课件17张PPT。14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式平方差公式：
(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)=___________=_____.
(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两
个数的_______.
(3)符号语言：(a+b)(a-b)=_____.a2-ab+ab-b2a2-b2平方差a2-b2【思维诊断】（打“√”或“×”）
1.(x+1)(x-1)= x2-1. ( )
2.(m+2)(m-2)=m2-4. ( )
3.(2x+1)(2x-1)=2x2-1. ( )
4.(x+5y)(x-5y)=x2-5y2.( )
5.(a+b)(a-2b)=a2-2b2. ( )√√×××知识点一 利用平方差公式计算
【示范题1】运用平方差公式计算：
(1)(-2x+3y)(-2x-3y).
(2)(b+3a)(3a-b).
(3)(-2x2-5)(2x2-5).【思路点拨】(1)观察两个二项式中各项的特点，分清相同的项和相反的项.
(2)根据平方差公式用相同的项的平方减去相反的项的平方去计算.
【自主解答】(1)(-2x+3y)(-2x-3y)=(-2x)2-(3y)2=4x2-9y2.
(2)(b+3a)(3a-b)=(3a+b)(3a-b)=(3a)2-b2=9a2-b2.
(3)(-2x2-5)(2x2-5)=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4.【想一想】
如何确定平方差公式中哪个是被减数，哪个是减数?
提示：其中符号相同项的平方作为被减数；符号不同的项的平方作为减数.【微点拨】
运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法. 【方法一点通】
平方差公式的结构特点
1.等号左边：(1)两个二项式的积.
(2)两个二项式中一项相同，另一项互为相反数.
2.等号右边：(1)二项式.
(2)平方项的两项符号相反.知识点二 平方差公式的运用
【示范题2】计算：(1)
(2)（a+2b）(a-2b)- b(a-8b).【解题探究】1.把（1）中两项的积变成哪两数的和与差的
积的形式？
提示：把 改写为 这样可用平方差
公式计算.
2.运算顺序是怎样的？
提示：运算顺序为先算乘法，再算减法.【尝试解答】(1)
(2)(a+2b)(a-2b)- b(a-8b)=a2-4b2- ab+4b2=a2- ab.【想一想】
下面算式能连续两次使用平方差公式计算吗?
(x-y)(x2+y2)(x+y)
提示：能.
(x-y)(x2+y2)(x+y)
=(x-y)(x+y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)
=x4-y4.【备选例题】用乘法公式计算：（1）
（2）化简：(1+a)(1-a)+a（a-3）.
【解析】（1）
（2）（1+a）（1-a）+a（a-3）=1-a2+a2-3a=1-3a.【方法一点通】
平方差公式的应用及注意事项
1.两个应用：
(1)利用平方差公式简化一些数字计算.
(2)逆用平方差公式进行化简、计算.
2.两点注意：
(1)计算结果一定要注意字母的系数、指数的变化.
(2)在运算过程中，有时可以反复应用公式.课件15张PPT。14.2.2 完全平方公式
第1课时完全平方公式：
(1)字母表示：
(a+b)2=_________；
(a-b)2=_________.
(2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方___，
_____(或_____)它们的积的__倍.a2+2ab+b2a2-2ab+b2和加上减去2【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.(m+n)2=m2+mn+n2. ( )
2.(x+y)2=x2+2xy+y2. ( )
3.(2x-3)2=4x2-12x+9. ( )
4.(m+2n)2=m2+2mn+4n2. ( )
5.(5a+2b)2=25a2+4b2+10ab. ( )×××√√知识点一 完全平方公式
【示范题1】运用完全平方公式计算：
（1） （2）（-x-y）2.
【思路点拨】（1）可以看成2y和 两数差的平方，运用两数
差的完全平方公式来计算，也可以看成2y和- 两数和的平
方，运用两数和的完全平方公式来计算.
（2）可以看成是-x与-y两数和的平方，也可以看成-x与y两数
差的平方，利用完全平方公式来计算.【自主解答】（1）方法一：
方法二：
（2）方法一：（-x-y）2=［（-x）+（-y）］2
=（-x）2+2（-x）（-y）+（-y）2
=x2+2xy+y2.
