余式为0.则a-b-c的值为 ( )
A.3 B.23 C.25 D.29
【解析】选D.∵(5x+6)·(2x+1)=5x·2x+5x·1+6·2x+6·1=10x2+17x+6,
[(17x2-3x+4)-(ax2+bx+c)]=(17-a)x2+(-3-b)x+(4-c),
∴10x2+17x+6=(17-a)x2+(-3-b)x+(4-c),
∴解得
∴a-b-c=7-(-20)-(-2)=29.
【变式训练】若已知被除式是x3+3x2-1,商式是x,余式是-1,求除式.
【解析】由题意知:[x3+3x2-1-(-1)]÷x=(x3+3x2)÷x=x2+3x.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知4a3bm÷36anb2=b2,则m,n的值分别为 .
【解析】4a3bm÷36anb2=a3-nbm-2=b2,所以m-2=2,3-n=0,则m=4,n=3.
答案:4,3
5.小明课堂笔记上的一道题(21x4y3 +7x2y2)÷(-7x2y)= +5xy-y被除式的第二项被钢笔水弄污了,商的第一项也看不清了.这两项是 、 .
【解析】被除式的第二项为(-7x2y)×5xy=-35x3y2;
商的第一项为21x4y3÷(-7x2y)=-3x2y2.
答案:-35x3y2 -3x2y2
6.已知梯形的面积是3a3b4-ab2,上、下底的长度之和为2b2,那么梯形的高为 .
【解题指南】本题涉及的两个等量关系
1.梯形面积=(上底+下底)×高÷2.
2.乘除互为逆运算,可利用梯形面积公式求出梯形的高.
【解析】梯形的高为2(3a3b4-ab2)÷2b2
=(6a3b4-2ab2)÷2b2=3a3b2-a.
答案:3a3b2-a
三、解答题(共26分)
7.(8分)(1)÷·.
(2)÷(-2a2)2.
【解析】(1)原式=a2n+2b4÷·=25a2·a2mb2n=a2+2mb2n.
(2)原式=[5a4(a2-4)+(-2)5·a10÷a2]÷4a4
=[5a4(a2-4)+(-2)5a8]÷4a4
=(a2-4)-8a4=-8a4+a2-5.
8.(8分)(2013·娄底中考)先化简,再求值:
(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy,其中x=-1,y=-3.
【解析】原式=x2-y2-2x2+4y2=-x2+3y2,
当x=-1,y=-3时,原式=-(-1)2+3(-3)2=-1+27=26.
【变式训练】化简求值:
[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]÷(-2y),其中,y-x=-.
【解析】原式=[x2-y2-(x2-xy-xy+y2)+2xy-2y2]÷(-2y)=(x2-y2-x2+2xy-y2+2xy-2y2)÷(-2y)=(-4y2+4xy)÷(-2y)=2y-2x,
当y-x=-时,
原式=2y-2x=2(y-x)=2×=-1.
【培优训练】
9.(10分)一堂习题课上,数学老师在黑板上出了这样一道题:当a=2015,b=2时,求[3a2b(b-a)+a(3a2b-ab2)]÷a2b的值.一会儿,雯雯说:“老师,您给的′a=
2015′这个条件是多余的.”一旁的小明反驳道:“题目中有两个字母,不给这个条件,肯定求不出结果!”他们谁说得有道理?请说明理由.
【解析】因为[3a2b(b-a)+a(3a2b-ab2)]÷a2b
=(3a2b2-3a3b+3a3b-a2b2)÷a2b=2a2b2÷a2b=2b.
所以化简的结果中不含a,这样代入求值就与a无关,所以雯雯说得有道理.
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课时提升作业(二十四)
整式的乘法(第3课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若xm=9,xn=6,xk=4,则xm-2n+2k的值为 ( )
A.0 B.1 C.4 D.8
【解析】选C.xm-2n+2k=xm÷x2n·x2k=xm÷(xn)2·=9÷62×42=9÷36×16=4,故xm-2n+2k的值为4.
2.已知5x-3y-2=0,105x÷103y的值为 ( )
A.0 B.1 C.10 D.100
【解题指南】解答本题的两个关键
1.利用同底数幂的除法法则进行运算.
2.利用整体思想求出5x-3y的值.
【解析】选D.5x-3y-2=0,
所以5x-3y=2.105x÷103y=105x-3y=102=100.
3.计算(x-2y)4÷(x-2y)2÷(2y-x)的结果是 ( )
A.x-2y B.-x-2y
C.x+2y D.-x+2y
【解析】选D.(x-2y)4÷(x-2y)2÷(2y-x)
=(x-2y)4÷(x-2y)2÷[-(x-2y)]
=-(x-2y)4-2-1=-(x-2y)=-x+2y.
【易错提醒】底数互为相反数的幂的转化
底数互为相反数的偶次幂相等,底数互为相反数的奇次幂互为相反数.在转化时容易出现符号混乱的情况.
【互动探究】若将题干改为下面的式子,则整式的值是多少?
÷(x-2y)2n÷(2y-x)2n+1
【解析】÷(x-2y)2n÷(2y-x)2n+1
=(2y-x)2n+2÷(2y-x)2n÷(2y-x)2n+1
=(2y-x)2n+2-2n-2n-1=(2y-x)-2n+1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.若(-2)x=(-2)3÷(-2)2x,则x= .
