课件16张PPT。14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法1.因式分解：把一个多项式化成几个_________的形式，这种
变形叫做把这个多项式因式分解(也叫分解因式).
2.提公因式法：
(1)多项式中各项都有的_____的因式叫做这个多项式的公因式.
(2)如果多项式的各项有公因式，那么就可以把这个_______
提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的_____的形式，
这种分解因式的方法叫做提公因式法.整式的积公共公因式乘积【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2是因式分解. ( )
2.6x2y3=3xy·2xy2不是因式分解. ( )
3.6x2-x-2=(3x-2)(2x+1). ( )
4.x2y-2xy2+xy=xy(x-2y). ( )
5.15x3y2+5x2y-20x2y3=5x2y(3xy+1-y). ( )×××√√知识点一 用提公因式法分解因式
【示范题1】用提公因式法分解因式：
(1)12x2y-18xy2-24x3y3.
(2)5x2-15x+5.
(3)-27a2b+9ab2-18ab.
(4)2x(a-2b)-3y(2b-a)-4z(a-2b).
【思路点拨】观察多项式的每一项→确定公因式→提取公因式→结果.【自主解答】(1)12x2y-18xy2-24x3y3
=6xy·2x-6xy·3y-6xy·4x2y2=6xy(2x-3y-4x2y2).
(2)5x2-15x+5=5(x2-3x+1).
(3)-27a2b+9ab2-18ab=-9ab(3a-b+2).
(4)2x(a-2b)-3y(2b-a)-4z(a-2b)
=2x(a-2b)+3y(a-2b)-4z(a-2b)
=(a-2b)(2x+3y-4z).【想一想】
6(m-n)3-12(n-m).能用提公因式法分解因式吗?
提示：能.虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)互为相反数，如果把其中一个提取一个“-”号，则可以出现公因式，如y-x=-(x-y)，(m-n)3与(n-m)也是如此.【微点拨】确定公因式的方法
1.对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数.
2.对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低的，即取相同字母的最低次幂，最后还要根据情况确定符号.【方法一点通】
用提公因式法分解因式的“四个步骤”
1.确定公因式.
2.把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的形式.
3.把公因式提到括号前，把每一项除公因式外的因式放到括号内，并进行合并同类项.
4.检查提公因式后的因式里面是否还有公因式，是否存在漏项的情况.知识点二 提公因式法的运用
【示范题2】计算：
(1)7.6×200.3+4.3×200.3-1.9×200.3.
(2)已知a+b=13，ab=40，求a2b+ab2.
【思路点拨】(1)提取公因数，简化运算.
(2)将a2b+ab2分解因式变形为ab(a+b).然后将a+b及ab的值整体代入.【自主解答】(1)7.6×200.3+4.3×200.3-1.9×200.3
=200.3×(7.6+4.3-1.9)
=200.3×10=2003.
(2)a2b+ab2=ab(a+b)，当a+b=13，ab=40时，原式=40×13=520.【想一想】
0.291×17.38+1.236×8.69+4.956×4.345+5.704×8.69能
利用提公因式法简化计算吗?
提示：能.
原式=0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69
=(0.582+1.236+2.478+5.704)×8.69
=(0.582+2.478+1.236+5.704)×8.69
=10×8.69=86.9.【备选例题】利用因式分解计算或说理.
(1)2.9×1234.5+117×123.45-460×12.345.
(2)523-521能被120整除吗?
【解析】(1)原式=2.9×1234.5+11.7×1234.5-4.6×1234.5
=1234.5×(2.9+11.7-4.6)
=1234.5×10=12345.
(2)原式=520(53-5)=520×120，
所以523-521能被120整除.【方法一点通】
提公因式法简便计算
在用提公因式法进行化简计算时，往往涉及多个量，直接计算过程繁杂，这时可将表示数量关系的式子进行适当变形再代入数值进行计算，尤其是运用包括提公因式法在内的因式分解进行变形，可起到事半功倍的效果.课件16张PPT。14.3.2 公 式 法
第1课时1.计算：(m+2)(m-2)=____.
(2x+1)(2x-1)=_____.
利用以上结果填空：
____=(m+2)(m-2)，_____=(2x+1)(2x-1).
2.平方差公式：
(1)语言叙述：两个数的_______，等于这两个数的___与这
两个数的___的积.
