课件17张PPT。第十五章 分 式
15.1 分 式
15.1.1 从分数到分式1.分式的定义:
如果A，B表示两个_____，并且B中含有_____，那么式子
叫做分式，其中A叫做_____，B叫做_____.
2.分式 有意义、值为0的条件:
(1)分式 有意义的条件：_____.
(2)分式 值为0的条件：__________.整式字母分子分母B≠0A=0，B≠0【思维诊断】(打“√”或“×”)
1. 是分式.（ ）
2. 是分式.（ ）
3.分式 有意义的条件是x≠2.（ ）
4.若分式 的值为0，则x=0.（ ）××√√知识点一 分式的概念
【示范题1】在下列各式中：
哪些属于分式，哪些属于整式？【思路点拨】【自主解答】
属于分式的是：
属于整式的是：【想一想】
式子 是分式吗？为什么？
提示：式子 是分式.判断一个式子是否是分式，应直接看
式子中是否含有分母，且分母中含有字母，而不能先化简再
判断.【微点拨】
1.π是表示一个固定常数的字母，不能表示任意数，所以分母中单独含有π的式子不是分式，如
2.判断分式只看形式，不看运算后的结果，特别注意分式中的分子和分母都能分解因式，且能将分母中的字母约去的情况.【方法一点通】
判别分式的“两关键”
关键一： 的形式（A，B都是整式）；
关键二：B中必须含有字母.知识点二 分式有、无意义，值为零的条件
【示范题2】（2012·黔南州中考）若分式 的值为0，
则x的值为________．
【教你解题】【想一想】
分式 无意义的条件是什么？
提示：要使分式 无意义，只需分母x+1=0，即x=-1，
所以分式 无意义的条件是x=-1.【备选例题】（1）当x_____时，分式 有意义.
（2）当x_____时，分式 有意义.
（3）当m,n满足关系______时，分式 有意义.
（4）当x______时，分式 有意义．【解析】（1）由x2－1＝0，得x＝±1．所以当x≠±1时，
分式 有意义.
（2）由│x│－1＝0，得x＝±1．所以当x≠±1时，分式
有意义.
（3）当2m＋n≠0即2m≠－n时，分式 有意义.
（4）因为x2－x＋1＝
所以当x取任意实数时，分式 均有意义．
答案：（1）≠±1 (2)≠±1 (3)2m≠-n (4)取任意实数【方法一点通】
分式值为零的条件及求法
1.条件：分子为0，分母不为0.
2.求法：
(1)利用分子等于0，构建方程.
(2)解方程，求出所含字母的值.
(3)代入验证：将所求的值代入分母，验证是否使分母为0，若分母不为0，所求的值使分式值为0，否则，应舍去.课件22张PPT。15.1.2
分式的基本性质1.分式的基本性质:
(1)语言叙述:分式的分子与分母乘（或除以）_____________
__的整式，分式的值不变．
(2)字母表示: ______， ______（C≠0），其中
A,B,C是整式．同一个不等于02.约分:
(1)约分:把分式的分子、分母的_______约去，不改变分式
的值.
(2)最简分式:分子与分母___________的分式.
3.通分:
(1)通分:把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的
_______的分式.
(2)最简公分母:各分母的所有因式的_____________.公因式没有公因式同分母最高次幂的积【思维诊断】(打“√”或“×”)
1. 中的a,b都扩大2倍，相当于分子、分母都乘以2.（ ）
2. （ ）
3. （ ）
4.分式 约分的结果为a-b.（ ）
5.分式 与 的最简公分母为x2+1.（ ）√√×××知识点一 分式的基本性质
【示范题1】若分式 的a，b的值同时扩大到原来的10倍，
则此分式的值（ ）
A.是原来的20倍 B.是原来的10倍
C.是原来的 倍 D.不变
【思路点拨】依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，
利用分式的基本性质化简即可．【自主解答】选D.