方法二：（-x-y）2=［（-x）-y］ 2=（-x）2-
2（-x）·y+y2=x2+2xy+y2.【想一想】
能运用完全平方公式来计算吗？
提示：可以.【微点拨】
完全平方公式在应用过程中，需要注意的问题.
1.公式右边共有3项.
2.两个平方项符号永远为正.
3.中间项的符号由等号左边的两项符号是否相同决定,若两项符号不相同,中间项的符号为负,若两项符号相同,中间项的符号为正.【方法一点通】
完全平方公式的结构特征
①（a+b）2=a2+2ab+b2;
②（a-b）2=a2-2ab+b2.
运用时注意以下几点：
1.将公式转化成数学模型，套用模型计算时，注意选择适合的模型.
2.公式中的字母a,b可以是数、单项式或多项式.
3.公式的结果有三项，不要漏项和写错符号.
4.中间项是等号左边两项乘积的2倍.知识点二 完全平方公式的应用
【示范题2】已知：a+b=3，ab=-4，求a2+b2的值.
【思路点拨】如果出现a，b的平方项并与ab(的积)发生联系，只需依据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行变形，把a2+b2当成一个整体进行求解即可.
【自主解答】∵(a+b)2=9，
∴a2+b2+2ab=9，
∴a2+b2+2×(-4)=9，
∴a2+b2=17.【想一想】
[(2x+y)(2x-y)]2能用完全平方公式来计算吗?
提示：能.[(2x+y)(2x-y)]2=(4x2-y2)2=16x4-8x2y2+y4.【备选例题】若(a+b)2=7，(a-b)2=3，则a2+b2的值是多少?
【解析】∵(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，
∴将两式相加可得2(a2+b2)=10，
∴a2+b2=5.【方法一点通】
完全平方公式的“四种恒等变形”
1.a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.
2.(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2；
(a+b)2-(a-b)2=4ab.
3.ab= ［(a+b)2-（a2+b2）］= ［(a+b)2-(a-b)2］=
4.课件17张PPT。14.2.2 完全平方公式
第2课时添括号法则：
(1)语言叙述：添括号时，如果括号前面是___号，括到括号
里的各项都_____符号；
如果括号前面是___号，括到括号里的各项都_____符号.
(2)符号表示：a-b-c=a-______；
a+b+c=a+______.正不变负改变(b+c)(b+c)【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.2a-b- =2a-（b+ （ ）
2.m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）.（ ）
3.2x-3y+2=-（2x+3y-2）.（ ）
4.a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c-5）.（ ）√√××知识点一 添括号法则
【示范题1】在下列各式的括号内填上适当的项：
(1)x3-3x2y+3xy2-y3=x3+( ).
(2)2-x2+2xy-y2=2-( ).【解题探究】(1)①把哪些项放在括号内?
提示：-3x2y，3xy2，-y3.
②括号前是哪种符号?
提示：正号.
③括到括号内的项的符号改变吗?
提示：不改变.
(2)①把哪些项放在括号内?
提示：-x2，2xy，-y2
②括号前是哪种符号?
提示：负号.【尝试解答】(1)x3-3x2y+3xy2-y3
=x3+(-3x2y+3xy2-y3).
(2)2-x2+2xy-y2=2-(x2-2xy+y2).
答案：(1)-3x2y+3xy2-y3 (2)x2-2xy+y2【想一想】
括号前是正号，用括号括起来的各项的符号有什么变化?括号前是负号，用括号括起来的各项的符号有什么变化?
提示：若是正号，括号里各项不变符号；若是负号，括号里各项均改变符号.【微点拨】
添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确.【方法一点通】
添括号的巧记法则及“三点注意”
1.巧记法则：遇“+”不变，遇“-”都变.
2.三点注意：
(1)是哪些项需要放进括号里面去；
(2)这些项在放进括号前是什么符号；
(3)所添括号前是什么符号.知识点二 添括号法则的应用
【示范题2】运用乘法公式计算：
(1)(m-2n-3t)(m+2n+3t).