(2)符号表示：a2-b2= ___________.m2-44x2-1m2-44x2-1平方差和差(a+b)(a-b)【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.x2+y2=(x+y)(x-y). ( )
2.-x2+y2=-(x+y)(x-y). ( )
3.x2-y2=(x+y)(x-y). ( )
4.-x2-y2=-(x+y)(x-y). ( )
5.x2-y2=(x-y)2. ( )
6.x2-3y2=(x+3y)(x-3y). ( )
7.9x2-4y2=(9x+4y)(9x-4y). ( )×××××√√知识点一 平方差公式分解因式
【示范题1】把下列多项式分解因式：
(1)9-16x2.(2)16m2-9n2.(3)4xy-9y3x.(4)(m+2n)2-(m-n)2.
【思路点拨】此题中两项都可以表示成平方的形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑用平方差公式来分解.【自主解答】(1)9-16x2=32-(4x)2=(3+4x)(3-4x).
(2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2=(4m+3n)(4m-3n).
(3)4xy-9xy3=xy(4-9y2)=xy(2+3y)(2-3y).
(4)(m+2n)2-(m-n)2=[(m+2n)+(m-n)][(m+2n)-(m-n)]
=3n(2m+n).【想一想】
-4a2+36能应用平方差公式分解因式吗?
提示：能，
-4a2+36=36-4a2=(6+2a)(6-2a)
=4(3+a)(3-a).【微点拨】平方差公式分解因式特点：
1.左边：①有两项；②符号相反；③两项均为完全平方项.
2.右边：左边平方项底数的和与差的积.【方法一点通】
能应用平方差公式分解因式的多项式特点
1.等号左边：
(1)等号左边应满足是二项式.
(2)每一项都可以表示成平方的形式.
(3)前面的符号相反.
2.等号右边是等号左边两底数的和与两底数的差的积.知识点二 平方差公式分解因式的运用
【示范题2】利用因式分解进行计算：
【思路点拨】将所给的式子利用平方差公式分解因式，再将
所给的值代入，求出结果.【自主解答】
当 时，
原式=【想一想】
分解因式：x4-81=(x2+9)(x2-9)正确吗?
提示：不正确.
x4-81=(x2+9)(x2-9)
=(x2+9)(x+3)(x-3).【备选例题】求满足4x2－9y2=31的正整数解.
【解析】∵4x2－9y2=31，
∴（2x+3y）（2x－3y）=1×31，
因所求x，y为正整数，所以只取x=8,y=5.【方法一点通】
应用平方差公式分解因式解决的“三类问题”
1.已知两个数(或式)的和与差，求这两个数(或式)的平方差.
2.已知两个数(或式)的平方差，及这两个数(或式)的和或差，求这两个数(或式)的差或和.
3.已知两个数(或式)的平方差，确定能被哪两个整数(或式)整除.课件18张PPT。14.3.2 公 式 法
第2课时1.计算下列各式：
(1)(P+1)2=(P+1)(P+1)=_______.
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=_______.
(3)(P-1)2=(P-1)(P-1)=_______.
(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=_______.P2+2P+1m2+4m+4P2-2P+1m2-4m+42.因式分解的完全平方公式
(1)两个数的平方和_____(或_____)这两个数的积的2倍，
等于这两个数的___(或___)的平方.
(2)符号表示：a2+2ab+b2= ______，a2-2ab+b2= ______.加上减去和差(a+b)2(a-b)2【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.x2+y2=(x+y)2. ( )
2.m2-2m+1=(m+1)2. ( )
3.x2-2x-1=(x-1)2. ( )
4.9x2-12x+4=(3x-2)2. ( )
5.1-10x+25x2=(1-5x)2. ( )
6.-a2+2ab-b2=-(a+b)2. ( )××××√√知识点一 用完全平方公式分解因式
【示范题1】把下列多项式分解因式：
(1)x2+14x+49.
(2)(m+n)2-6(m+n)+9.
(3)3a2-12ab+12b2.【思路点拨】多项式各项没有公因式且是三项式，应考虑用完全平方公式.特别地第(2)题中的m+n应看作一个整体，而不要利用整式乘法进行计算，否则分解比较困难.
【自主解答】(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2.
(2)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2(m+n)×3+32=(m+n-3)2.
(3)3a2-12ab+12b2=3(a2-4ab+4b2)=3(a-2b)2.【想一想】
多项式(am+bn)2+(an-bm)2能分解因式吗?
提示：能.(am+bn)2+(an-bm)2
=a2m2+2abmn+b2n2+a2n2-2abmn+b2m2
=a2(m2+n2)+b2(m2+n2)
=(a2+b2)(m2+n2).【微点拨】
能用完全平方公式分解因式的多项式应满足三个条件：
(1)项数是三项.
(2)其中有两项同号且能写成两个数或式的平方.
(3)另一项是这两数或式乘积的2倍.【方法一点通】
完全平方公式分解因式的方法规律
1.先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.