∴此分式的值不变.【想一想】
的a,b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值
变化吗？
提示：分式的值为原来的10倍.【备选例题】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中
各项的系数都化为整数.
【解析】(1)分子、分母同时乘以12得：
(2)分子、分母同时乘以10得：【方法一点通】
分式变形的“三点注意”
1.注意分式变形前后的值要相等.
2.注意分式的分子和分母要同乘或同除，不能只对分子或只对分母进行变形.
3.所乘（或除以）的整式不能为零. 知识点二 分式的约分
【示范题2】约分:
【思路点拨】(1)确定分子、分母的公因式→约分.(2)分子、分母分别因式分解→找出公因式→约分.【自主解答】(1)
(2)【想一想】
约分的结果为 正确吗？
提示：不正确，约分的结果必须化为最简分式.【微点拨】公因式的寻找方法
1.系数取分子、分母中各项系数的最大公约数.
2.相同字母取分子与分母中各相同字母的最低次幂.
3.如果分子与分母是多项式，应先因式分解再找公因式.【方法一点通】
分式约分的“两思路”
1.分子分母都是单项式：先确定分子、分母的公因式,再约分.
2.分子或分母中有多项式：先因式分解,再确定公因式,然后约分.知识点三 分式的通分
【示范题3】将下列各式通分：
【思路点拨】先找最简公分母，再根据分式的基本性质通分.【自主解答】(1)∵最简公分母是2ab,
(2)∵最简公分母是2（x-y）2,【想一想】
的最简公分母是(x－y)·(y－x)2吗？
提示：不是，当两个分式的分母中某个因式互为相反数时，
应通过改变符号化为相同的因式.本题中
所以最简公分母是(x－y)2.【微点拨】分式通分的“两”思路
1.各分母都是单项式：最简公分母是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积.
2.各分母中有多项式：能分解因式的多项式先要分解因式,再按照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同字母(或因式)、不同字母(或因式)三个方面去确定.【方法一点通】
找最简公分母的方法
1.找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.
2.找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.
3.找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的最大值.温馨提示：
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提技能·题组训练
分式的概念
1.(2014·山西农业大学附中质检)下列式子是分式的是 ( )
A. B. C.+y D.
【解析】选B.根据分式的概念可知，判断一个式子是否为分式，只需要看分母中是否含有字母即可.选项B中分母中含有字母，是分式.
2.(2014·济南实验质检)下列各式：①；②；③；④中，是分式的有
( )
A.①② B.③④ C.①③ D.①②③④
【解析】选C.
式子
分母中是否含有字母
结论
含有字母
是分式
不含有字母
不是分式
含有字母
是分式
不含有字母
不是分式
3.在式子，，，，+，中，分式的个数是 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【解析】选A.根据分式的概念可知，，，是分式.其余的都不是分式.
4.下列式子中：-，，，，，，整式有 ，分式有 .
【解析】分母中不含有字母的有：，，是整式；
分母中含有字母的有：-，，，是分式.
答案：， -，，，
分式有、无意义，值为零的条件
1.(2013·漳州中考)使分式有意义的x的取值范围是 ( )
A.x≤3 B.x≥3 C.x≠3 D.x=3
【解题指南】
【解析】选C.分式有意义的条件是：分母不为0，即x-3≠0，解得x≠3.
2.若分式的值为0，则 ( )
A.x=3 B.x=0 C.x=-3 D.x=-4
【解析】选A.分式值为0的条件是分子等于0，分母不等于0，所以x-3=0，x+4≠0，解得x=3.
3.(2013·昭通中考)使式子有意义的x的取值范围是 .
【解析】有意义的条件是2x-1≠0，即x≠.
答案：x≠
4.若分式无意义，则x的取值范围是 .
【解析】若分式无意义，即分母3x+2=0，解得x=-.
答案：x=-
5.分式的值为0，则x的值为 .
【解析】分式的值为0的条件是：-2=0且x-2≠0，解得x=-2.
答案：-2
【变式训练】若分式的值为1，则x的值为多少?