(2)(2x-3y-4z)2.
【思路点拨】利用添括号法则把多项式化成符合公式的形式，再分别利用相应的公式计算.【自主解答】
(1)原式=[m-(2n+3t)][m+(2n+3t)]=m2-(2n+3t)2
=m2-(4n2+12nt+9t2)=m2-4n2-12nt-9t2.
(2)原式=[2x-(3y+4z)]2=(2x)2-2·2x·(3y+4z)+(3y+4z)2
=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2
=4x2+9y2+16z2-12xy+24yz-16xz.【想一想】
在添括号把相乘的两个三项式转化成(a+b)(a-b)的形式时，如何判断a，b?
提示：观察两个三项式里的每一项，符号不变的项为a，符号改变的为b.【备选例题】计算：(xy-1+x+y)(xy-1-x-y).
【解析】原式=[(xy-1)+(x+y)][(xy-1)-(x+y)]
=(xy-1)2-(x+y)2
=(x2y2-2xy+1)-(x2+2xy+y2)
=1-x2-y2+x2y2-4xy.【方法一点通】
在乘法公式中添括号的“两种技巧”
1.当两个三项式相乘，且它们只含相同项与相反项时，通过添括号把相同项、相反项分别结合，一个化为“和”的形式，一个化为“差”的形式，可利用平方差公式.
2.一个三项式的平方，通过添括号把其中两项看成一个整体，可利用完全平方公式.温馨提示：
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提技能·题组训练
利用平方差公式计算
1.下列哪个多项式相乘可以用平方差公式 ( )
A.(2a+3b)(-2a-3b) B.(-2a+3b)(3a+2b)
C.(-2a+3b)(-2a+3b) D.(-2a-3b)(2a-3b)
【解析】选D.A中两组数分别互为相反数；C中两组数分别相等；B中是两数之和乘以另外两数的和，都不能满足运用平方差公式的条件.
2.为了应用平方差公式计算(2x+y+z)(y-2x-z)，下列变形正确的是 ( )
A.[2x-(y+z)][2x-(y+z)]
B.[2x+(y+z)][2x-(y+z)]
C.[y+(2x+z)][y-(2x+z)]
D.[z+(2x+y)][z-(2x+y)]
【解析】选C.分析可知，2x，z异号，y同号，
∴(2x+y+z)(y-2x-z)=[y+(2x+z)][y-(2x+z)]=y2-(2x+z)2.
3.下列运算正确的是 ( )
A.a3÷a=a2 B.a2·a3=a6
C.=2a2 D.=-a2+b2
【解析】选D.A中，由单项式相除的法则可知，a3÷a=2a2，故A错误；B中，由同底数幂相乘的法则可知，a2·a3=a5，故B错误；C中，=4a2，故C错误；D中，(a-b)(-a-b)=-(a-b)(a+b)=-(a2-b2)=-a2+b2，故D正确.
4.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y)，其中x=8，y=-8.
【解析】(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y)
=x2-4y2+(2x+y)(2x-y)
=x2-4y2+4x2-y2=5x2-5y2.
当x=8，y=-8时，原式=5×82-5×(-8)2=0.
5.计算：(1)(2m+3n)(2m-3n).(2)(b+2a)(2a-b).
(3)(-x-5y)(x-5y).
【解析】(1)(2m+3n)(2m-3n)=(2m)2-(3n)2=4m2-9n2.
(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
(3)(-x-5y)(x-5y)=(-5y+x)(-5y-x)=(-5y)2-x2=25y2-x2.
6.(2013·台州中考)化简：(x+1)(x-1)-x2.
【解析】原式=x2-1-x2=-1.
平方差公式的运用
1.为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比 ( )
A.增加6m2 B.增加9m2
C.减少9m2 D.保持不变
【解析】选C.设正方形草坪的原边长为a，则面积为a2；将正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m后，边长为a+3，a-3，面积为a2-9.故减少9m2.
2.[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷(xy)的值是 .
【解析】原式=[(xy)2-4-2x2y2+4]÷(xy)=(-x2y2)÷(xy)=-xy.