2.公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.3.对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
4.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“-”号，然后再用完全平方公式分解因式.知识点二 完全平方公式分解因式的应用
【示范题2】利用因式分解进行计算:
9x2+12xy+4y2,其中【思路点拨】首先将9x2+12xy+4y2因式分解，然后将x，y代入
计算即可.
【自主解答】9x2+12xy+4y2=（3x）2+2·3x·2y+（2y）2=
（3x+2y）2.
当 时，原式=【想一想】
x2-ax+9是完全平方式，则a的值为6正确吗?
提示：不正确.
x2-ax+9是完全平方式.
则x2-ax+9=x2-2·3·x+32=x2-6x+9或x2-ax+9=
x2+2·3·x+32=x2+6x+9，∴-a=±6，即a=±6.【备选例题】利用因式分解计算下列各题.
(1)992+198+1.(2)2×1012+2×101×98+2×492.
【解析】(1)992+198+1=992+2×99×1+12
=(99+1)2=1002=10 000.
(2)2×1012+2×101×98+2×492
=2(1012+2×101×49+492)=2(101+49)2=2×1502=45 000.【方法一点通】
判断完全平方式的“三个条件”
1.由三项构成.
2.有两项同号且能写成某数（或式）的平方.
3.第三项是这两数（或式）的积的2倍，符号可正可负. 温馨提示：
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提技能·题组训练
用提公因式法分解因式
1.(2013·柳州中考)下列式子是因式分解的是 ( )
A.x(x-1)=x2-1 B.x2-x=x(x+1)
C.x2+x=x(x+1) D.x2-x=(x+1)(x-1)
【解析】选C.选项A是将乘积的形式化成差的形式，并且等式左右两边不相等，所以选项A错误；选项B“看起来”满足由多项式的和差形式化为乘积形式，但是x(x+1)= x2+x，与等式的左边x2-x不等，所以选项B错误；选项C满足把一个多项式化成几个整式的积的形式，且等号的左边和右边相等，所以选项C正确；选项D类同选项B，所以选项D是错误的.
2.把多项式6a3b2-3a2b2-12a2b3分解因式时，应提取的公因式是 ( )
A.3a2b B.3ab2 C.3a3b3 D.3a2b2
【解析】选D.在多项式6a3b2-3a2b2-12a2b3中，这三项系数的最大公约数是3，各项都含有字母a，b，字母a的最低次幂是a2，字母b的最低次幂是b2，所以各项的公因式是3a2b2.
3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 ( )
A.x2-y B.x2+2xy C.x2+y2 D.x2-xy+y2
【解析】选B.公因式为x，分解因式得：x2+2xy=x(x+2y).
4.分解因式：6x2+2x= .
【解析】6x2+2x=2x(3x+1).
答案：2x(3x+1)
5.(2013·自贡中考)多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是 .
【解析】ax2-a=a(x+1)(x-1)；x2-2x+1=，则公因式为x-1.
答案：x-1
6.把下列各式分解因式.
(1)am+an.
(2)xy+ay-by.
(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b).
(4)3x(a-b)-2y(b-a).
(5)4p(1-q)3+2(q-1)2.
(6)ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.
【解析】(1)原式=a(m+n).
(2)原式=y(x+a-b).
(3)原式=(2a+b)(2a-3b+2a+5b)=(2a+b)(4a+2b)=2(2a+b)2.
(4)原式=3x(a-b)+2y(a-b)=(a-b)(3x+2y).
(5)原式=4p(1-q)3+2(1-q)2=2(1-q)2(2p-2pq+1).
(6)原式=ab(x-y)m[b+a(x-y)]=ab(x-y)m(b+ax-ay).
【易错提醒】提公因式要彻底
1.所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式.
2.如果多项式的首项系数是负数，应先提出“-”号.可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”.
7.分解因式2a(x-y)2-4b(y-x).
【解析】方法一：
原式=2a(x-y)2+4b(x-y)=2(x-y)[a(x-y)+2b]=2(x-y)(ax-ay+2b).
方法二：
原式=2a(y-x)2-4b(y-x)=2(y-x)[a(y-x)-2b]=2(y-x)(ay-ax-2b).
【知识归纳】表面没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化为含有公因式的式子来完成因式分解.其一般原则：(1)首项一般不化成含负号的形式.(2)对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化成它的相反数的形式，这样可使各项符号不变.
【变式训练】分解因式5(x-y)3+10(y-x)2.
【解析】原式=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2(x-y+2).
提公因式法的运用
1.计算2 015×2 015-2 015×2 014-2 014×2 013+2 014×2 014的值是 ( )
A.1 B.-1 C.4 029 D.4 030
【解题指南】当整式整体不能确定公因式时，可观察能否分组确定公因式以简化计算.