【解析】分式的值为1，则分式的分子与分母相等，即x2+x=x+1，解得x=±1，又因为x+1≠0，所以x=1，综上可知，当x=1时，分式的值为1.
【知识归纳】分式值为1或-1时分子与分母的关系
1.分式的值为1时，分子与分母相等.
2.分式的值为-1时，分子与分母互为相反数.
注意：所求出的未知字母的值一定要使分式有意义，即使分式的分母不等于0.
6.若分式的值为正，则x的取值范围是 ；若分式的值为负，则x的取值范围是 .
【解析】分式的值为正，则x-1>0，解得x>1，分式的值为负，则x-1<0，解得x<1.
答案：x>1 x<1
【知识归纳】分式值为正或负的条件
1.分式的值为正的条件是分子分母同正或同负，且分母不能为0.
2.分式的值为负的条件是分子分母一正一负，且分母不能为0.
7.当x取何值时，下列分式有意义，无意义，值为0.
(1). (2).
【解析】(1)当分式有意义时，3x+2≠0，即x≠-；
当分式无意义时，3x+2=0，即x=-；
当分式值为0时，2x+1=0，3x+2≠0，解得x=-.
(2)当分式有意义时，x-4≠0，即x≠4；
当分式无意义时，x-4=0，即x=4；
当分式值为0时，16-x2=0，x-4≠0，解得x=-4.
【变式训练】(1)当a取何值时，分式有意义?
(2)当a取何值时，分式的值等于0?
【解析】(1)当分母2a≠0即a≠0时，分式有意义.
(2)由a+1=0，得a=-1，此时分母2a≠0.
所以当a=-1时，分式的值等于0.
8.已知分式的值为零，求满足条件的x，y的值.
【解析】当分式的值为零时，x+2=0，x+y+1≠0，解得x=-2，此时-2+y+1≠0，即y≠1，所以当x=-2，y≠1时，分式的值为零.
【易错提醒】分式值为0的条件是“分子等于0，分母不等于0”，不能出现求出使分子等于0的未知数的值后，未验证该值是否使分母等于0就写出结果的情况，如本题中易遗漏y的取值范围.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
x为何值时，分式的值为0.
(1)找错：第_______步出现错误.
(2)纠错：__________________________________________________________
________________________________________________.
答案：(1)③
(2)当x=-3时，分母3x+9=0，分式无意义，舍去，当x=3时，分母3x+9≠0，符合题意，所以x=3
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提技能·题组训练
分式的基本性质
1.下列各式从左到右的变形正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
【解析】选C.选项A：分子、分母同加m，不符合分式的基本性质；选项B：分子、分母都乘以c，但当c=0时，不成立；选项C：分子、分母都除以m，且隐含m≠0，符合分式的基本性质；选项D：分子乘以a，分母乘以b，分式的值改变.
2.下列各式中与分式的值相等的是 ( )
A. B. C. D.-
【解析】选C.==.
【变式训练】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1)-.(2).
【解析】(1)-=.
(2)=.
3.填空：
(1)=.
(2)==.
(3)=.
(4)==.
【解析】(1)将分式的分母乘以xy，才能得到3x2y，因此只有分子也同乘以xy，分式的值才能不变.
(2)根据分式的基本性质分子分母同时乘以(x+y)，值不变，且最后结果的分子是xy+x2.
(3)分子分母同时除以xy.
(4)分子分母同时乘以(a+b).
答案：(1)xy2 (2)x+y x+y x2+2xy+y2 (3)5x
(4)a+b a+b a2-b2
4.(1)将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是 .
(2)将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是 .
【解析】(1)==.
(2)==.
答案：(1) (2)
5.不改变下列分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数为正数.
(1). (2).
【解析】(1)===.
(2)==-.
【知识归纳】变分子、分母的最高次项系数为正的三步骤
1.排：按要求对指数进行降次排列.
2.提：把排后第一项系数为负号的分子或分母提出负号.