答案：-xy
3.若(-7m+A)(4n+B)=16n2-49m2，则A= __________，
B= .
【解析】观察所给的等式，符合平方差公式.
答案：4n 7m
4.解方程：(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1).
【解析】化简，得
4x2-1+3(x2-4)=7x2-7x+x-1，
4x2-1+3x2-12=7x2-7x+x-1，
即-13=-6x-1，
解得x=2.
5.对于任意一个正整数n，整式A=(4n+1)·(4n-1)-(n+1)·(n-1)能被15整除吗?请说明理由.
【解析】能.理由如下：
A=(4n)2-1-(n2-1)=16n2-1-n2+1=15n2.
因为n是正整数，
所以15n2一定能被15整除.
6.计算：20132-2012×2014.
【解析】20132-2012×2014=20132-(2013-1)×(2013+1)=20132-(20132-1)=1.
【知识归纳】平方差公式的运用
1.平方差公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式.
2.如果形式上不符合公式特征，可以通过一些简单的转化，使它符合平方差公式的特征，用来简化计算.
7.先化简，后求值：，其中a=1.
【解析】=(a2-9)(a2+9)=(a2)2-92=a4-81，
把a=1代入得原式=14-81=-80.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算：(3x+y)(3x-y).
(1)错因：_________________________.
(2)纠错：_________________________.
答案：(1)3x项中的系数3忘记平方. (2)原式=(3x)2-y2=9x2-y2.
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提技能·题组训练
完全平方公式
1.(2013·湘西中考)下列运算正确的是 ( )
A.a2·a4=a8 B.(x-2)(x+3)=x2-6
C.(x-2)2=x2-4 D.2a+3a=5a
【解析】选D.因为a2·a4=a6，所以选项A错误；因为(x-2)(x+3)=x2+x-6，所以选项B错误；因为(x-2)2=x2-4x+4，所以选项C错误；根据合并同类项的法则知2a+3a=5a，所以选项D正确.
2.(2xy+3)2的值为 ( )
A.4xy+12xy+9 B.4x2y2+12xy+9
C.4x2y2+6xy+9 D.4x2y2-6xy+9
【解题指南】在本题中，把2xy看成a，把3看成b，就可用完全平方公式来计算.
【解析】选B.(2xy+3)2=(2xy)2+12xy+32=4x2y2+12xy+9.
【变式训练】(-x2-y)2等于 ( )
A.-x2-2xy+y2 B.-x4-2x2y+y2
C.x4+2x2y+y2 D.x4-2xy-y2
【解析】选C.原式=(-x2)2-2(-x2)y+y2=x4+2x2y+y2.
3.(2013·枣庄中考)图(1)是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ( )
A.2ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-b2
【解析】选C.空白面积=(a+b)2-4×ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2，故C正确.
4.(2013·镇江中考)化简：(x+1)2-2x= .
【解析】原式=x2+2x+1-2x=x2+1.
答案：x2+1
5.计算：(1)(-x+3y)2.
(2)(2x+3)(-2x-3).
【解析】(1)(-x+3y)2=(-x)2+2·(-x)·3y+(3y)2
=x2-6xy+9y2.
(2)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)(2x+3)=-(2x+3)2
=-(4x2+12x+9)=-4x2-12x-9.
完全平方公式的应用
1.下列各式是完全平方式的是 ( )
A.x2-x+ B.1+x2
C.x+xy+1 D.x2+x+1
【解题指南】完全平方式的特点：共三项，其中两项是平方项，第三项是平方项中底数乘积的2倍.即：a2±2ab+b2.
【解析】选A.x2-x+=x2-2×x×+.
2.已知a+b=5，ab=6，则(a-b)2的值为 ( )
A.1 B.4 C.9 D.16
【解析】选A.(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×6=1.
3.(2013·珠海中考)已知实数a，b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2= .
【解析】∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5.
答案：5
4.已知x2-5x+1=0，则x2+的值为 .