【解析】选C.2 015×2 015-2 015×2 014-2 014×2 013+2 014×2 014
=2 015×(2 015-2 014)+2 014×(2 014-2 013)
=2 015×1+2 014×1=4 029.
2.(2013·杭州中考)32×3.14+3×(-9.42)= .
【解析】原式=32×3.14+3×(-3)×3.14=32×3.14-32×3.14=3.14×(9-9)=0.
答案：0
3.(2013·吉林中考)若a-2b=3，则2a-4b-5= .
【解析】方法一：2a-4b-5=2(a-2b)-5=2×3-5=1.
方法二：由已知得a=2b+3，代入2a-4b-5得原式=2(2b+3)-4b-5=4b+6-4b-5=1.
答案：1
【互动探究】若上题的条件改为a-2b+2=3，则2a-4b-5的值为多少?
【解析】方法一：a-2b+2=3，则a-2b=1，所以2a-4b-5=2(a-2b)-5=2×1-5=-3.
方法二：由已知得a=2b+1，代入2a-4b-5得原式=2(2b+1)-4b-5=4b+2-4b-5=-3.
4.用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6-0.44×12.
【解析】0.84×12+12×0.6-0.44×12
=12×(0.84+0.6-0.44)
=12×1=12.
5.用简便方法进行计算：
(1)992+99. (2)13×9.98+56×9.98+31×9.98.
【解析】(1)992+99=99(99+1)=99×100=9900.
(2)13×9.98+56×9.98+31×9.98
=9.98×(13+56+31)
=9.98×100=998.
6.利用分解因式与整式乘法的关系求值：
已知关于x的二次三项式3x2+mx+n分解因式的结果为(x-1)，求m，n的值.
【解析】方法一：
因为(x-1)=3x2+2x-3x-2=3x2-x-2，
由等式的性质可知m=-1，n=-2.
方法二：因为3x2+mx+n分解因式的结果为(x-1)，
所以3x2+mx+n=(x-1).
当x=0时，0+0+n=-2；
当x=1时，3+m+n=5×0；
解得：m=-1，n=-2.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
分解因式：ax(x+y)-ay(x+y).
(1)找错：第____步出现错误.
(2)纠错：_________________________________________________________.
答案：(1)②
(2)本题是因式分解，在第一步已经解决问题，不能再回头进行乘法运算
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提技能·题组训练
平方差公式分解因式
1.(2013·佛山中考)分解因式a3-a的结果是 ( )
A.a(a2-1) B.a(a-1)2
C.a(a+1)(a-1) D.(a2+a)(a-1)
【解析】选C.a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1).
2.因式分解-9的结果是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.原式=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4).
3.分解因式：x2y2-9= .
【解析】x2y2-9=(xy+3)(xy-3).
答案：(xy+3)(xy-3)
4.x2-y2-x-y分解因式的结果是 .
【解析】x2-y2-x-y=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1).
答案：(x+y)(x-y-1)
5.分解因式：
(1)(a+b)2-4a2.(2)x2(x-y)+y2(y-x).
(3)(a+b+c)2-(a-b-c)2.
【解析】(1)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).
(2)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2.
(3)(a+b+c)2-(a-b-c)2
=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]
=2a·(2b+2c)=4a(b+c).
6.把下列各式因式分解：
(1)-4m2+25n2.(2)169(a+b)2-121(a-b)2.
【解析】(1)-4m2+25n2
=-[(2m)2-(5n)2]=-(2m+5n)(2m-5n).
(2)169(a+b)2-121(a-b)2=[13(a+b)]2-[11(a-b)]2
=[13(a+b)+11(a-b)][13(a+b)-11(a-b)]
=(24a +2b)(2a +24b)=4(12a + b)(a +12b).
平方差公式分解因式的运用
1.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y)，则p，q的值依次为 ( )
A.-12，-9 B.-6，9 C.-9，-9 D.0，-9
【解题指南】1.因式分解与整式乘法是恒等变形.
2.等式左右两边相等，相应的项对应相等.
【解析】选D.(x-3y)(x+3y)= x2-9y2= x2+pxy+qy2，所以p=0；q=-9.
2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选B.(2x)4-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，即n=4.
3.计算：(1)-= .
(2)5652×11-4352×11= .
【解析】(1)原式==8×3=28.
(2)原式=11×(5652-4352)=11×(565+435)(565-435)
=11×1 000×130=1 430 000.
答案：(1)28 (2)1 430 000
4.(2013·内江中考)若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= _______________.
【解析】因为m2-n2=6，所以(m+n)(m-n)=6，当m-n=2时，2(m+n)=6，解得m+n=3.