【解析】(-2)3÷(-2)2x=(-2)3-2x且(-2)x
=(-2)3÷(-2)2x,则3-2x=x,所以x=1.
答案:1
5.2014年2月12日17时19分,新疆和田地区发生里氏7.3级地震.根据里氏震级的定义,地震所释放的相对能量E与地震级数n的关系为:E=10n,那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的 倍.
【解析】∵9级地震所释放的相对能量为109,7级地震所释放的相对能量为107,∴109÷107=102=100.
答案:100
6.(a-3)a=1,则a= .
【解题指南】本题涉及的乘方为1的情况有三种
1.非零数的零次幂.
2.1的非零次幂.
3.-1的偶次幂.
【解析】当a=0时,(-3)0=1;当a-3=1,即a=4时,(4-3)4=1;当a-3=-1时,a=2,(-1)2=1.
答案:0或4或2
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·茂名中考)先化简,后求值:a2·a4-a8÷a2+(a3)2,其中a=-1.
【解析】原式=a6-a6+a6=a6.
当a=-1时,原式=(-1)6=1.
【变式训练】计算:x14÷x14×x3÷x2-x8÷.
【解析】原式=x14-14+3-2-x8÷x3+4=x-x8-7=x-x=0.
8.(8分)若32·92a+1÷27a+1=81,求a的值.
【解析】∵32·92a+1÷27a+1=32·(32)2a+1÷(33)a+1
=32·34a+2÷33a+3=34a+4÷33a+3=3a+1,
∴3a+1=81=34,∴a+1=4,∴a=3.
【培优训练】
9.(10分)观察下列过程,并回答问题:56×5-3=56×=56÷53=56-3=53=56+(-3),74÷7-2=74÷=74×72=74+2=76=74-(-2).
(1)从上面的运算中,你对于am·an=am+n(a≠0,m,n为正整数),am÷an=am-n(m,n为正整数,且m>n,a≠0)有什么新的认识?
(2)试用你得到的新知识计算:①3-3×3-2;
②87÷8-4.
【解析】(1)对于am·an=am+n和am÷an=am-n,当m,n为负整数时,公式仍然成立.
(2)①3-3×3-2=3-3+(-2)=3-5.
②87÷8-4=87-(-4)=811.
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课时提升作业(十九)
同底数幂的乘法
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.81×27可记为 ( )
A.93 B.37 C.36 D.312
【解题指南】解答本题的关键:
把81和27分别表示成同一个底数的幂的形式.
【解析】选B.81×27=34×33=37.
2.下列计算错误的是 ( )
A.(-b)3·(-b)5=b8
B.(-a)4·(-a)=a5
C.(a-b)3·(b-a)2=(a-b)5
D.(-m)5·(-m2)=m7
【解析】选B.(-a)4·(-a)=(-a)4+1
=(-a)5=-a5.
3.下列各式能用同底数幂乘法法则进行计算的是 ( )
A.(x+y)2·(x-y)2 B.(x+y)2(-x-y)
C.(x+y)2+2(x+y)2 D.(x-y)2(-x-y)
【解析】选B.(x+y)2(-x-y)=-(x+y)2(x+y)
=-(x+y)3.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.若a5·a2x=a19,则x= .
【解析】∵a5·a2x=a5+2x=a19,
∴5+2x=19,∴x=7.
答案:7
5.(2014·仁德四中质检)已知x3=m,x5=n,则x14= .
【解题指南】解题的关键:
根据同底数幂的运算法则,把14转化为3与5的和的关系.
【解析】x14=x3+3+3+5=x3·x3·x3·x5=m3n.
答案:m3n
6.若m,n都是正整数(m【解析】32=25,所以m+n=5,又因为m为小于n的正整数,所以m=1,n=4,或m=2,n=3,所以mn的值为4或6.
答案:4或6
三、解答题(共26分)
7.(8分)化简计算:
(1)(2x-y)3·(y -2x)·(2x-y)4.
(2)am+1·a3-2am·a4-3a2·am+2.
【解析】(1)原式=-(2x-y)3·(2x-y)·(2x-y)4
=-(2x-y)8.
(2)原式=am+4-2am+4-3am+4=-4am+4.
8.(8分)已知ax=5,ay=4,求下列各式的值:
(1)ax+2. (2)ax+y+1.
【解析】(1)ax+2=ax×a2=5a2.
(2)ax+y+1=ax·ay·a=5×4×a=20a.
【培优训练】
9.(10分)已知2a=3,2b=6,2c=12,试确定a,b,c之间的关系.
【解析】(答案不唯一)方法一:因为12=3×22=6×2,
所以2c=12=3×22=2a×22=2a+2,即c=a+2,①
又因为2c=12=6×2=2b×2=2b+1,所以c=b+1,②
①+②得2c=a+b+3.
方法二:因为2b=6=3×2=2a×2=2a+1,
所以b=a+1,①
又因为2c=12=6×2=2b×2=2b+1,
所以c=b+1,②
①-②得2b=a+c.
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