【解析】将x=0代入x2-5x+1得该式子的值不等于0，故x2-5x+1=0中的x≠0，则x2-5x+1=0两边都除以x得，x+-5=0，
即x+=5，又x2+=-2，将x+=5代入可得x2+=52-2=23.
答案：23
【变式训练】若x+=5，求的值.
【解析】x2+=-2=52-2=23，
=x2+-2=23-2=21.
【知识归纳】完全平方公式的变形应用
1.完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式.掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题.
2.完全平方公式常见的变形有
a2+b2=(a+b)2-2ab，
a2+b2=(a-b)2+2ab，
(a+b)2-(a-b)2=4ab，
3.上面变形中，共有a2+b2，ab，a+b，a-b四个量，只要知道任何两个量，就可以求出其余的两个量.
5.运用完全平方公式计算：
(1)1012. (2)99982.
【解析】(1)1012=(100+1)2
=1002+2×100×1+12
=10 000+200+1
=10201.
(2)99982=(104-2)2=108-2×104×2+4
=100 000 000-40 000+4
=99 960 004.
6.如果x2-y2=4，那么(x-y)2(x+y)2的结果是多少?
【解析】(x-y)2(x+y)2=[(x-y)(x+y)]2=(x2-y2)2=42=16.
7.(2013·邵阳中考)先化简，再求值：
(a-b)2+a(2b-a)，其中，a=-，b=3.
【解析】(a-b)2+a(2b-a)=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2.
当a=-，b=3，原式=32=9.
【变式训练】先化简，再求值：
(x+3)2+(2+x)(2-x)，其中x=-2.
【解析】原式=x2+6x+9+4-x2=6x+13，
将x=-2代入，原式=6x+13=6×(-2)+13=1.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算：(x+2y)2.
(1)错因：_________________________________.
(2)纠错：_________________________________.
答案：(1)混淆了完全平方公式与积的乘方的性质
(2)原式=x2+4xy+4y2
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提技能·题组训练
添括号法则
1.学习了添括号后，某同学在添括号后得到：-(-a+b-1)，则添括号前是 ( )
A.-a+b-1 B.a+b+1
C.a-b+1 D.-a+b+1
【解析】选C.如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号，故C正确.
2.在括号内填上适当的项.
(1)a-2b+c+d=a-( ).
(2)-a-3b+c=-( ).
(3)x2-2y2+2x-3y=( )+2x-3y.
(4)x2-y2-x-y=x2-x-( ).
【解析】所添括号前是正号，括到括号里的各项都不改变符号，所添括号前是负号，括到括号里的各项都改变符号.
答案：(1)2b-c-d (2)a+3b-c (3)x2-2y2 (4)y2+y
3.在括号里填上适当的项：
(a+b-c-d)(a-b+c+d)=[(a-d)+( )]·[a+d-( )].
【解析】∵第一个空前是“+”号，∴把b，-c不改变符号括到括号里；∵第二个空前是“-”号，∴把-b，+c都改变符号括到括号里.
答案：b-c b-c
4.对于式子a-b+c-d-e+f-g，把第二、三、四项添进带“-”号的括号里，第五、六项添进带“+”的括号里.
【解析】a-b+c-d-e+f-g
= a-(b-c+d)+(-e+f)-g.
添括号法则的应用
1.为了运用平方差公式计算(x+3y-z)(x-3y+z)，下列变形正确的是 ( )
A.[x-(3y+z)]2
B.[(x-3y)+z][(x-3y)-z]
C.[x+(3y-z)][x-(3y-z)]
D.[(x+3y)-z][(x+3y)+z]
【解析】选C.把3y-z看成一个整体，添括号和x组成和与差的形式，构成平方差公式.
2.(2013·盐城中考)若x2-2x=3，则代数式2x2-4x+3的值为 .
【解析】2x2-4x+3=2(x2-2x)+3=2×3+3=9.
答案：9
3.(a+2b+3c)(a-2b-3c)=( )2-( )2.
【解析】(a+2b+3c)(a-2b-3c)
=[a+(2b+3c)][a-(2b+3c)]
=a2-(2b+3c)2.
答案：a 2b+3c
4.计算：(x+y+z)(x-y-z)= .