答案：3
5.在边长为18.2cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为0.9cm的正方形，则余下的纸片的面积为 .
【解析】18.22-4×0.92
=(18.2+2×0.9)(18.2-2×0.9)
=20×16.4=328(cm2).
答案：328cm2
6.刘师傅在制造某汽车配件时，需要一段钢管，已知外圆半径R=9.2cm，内圆半径r=8.3cm，请你帮他计算一下环形面积(π取3.14，结果精确到百分位).
【解析】根据题意，环形面积是(πR2-πr2)cm2.
当R=9.2cm，r=8.3cm时，
πR2-πr2=π(R2-r2)=π(R+r)(R-r)
=3.14×(9.2+8.3)×(9.2-8.3)
=3.14×17.5×0.9=49.455≈49.46(cm2).
答：所求环形面积约为49.46cm2.
7.请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解.
4a2，(x+y)2，1，9b2.
【解析】(答案不唯一)4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b)；
(x+y)2-1=(x+y+1)(x+y-1)；
(x+y)2-4a2=(x+y+2a)(x+y-2a)；
(x+y)2-9b2=(x+y+3b)(x+y-3b)；
4a2-(x+y)2=[2a+(x+y)][2a-(x+y)]
=(2a+x+y)(2a-x-y)；
9b2-(x+y)2=[3b+(x+y)][3b-(x+y)]=(3b+x+y)(3b-x-y)；
1-(x+y)2=[1+(x+y)][1-(x+y)]=(1+x+y)(1-x-y).
8.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”.
(1)28和212这两个数是“神秘数”吗?为什么?
(2)设两个连续偶数分别为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
【解析】(1)是.28=82-62 212=542-522.
(2)是.(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=8k+4=4(2k+1).
(3)是.(n+1)2-(n-1)2=4n.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
把16(x+y)2-9(x-y)2分解因式.
(1)错因：_________________________.
(2)纠错：_________________________.
答案：(1)没分解彻底
(2)原式=(7x+y)(x+7y)
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提技能·题组训练
用完全平方公式分解因式
1.(2013·张家界中考)下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1
C.x2-1 D.x2-6x+9
【解析】选D.A中不含有写成平方的两项乘积的2倍，故A不可以；B中写成平方的两项的符号相反，故B不可以；C中只含有两项，C不可以；D符合完全平方式的特征，故D正确.
2.(2013·西双版纳州中考)因式分解x3-2x2+x正确的是 ( )
A.(x-1)2 B.x(x-1)2
C.x(x2-2x+1) D.x(x+1)2
【解析】选B.x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.
3.(2013·安顺中考)分解因式：2a3-8a2+8a= .
【解析】2a3-8a2+8a=2a(a2-4a+4)=2a(a-2)2.
答案：2a(a-2)2
4.多项式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的结果是 .
【解析】4-4(a-b)+(a-b)2=[2-(a-b)]2=(2-a+b)2.
答案：(2-a+b)2
5.分解因式：x2+2xy+y2-4= .
【解析】x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4
=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).
答案：(x+y+2)(x+y-2)
6.分解因式：
(1)(m2+3m)2-8(m2+3m)+16.
(2)(x2+y2-z2)2-4x2y2.
(3)-4x3+40x2y-100xy2.
【解析】(1)(m2+3m)2-8(m2+3m)+16
=(m2+3m)2-2(m2+3m)×4+42
=
=
=(m+4)2(m-1)2.
(2)(x2+y2-z2)2-4x2y2.
=
=
=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z).
(3)-4x3+40x2y-100xy2
=-4x(x2-10xy+25y2)
=-4x(x-5y)2.
7.把下列各式因式分解：
(1)2x3(x-2y)2-32x5.
(2)(1-x2)(1-y2)-4xy.
【解析】(1)2x3(x-2y)2-32x5
=2x3[(x-2y)2-16x2]
=2x3(x-2y-4x)(x-2y+4x)
=-2x3(3x+2y)(5x-2y).
(2)(1-x2)(1-y2)-4xy
=(1-x2-y2+x2y2)-4xy
=(x2y2-2xy+1)-(x2+2xy+y2)
=(xy-1)2-(x+y)2
=(xy-1+x+y)(xy-1-x-y).
【知识归纳】因式分解方法口诀
首先提取公因式，然后考虑套公式
二项联想平方差，两项异号不混淆
三项要用全平方，分解完毕不大意
检查是否分彻底.
完全平方公式分解因式的应用
1.已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于 ( )
A.64 B.48 C.32 D.16
【解析】选A.因为x2+16x+k=x2+2×x×8+k是完全平方式，所以k=82=64.
2.若x=3.2，y=6.8，则x2+2xy+y2= .