3.变：按分式符号法则，把分子或分母的符号提到分式本身的前边.
分式的约分
1.(2013·滨州中考)化简，正确的结果为 ( )
A.a B.a2 C.a-1 D.a-2
【解析】选B.==a2.
2.下列各式约分中，正确的是 ( )
A.=b B.=-1
C.=-1 D.=a+b
【解析】选B.A、C、D项不能约分，==-1，B项正确.
【易错提醒】约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去.分子、分母是多项式，需先分解因式，再约去公因式.
3.下列分式是最简分式的是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.有公因式，公因式是a，化简结果==；有公因式，公因式是a，化简结果==；没有公因式，是最简分式；有公因式，因为=，∴公因式是a-b，化简结果==.
4.(2014·祁阳二中质检)约分：= ，= .
【解析】=；==.
答案：
5.将下列分式化为最简分式：
(1).(2).(3).
【解析】(1)==.
(2)==.
(3)===.
分式的通分
1.(2014·集美学校质检)分式，，的最简公分母是 ( )
A.72xyz2 B.108xyz C.72xyz D.96xyz2
【解析】选A.系数取12，8，9的最小公倍数72，z取指数较大的.
2.，，的最简公分母是 .
【解析】因为(a-1)2=(1-a)2，所以最简公分母为(1-a)3.
答案：(1-a)3
3.通分：(1)，.(2)，，.
【解析】(1)，的最简公分母是12a2b2，
所以=，=.
(2)因为=，=，
所以最简公分母是(x+y)2(x-y).
所以=，
=，
==.
【知识归纳】通分三点注意
1.把异分母分式化成同分母分式，在这个过程中必须使得化成的分式与其原来的分式相等.
2.通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘以某个整式，分子也必须同时乘以这个整式.
3.确定最简公分母是通分的关键，当公分母不是最简时，虽然也能达到通分的目的，但会使运算变烦琐.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
化简下列分式：.
(1)找错：从第______步开始出现错误.
(2)纠错：________________.
答案：(1)②
(2)
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课时提升作业(三十三)
分式的基本性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2014·桐梓五中质检)下列等式成立的是 ( )
A.=- B.=-
C.=- D.=-
【解析】选C.=-,故A,B错误,=-,故C正确,D错误.
【知识归纳】分式的变号法则
根据分式的基本性质,可以得到分式的变号法则:分式的分子、分母和分式本身的符号,改变其中的任何两个,分式的值不变.
2.下面各分式:,,,,其中最简分式有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选D.∵==;
==;==-1;分子、分母没有公因式,是最简分式.
3.分式中的x,y同时扩大2倍,则分式的值( )
A.不变 B.是原来的2倍
C.是原来的4倍 D.是原来的
【解析】选B.分式中的x,y同时扩大2倍,则分子扩大4倍,分母扩大2倍,所以分式的值扩大2倍.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.当a=99时,分式的值是 .
【解析】因为a2-1=(a+1)(a-1),
所以==a+1;
当a=99时,a+1=100.
答案:100
5.分式,,,的最简公分母是 .
【解析】9-x2=-(x+3)(x-3),3-x=-(x-3),x2-6x+9=(x-3)2,所以最简公分母是(x+3)(x-3)2.
答案:(x+3)(x-3)2
6.若等式=成立,则x必须满足 .
【解析】分式中的分子、分母都乘以x得到分式,根据分式的性质可知x不能是0.
答案:x≠0
三、解答题(共26分)
7.(8分)请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式:
①x2-4xy+4y2;②x2-4y2;③x-2y.
【解析】(1)①与②结合,==.
(2)①与③结合,==x-2y.
(3)②与③结合,==x+2y.
8.(8分)已知=,求的值.
【解析】由已知=,得x=y.
所以====-.
【一题多解】=.
当=时,原式===-.
【培优训练】
9.(10分)去年某厂的生产总值逐月增长,每月的增长率都为p.求去年三月该厂的生产总值与一、二月份这两个月生产总值和的比(并将结果化简).