【解析】原式=[x+(y+z)][x-(y+z)]
=x2-(y+z)2=x2-y2-2yz-z2.
答案：x2-y2-2yz-z2
5.运用乘法公式计算：
(1)(a+b+c)2.(2)(a-b-3)(a-b+3).
【解析】(1)原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2c(a+b)+c2
=a2+b2+c2+2ac+2ab+2bc.
(2)原式=[(a-b)+3][(a-b)-3]=(a-b)2-9= a2-2ab+b2-9.
【变式训练】用乘法公式计算：
(x+y+1)(x+y-1).
【解析】(x+y+1)(x+y-1)
=(x+y)2-1
=x2+2xy+y2-1.
6.用乘法公式计算：
(2x-y+3)2-(2x-y-3)2.
【解析】原式=[(2x-y+3)+(2x-y-3)][(2x-y+3)-(2x-y-3)]
=(2x-y+3+2x-y-3)(2x-y+3-2x+y+3)
=(4x-2y)×6
=24x-12y.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算：(3a+b-2)(3a-b+2).
(1)找错：从第_____步开始出现错误.
(2)纠错：_______________________ ______________________________.
答案：(1)①
(2)原式=[3a+(b-2)][3a-(b-2)]=(3a)2-(b-2)2=9a2-b2+4b-4
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课时提升作业(二十七)
完全平方公式(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若a,b是正数,a-b=1,ab=2,则a+b= ( )
A.-3 B.3 C.±3 D.9
【解析】选B.(a+b)2=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2+4ab=(a-b)2+4ab=12+4×2=9.
∴a+b=±3,又∵a,b是正数,∴a+b=3.
2.方程(4x+5)2-(4x+5)(4x-5)=0的解是 ( )
A.x=- B.x=- C.x=-1 D.x=1
【解题指南】解答本题的三个关键
1.平方差公式.
2.完全平方公式.
3.移项、合并同类项等解方程的方法步骤.
【解析】选A.16x2+40x+25-16x2+25=0,
所以40x=-50,x=-.
3.若x2+6x+k2是一个完全平方式,则k的值为 ( )
A.3 B.±3 C.9 D.±9
【解析】选B.因为x2+6x+9是一个完全平方式,所以k2=9即k=±3.
【易错提醒】根据完全平方公式的特征可知,第三项应是b2,所以要明确b2=9,则b有两个值,不能漏掉-3.
【变式训练】如果4x2+kx+36是一个完全平方公式,则k的值是多少?
【解析】因为4x2±24x+36是一个完全平方式,所以k=±24.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·吉林中考)若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .
【解析】方法一:由x2+6x=7得x2+6x+9=7+9,
∴(x+3)2=16,所以m=3.
方法二:由(x+m)2=16,得x2+2mx+m2=16,整理得x2+2mx=16-m2,与已知条件比较得2m=6且16-m2=7,所以m=3.
答案:3
5.已知x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式x2+4x+6的值相等,且m-n+2≠0,则当x=3(m+n+1)时,多项式x2+4x+6的值等于 .
【解析】x2+4x+6=+2,若x取不同的两个值,但计算结果相同,则这两个x的值的和一定为-4.∴(2m+n+2)+(m+2n)=-4,化简得3m+3n=-6.∴3(m+n+1)=-3,∴原式=-12+6=3.
答案:3
6.已知:x2+y2=25,x+y=7,且x>y,则x-y= .
【解题指南】本题涉及的三个等量关系
1.(a+b)2=a2+2ab+b2.
2.(a-b)2=a2-2ab+b2.
3.(a+b)2-(a-b)2=4ab.
【解析】∵x+y=7,∴(x+y)2=49,
∴x2+2xy+y2=49,
∴2xy=49-(x2+y2)=49-25=24,
∴(x-y)2=x2-2xy+y2=25-24=1,
又x>y,∴x-y=1.
答案:1
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·北京中考)已知x2-4x-1=0,求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.
【解析】(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2
=4x2-12x+9-x2+y2-y2
=3x2-12x+9=3(x2-4x+3).