【解析】x2+2xy+y2=(x+y)2=(3.2+6.8)2=100.
答案：100
3.(2013·徐州中考)当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为 .
【解析】m2+2mn+n2=(m+n)2=32=9.
答案：9
4.2 0142-4 028×2 015+2 0152= .
【解析】原式=(2 014-2 015)2=(-1)2=1.
答案：1
5.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= .
【解析】完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，
∴±kxy=2·3x·6y=36xy.
∴k=±36.
答案：±36
【变式训练】若(a+b)2+m(a+b)+4是完全平方式，则m= .
【解析】∵4=22，
∴m(a+b)=±2×2×(a+b)，
∴m=4或-4.
答案：4或-4
6.已知：a3+a2b+ab2+b3=20，a2+b2=10，求a+b.
【解析】∵a3+a2b+ab2+b3
=a2(a+b)+b2(a+b)
=(a+b)(a2+b2)
∴a+b===2.
【变式训练】已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值.
(1)x2+y2.(2)(x-y)2.
【解析】(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=72-2×10=29.
(2)(x-y)2= x2+y2-2xy=29-2×10=9.
7.求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.
【证明】设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，n∈N，则
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1(n∈N)一定是一个完全平方数.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
分解因式：x2-2x+3.
(1)找错：从第_____步开始出现错误.
(2)纠错：________________________________.
答案：(1)①
(2)
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课时提升作业(三十)
公 式 法(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.分解因式:ab2-a为 ( )
A.a B.a
C.a D.a
【解析】选C.原式=a(b2-1)=a.
2.在实数范围内因式分解x4-4= ( )
A.(x2+2)(x2-2)
B.(x2+2)2
C.(x+2)(x+)(x-)
D.(x2+2)(x+)(x-)
【解题指南】解答本题的两个关键:
1.对多项式因式分解为:x4-4=(x2)2-22=(x2+2)(x2-2).
2.在实数范围内因式分解,把2看成()2,把x2-2改写成x2-()2,从而继续因式分解.
【解析】选D.x4-4=(x2)2-22=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+)(x-).
3.12-22+32-42+52-62+72-82+92-102的值为 ( )
A.55 B.-55 C.45 D.-45
【解析】选B.原式=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+…+(9+10)(9-10)=-(1+2+3+4+…+9+10)=-55.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·绵阳中考)因式分解:x2y4-x4y2= _________.
【解析】原式=x2y2(y2-x2)=x2y2(y-x)(y+x).
答案:x2y2(y-x)(y+x)
5.因式分解:2xy+9-x2-y2= .
【解析】2xy+9-x2-y2=9-x2+2xy-y2
=9-(x2-2xy+y2)=32-(x-y)2
=(3+x-y)(3-x+y).
答案:(3+x-y)(3-x+y)
6.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,便于记忆.如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
【解析】4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y).
取x=10,y=10时,则各个因式的值是:
x=10,2x+y=30,2x-y=10,于是就可以把“103010”作为密码.
答案:不唯一,如103010
三、解答题(共26分)
7.(8分)解方程组
【解题指南】解决本题的三个关键:
1.对第一个方程的左边因式分解为(x+2y)(x-2y)=5的形式.
2.把x-2y=1整体代入第一个方程中,把原方程组转化成一个二元一次方程组.
3.解二元一次方程组从而得出原方程组的解.
【解析】由①得(x+2y)(x-2y)=5,③
把②代入③中得x+2y=5,④
∴原方程组化为
②+④得2x=6,∴x=3.
④-②得4y=4,∴y=1.
∴原方程组的解为
8.(8分)乘法运算:(x+y)(x2-xy+y2),(x-y)(x2+xy+y2).
Ⅰ.这两个乘法的结果是什么?所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用?用它可以分解有怎样特点的多项式?
Ⅱ.用这两个公式把下列各式分解因式:
(1)a3+8b3.
(2)m6-1.
【解析】Ⅰ.结果为:
(x+y)(x2-xy+y2)=x3+y3;
(x-y)(x2+xy+y2)=x3-y3.
利用它们从右到左的变形,就可以对立方和或立方差的多项式作因式分解;
Ⅱ.(1)a3+8b3=a3+(2b)3=(a+2b)(a2-2ab+4b2).
(2)m6-1=(m2)3-1=(m2-1)[(m2)2+m2+1]
=(m+1)(m-1)(m4+m2+1).
【培优训练】
9.(10分)计算+++…+.
【解析】原式=+++…+
=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2015-2016)
=(-1)×(2016÷2)=-1008.