【解析】设去年一月份的产值为a元,
则==.
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课时提升作业(三十二)
从分数到分式
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·深圳中考)分式的值为0,则 ( )
A.x=-2 B.x=±2 C.x=2 D.x=0
【解析】选C.当分式的值为0时,x2-4=0,x+2≠0,解得x=2.
2.x,y满足什么条件,分式有意义 ( )
A.x,y不都为0 B.x,y都不为0
C.x,y都为0 D.x=-y
【解题指南】解答本题的三个关键
1.任意数的平方都是非负数,如本题分母中的x2,y2.
2.几个非负数的和仍是非负数.
3.几个非负数相加时,只要有一个数不等于0,那么和就不等于0.
【解析】选A.分式有意义,则x2+y2≠0,而x2≥0,y2≥0,所以当x,y不都为0时,分母x2+y2≠0.
3.(2013·太原中考)如果分式的值为正整数,则整数x的值的个数是 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选C.若分式的值为正整数,则1+x的值可以为1,2,3,6,对应的x的值为0,1,2,5,共4个.
【易错提醒】分式有意义的条件是“分母不为0”,不要误认为“分母中的字母不为0”,对于本题,易遗漏x=0的情况.
【互动探究】若将题干中“正整数”改为“整数”,则整数x的值的个数是多少个?
【解析】若分式的值为整数,则1+x的值可以为-6,-3,-2,-1,1,2,3,6,对应的x的值为-7,-4,-3,-2,0,1,2,5,共8个.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如果分式的值为0,则x的值应为 .
【解析】分式的值为0,则3x2-27=0,x-3≠0,解得x=-3.
答案:-3
5.(2013·南京中考)使式子1+有意义的x的取值范围是 .
【解析】式子1+有意义时,x-1≠0,解得x≠1.
答案:x≠1
6.河上游的码头A与下游的码头B相距Skm,轮船在静水中的速度为akm/h,水流的速度为bkm/h,则轮船从A到B往返一次航行所需时间是 h.
【解题指南】本题涉及的三个等量关系
1.顺水速度=静水速度+水流速度.
2.逆水速度=静水速度-水流速度.
3.时间=距离÷速度.
【解析】该轮船顺水航行的速度为(a+b)km/h,逆水航行的速度为(a-b)km/h,则它往返一次航行所需时间为:h.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知分式,当x=2时,分式的值为0,当x=-2时,分式无意义,求a+b的值.
【解析】因为x=2时,分式值为0,
所以2-b=0得b=2;
又因为x=-2时,分式无意义,
所以2×(-2)+a=0得a=4,
所以a+b=4+2=6.
8.(8分)甲、乙两辆汽车分别从相距900km的A,B两地同时出发,相向而行.甲车比乙车每小时多走10km.由于甲车中途出现故障,就地停车修理,结果两车恰好在A,B两地的中点相遇.
(1)如果甲车每小时走akm,那么甲车在中途停车多少小时?
(2)当a=60时,求甲车在中途停车多少小时.
【解析】(1)-(小时).
(2)当a=60时,-=1.5(小时).
【培优训练】
9.(10分)已知y=,当x取哪些值时:
(1)y的值是正数. (2)y的值是负数.
(3)y的值是零. (4)y无意义.
【解析】(1)y的值是正数,即为正数,
则或解得(2)y的值是负数,即为负数,
则或解得x>2或x<.
(3)y的值是0,即=0,则解得x=2.
(4)y无意义,即分式无意义,可得3-4x=0,
解得x=.
【变式训练】
(1)若分式的值是负数,求x的取值范围.
(2)若分式的值是正数,求x的取值范围.
【解析】(1)根据题意,得<0.
所以或解得1所以当1(2)根据题意,得>0.
因为x2≥0,所以4x+6>0且x≠0.解得x>-且x≠0.
所以当x>-且x≠0时,分式的值是正数.
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