∵x2-4x-1=0,
∴把x2-4x=1代入化简后的代数式得,原式=12.
【变式训练】如果2x-y=10,求[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)]÷(4y)的值.
【解析】原式=(x2+y2- x2+2xy-y2+2xy-2y2)÷(4y)=(4xy-2y2)÷(4y)=x-y.
8.(8分)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,求a+b的值.
【解析】∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,
∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63,
∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,
∴2a+2b=8或2a+2b=-8,
∴a+b=4或a+b=-4,∴a+b的值为4或-4.
【培优训练】
9.(10分)(2013·达州中考)选取二次三项式ax2+bx+c中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.例如:
①选取二次项和一次项配方:x2-4x+2=-2;
②选取二次项和常数项配方:x2-4x+2=+x,或x2-4x+2=-x;
③选取一次项和常数项配方:x2-4x+2=-x2
根据上述材料,解决下面问题:
(1)写出x2-8x+4的两种不同形式的配方.
(2)已知x2+y2+xy-3y+3=0,求xy的值.
【解析】(1)x2-8x+4=x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12;
x2-8x+4=(x-2)2+4x-8x=(x-2)2-4x.
(2)x2+y2+xy-3y+3=0,
+3=0,
则x+y=0,-1=0,
解得x=-1,y=2,所以xy=(-1)2=1.
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课时提升作业(二十八)
完全平方公式(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若3x2-2x=6,则-3x2+2x-的值为 ( )
A.-6 B.6 C. -6 D.-5
【解析】选C.-3x2+2x-=-(3x2-2x)-=-6-=-6.
2.已知P=m-1,Q=m2-m(m为任意实数),则P,Q的大小关系为 ( )
A.P>Q B.P=Q C.P【解题指南】可用作差法解决本题.
①若P-Q>0,则P>Q;
②若P-Q=0,则P=Q;
③若P-Q<0,则P【解析】选C. P-Q=-
=-m2+m-1=--
=--<0,
所以P3.计算(m-2n-1)(m+2n-1)的结果为 ( )
A.m2-4n2-2m+1 B.m2+4n2-2m+1
C.m2-4n2-2m-1 D.m2+4n2+2m-1
【解析】选A.(m-2n-1)(m+2n-1)
=[(m-1)-2n][(m-1)+2n]=(m-1)2-4n2
=m2-2m+1-4n2=m2-4n2-2m+1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.按要求添括号:把含有a2的项放在前面带有“+”号的括号里,把含有b2的项放在前面带有“-”号的括号里,则3a2+ab2-a2b-5b2= .
【解析】3a2+ab2-a2b-5b2=(3a2-a2b)-(-ab2+5b2).
答案:(3a2-a2b)-(-ab2+5b2)
5.若|x-y-1|+3(2x-y+1)2=0,则x3y2= .
【解析】∵|x-y-1|+3(2x-y+1)2=0,
∴解得
∴x3y2=(-2)3×(-3)2=-8×9=-72.
答案:-72
6.(a-b-c)2=[a-( )]2=a2-( )+( )2.
【解析】括号前为负号,放到括号内各项都要变号,再应用完全平方公式展开,
原式=[a-(b+c)]2=a2-(2ab+2ac)+(b+c)2.
答案:b+c 2ab+2ac b+c
三、解答题(共26分)
7.(8分)按下列要求,把多项式3x3-5x2-3x+4添括号:
(1)把多项式后三项括起来,括号前面带有“+”号.
(2)把多项式的前两项括起来,括号前面带有“-”号.
【解析】(1)原式=3x3+(-5x2-3x+4).
(2)原式=-(-3x3+5x2)-3x+4.
8.(8分)如果(2m+3n+1)(2m+3n-1)=48,试求2m+3n的值.
【解析】∵(2m+3n+1)(2m+3n-1)=48,
∴[(2m+3n)+1][(2m +3n)-1]=48,
∴(2m+3n)2-1=48,
∴(2m+3n)2=49,∴2m+3n=±7.
【培优训练】
9.(10分)小明和小颖同时解答下面的习题,所用的方法不相同,但所得的结果相同,先阅读他们的解法,然后回答问题.