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课时提升作业(三十一)
公 式 法(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·恩施中考)把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是 ( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y)
C.y(x-y)2 D.y(x+y)2
【解析】选C.原式=y(x2-2xy+y2)= y(x-y)2.
2.下列各式能用完全平方公式分解因式的有 ( )
①4x2-4xy-y2; ②x2+x+; ③-1-a-;
④m2n2+4-4mn; ⑤a2-2ab+4b2; ⑥x2-8x+9.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.①⑤⑥不符合完全平方式的结构特点,不能用完全平方公式分解因式.②④符合完全平方式的特点,③提取“-”号后也符合完全平方式的特点,所以②③④能用完全平方公式分解.
3.多项式a2+b2-4a+6b+18的 ( )
A.最大值为18 B.最小值为18
C.最小值为5 D.最值不确定
【解析】选C.a2+b2-4a+6b+18=(a2-4a+4)+(b2+6b+9)+5=(a-2)2+(b+3)2+5,因为(a-2)2≥0,(b+3)2≥0,所以(a-2)2+(b+3)2≥0,即无论a,b为何值,多项式a2+b2-4a+6b+18的值都不小于5,则多项式的最小值为5.
【互动探究】若将题干中多项式的每一项的符号改成相反的符号,则多项式的最值是多少?
【解析】-a2-b2+4a-6b-18=-[(a2-4a+4)+(b2+6b+9)+5]=-[(a-2)2+(b+3)2]-5,因为(a-2)2≥0,(b+3)2≥0,
所以-(a-2)2-(b+3)2≤0,即无论a,b为何值,多项式-a2-b2+4a-6b-18的值都不大于-5,则多项式的最大值为-5.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.分解因式(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4= __________.
【解析】(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4=(x2-2xy+y2)2=[(x-y)2]2=(x-y)4.
答案:(x-y)4
5.若(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2= .
【解析】(m-n)2=8则m2+n2-2mn=8,①
(m+n)2=2则m2+n2+2mn=2,②
②-①得:4mn=-6即mn=-,
m2+n2=(m-n)2+2mn=8-2×=5.
答案:5
6.若x2+y2-4x-6y+13=0,x+y的值为 .
【解题指南】本题涉及分组分解因式
1.分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解.
2.分组有两个目的,一是分组后能出现公因式,二是分组后能应用公式.
3.如何恰当分组是解题的关键,常见的分组方法有:
(1)按字母分组.(2)按次数分组.(3)按系数分组.
【解析】x2+y2-4x-6y+13
=(x2-4x+4)+(y2-6y+9)
=(x-2)2+(y-3)2.
∵(x-2)2+(y-3)2=0,
∴解得∴x+y=2+3=5.
答案:5
三、解答题(共26分)
7.(8分)因式分解:(1)(x2+4y2)2-16x2y2.
(2)(a2+1)2-4(a2+1)+4.
(3)a2-2ab+b2-c2.
【解析】(1)(x2+4y2)2-16x2y2
=(x2+4y2)2-(4xy)2
=(x2+4y2+4xy)(x2+4y2-4xy)
=(x+2y)2(x-2y)2.
(2)(a2+1)2-4(a2+1)+4
=(a2+1-2)2=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2.
(3)a2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c).
8.(8分)设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2【证明】因为a,b,c为△ABC的三边,
所以a+b+c>0,b+c>a,
所以a2-b2-c2-2bc=a2-(b+c)2
=(a+b+c)(a-b-c),
所以a2-b2-c2-2bc<0,即a2【变式训练】若a,b,c是三角形的三边,且满足关系式a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,试判断这个三角形的形状.
【解析】∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.
即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.
由平方的非负性可知,∴
∴a=b=c.
∴这个三角形是等边三角形.
【培优训练】
9.(10分)观察下列分解因式的过程:
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-4a2(先加上a2,再减去a2)
=(x+a)2-4a2(运用完全平方公式)
=(x+a+2a)(x+a-2a)
=(x+3a)(x-a).
像上面这样通过加减项配出完全平方式,把二次三项式分解因式的方法,叫做配方法.请你用配方法分解因式:x2-4xy+3y2.
【解析】x2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2
=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2
=[(x-2y)+y][(x-2y)-y]=(x-y)(x-3y).
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课时提升作业(二十九)
提公因式法
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·茂名中考)下列各式由左边到右边的变形中,属于分解因式的是
( )
A.a(x+y)=ax+ay
B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2―5x=5x(2x―1)
D.x2―16+6x=(x+4)(x-4)+6x
【解题指南】解答本题的两个关键
1.因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”,而因式分解则是“和化积”.
2.因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.