计算:.
小明的解答:
=
=
=-(2ab)2
=16a4+2a2b2+b4-4a2b2
=16a4-2a2b2+b4.
小颖的解答:
=
==16a4-2a2b2+b4.
问题:(1)你认为谁的解法更简捷?从中你得到了什么启示?
(2)计算(x-y)2(x+y)2.
【解析】(1)小颖的解法更简捷.
启示:当计算中既要用完全平方公式又要用平方差公式时,先用平方差公式较为简单.
(2)(x-y)2(x+y)2=[(x-y)(x+y)]2
=(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4.
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课时提升作业(二十六)
平方差公式
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.化简:(a+1)2-(a-1)2= ( )
A.2 B.4 C.4a D.2a2+2
【解析】选C.(a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)]·[(a+1)+(a-1)]=2×2a=4a.
2.若a,b,c为一个三角形的三边,则代数式(a-c)2-b2的值为 ( )
A.一定为正数
B.一定为负数
C.可能为正数,也可能为负数
D.可能为零
【解析】选B.因为[(a-c)+b][(a-c)-b]
=(a-c)2-b2,
所以(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b),
因为在三角形中,两边之和大于第三边,
所以a-c+b>0,a-c-b<0,
所以(a-c+b)(a-c-b)<0.
3.若a=,b=,则a与b的大小关系为 ( )
A.ab C.a≥b D.不确定
【解题指南】本题涉及的两个数比较大小的方法
1.两个数比较大小常用方法:①平方法;②差比法;③商比法;④相反数法.
2.两个分数比较大小常用方法:①通分法;②把分子化为相同的数,分母大的反而小.
3.这里可采用常见的通分法,会发现分子可用平方差公式化简.
【解析】选A.∵a=
==,
b==
∵20142-1<20142.∴a二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如果(a+b+1)(a+b-1)=63,那么a+b的值为 .
【解析】因为(a+b+1)(a+b-1)=63,即(a+b)2-1=63,所以(a+b)2=64,所以a+b=±8.
答案:±8
5.若A=2x+y,B=2x-y,则A2-B2= .
【解析】A2-B2=(2x+y)2-(2x-y)2=[(2x+y)+(2x-y)]·[(2x+y)-(2x-y)]=4x×2y=8xy.
答案:8xy
6.计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)= .
【解析】原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)=216-1.
答案:216-1
【易错提醒】平方差公式的应用条件是两数的和与两数的差的积,本题容易忽略构造2与1的差,从而不能正确求解.
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·三明中考)先化简,再求值:+4-4a,其中a=-1.
【解析】+4-4a
=a2-4+4a+4-4a=a2.
当a=-1时,
原式=(-1)=2-2+1=3-2.
【变式训练】[2a2+(a+b)(a-b)][(-a-b)(-a+b)+2b2].
【解析】原式=[2a2+(a2-b2)](a2-b2+2b2)
=(2a2+a2-b2)(a2+b2)
=(3a2-b2)(a2+b2)=3a4+2a2b2-b4.
8.(8分)(2013·义乌中考)如图1,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2.
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
【解析】(1)S1=a2-b2,S2=(2b+2a)(a-b)
=(a+b)(a-b).
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.
【培优训练】
9.(10分)阅读下列材料:
某同学在计算3×(4+1)(42+1)时,把3写成4-1后,发现可以连续运用平方差公式计算:3×(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1.很受启发,后来在求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)的值时,又改造此法,将乘积式前面乘以1,且把1写为2-1得(2+1)(22+1)(24+1)·(28+1)…(21024+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)=(24-1)(24+1)(28+1)…(21024+1)=…=(21024-1)(21024+1)=22048-1.
回答下列问题:
(1)请借鉴该同学的经验,计算:
(3+1)(32+1)(34+1)(38+1).
(2)借用上面的方法,再逆用平方差公式计算:
….
【解析】(1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(34-1)(34+1)(38+1)=(38-1)(38+1)
=(316-1).
(2)…
=…
=××××…××=×=.
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