【解析】选C.a(x+y)=ax+ay是将乘积的形式化成和的形式,是多项式乘法而不是因式分解,x2-4x+4=x(x-4)+4与x2―16+6x=(x+4)(x-4)+6x两式的右边最终还是和的形式,所以不是因式分解,10x2―5x=5x(2x―1)满足由多项式的和差形式化为乘积形式,且等号的左边和右边相等,所以C正确.
2.(2013·威海中考)若m-n = -1,则(m-n)2-2m+2n的值是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
【解析】选A.(m-n)2-2m+2n=(m-n)2-2(m-n)=(m-n)(m-n-2),∵m-n = -1,
∴原式=(-1)×(-1-2)=3.
3.观察下列各式:①abx-adx;②2x2y+6xy2;③8m3-4m2+2m+1;④a3+a2b+ab2-b3;
⑤(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q)2;⑥a2(x+y)(x-y)-4b(y+x).其中可以用提公因式
法分解因式的是 ( )
A.①②⑤ B.②④⑤
C.②④⑥ D.①②⑤⑥
【解析】选D.①abx-adx=ax(b-d);②2x2y+6xy2=2xy(x+3y);③8m3-4m2+2m+1不能用提公因式法分解因式;④a3+a2b+ab2-b3不能用提公因式法分解因式;⑤(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q)2=(p+q)[x2y-5x2+6(p+q)];⑥a2(x+y)(x-y)-4b(y+x)
=(x+y)[a2(x-y)-4b].所以可以用提公因式法分解因式的是①②⑤⑥.
【易错提醒】多项式里的每一项所含的因式是相反数或底数互为相反数时,不能认为无公因式可提取,同时当相同的项为多项式时注意鉴别,例如,(x+y)与(y+x)也是相同的因式.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·株洲中考)把多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则m= ,n= .
【解析】方法一:∵(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n=x2+mx+5,∴
∴
方法二:当x=-5时,(x+5)(x+n)=x2+mx+5=0,∴25-5m+5=0,∴m=6.将x2+6x+5因式分解得(x+5)(x+1),∴n=1.
答案:6 1
5.a2(x-2a)2+a(2a-x)3= .
【解析】a2(x-2a)2+a(2a-x)3
=a2(x-2a)2-a(x-2a)3
=a(x-2a)2
=a(x-2a)2(a-x+2a)
=a(x-2a)2(3a-x).
答案:a(x-2a)2(3a-x)
6.(2013·凉山州中考)已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)·(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b= .
【解析】(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)
=(3x-7)[(2x-21)-(x-13)]
=(3x-7)(2x-21-x+13)
=(3x-7)(x-8).
将上述因式分解结果与(3x+a)(x+b)对比可得a=-7,b=-8.于是a+3b=-7+3×(-8)=-31.
答案:-31
【变式训练】已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.
【解析】由已知条件可以设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则
2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b.
对比多项式系数可得
∴∴m=.
三、解答题(共26分)
7.(8分)分解因式:(1)3a2(x-y)3-4b2(y-x)2.
(2)a3-ab2-a+b.
【解析】(1)方法一:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2
=-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2
=-[(y-x)2·3a2(y-x)+4b2(y-x)2]
=-(y-x)2[3a2(y-x)+4b2]
=-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2).
方法二:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2
=(x-y)2·3a2(x-y)-4b2(x-y)2
=(x-y)2[3a2(x-y)-4b2]
=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2).
(2)原式=(a3-ab2)-(a-b)
=a(a2-b2)-(a-b)
=a(a+b)(a-b)-(a-b)
=(a-b)[a(a+b)-1]
=(a-b)(a2+ab-1).
8.(8分)求证:对于任意自然数n,n(n+5)-(n-3)(n+2)的值都能被6整除.
【证明】n(n+5)-(n-3)(n+2)=n2+5n-(n2-n-6)
=n2+5n- n2+n+6=6n+6=6(n+1),
所以对于任意自然数n,n(n+5)-(n-3)(n+2)的值都能被6整除.
【培优训练】
9.(10分)先分解因式(1),(2),(3),再解答后面的问题.
(1)1+a+a(1+a).
(2)1+a+a(1+a)+a(1+a)2.
(3)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3.
问题:
a.先探索上述分解因式的规律,然后写出:1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)2012分解因式的结果是 .
b.请按上述方法分解因式:1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)n(n为正整数).
【解析】(1)原式=(1+a)(1+a)=(1+a)2.
(2)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)]=(1+a)(1+a)(1+a)=(1+a)3.
(3)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2]=(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)]
=(1+a)2(1+a)(1+a)=(1+a)4.
a.(1+a)2013
b.原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-1]=
(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-2]=
(1+a)2(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-3]…
=(1+a)n-1(1+a)(1+a)=(1+a)n+1.
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