宁波市奉化区九校联考2022-2023学年高二下学期期末模拟练习
数学卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，若集合满足，则可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B．5 C． D．
3. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
4．已知向量，的夹角为60°，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（ ）
A．s B．s C．s D．10 s
6．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
8. 若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则对于任意函数都有2个零点
B. 若，则对于任意 函数 都有4个零点
C. 若，则存 使得函数 有2个零点
D. 若，则存在 使得函数 有2个零点
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式的各项系数之和为1024
C．展开式中常数项为45 D．展开式中含项的系数为45
10．下列说法正确的是（ ）
A．在一个2×2列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大
B．随机变量，若函数为偶函数，则
C．若回归直线方程为，则样本点的中心不可能为
D．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则甲组数据的线性相关性更强
11. 我们知道，函数的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 有同学发现可以将其推广为: 函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 现在已知，函数 的图像关于点对称，则（ ）
A B.
C. 对任意，有
D. 存在非零实数，使
12. 若正四棱柱的底面棱长为4 ，侧棱长为3 ，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则下列结论正确的是（ ）
A. 点所在区域面积为 B. 四面体的体积取值范围为
C. 有且仅有一个点使得 D. 线段长度最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
已知函数，则______.
14．某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有_________种．
15．三个元件独立正常工作的概率分别是，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________.
已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17 已知函数.
（1）若，求的值;
（2）若在锐角中，角所对边分别为，已知，求 的周长的取值范围.
18．（12分）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）．
(2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．
（i）记，．证明：．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）．
(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．；；．
19．（12分）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.
(1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的分布列和数学期望；
(2)若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.
20. 如图，在三棱柱: 中，，点为线段中点，侧面为矩形.
（1）证明: 平面 平面;
（2）若，二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值.
21.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，且，，F是线段AD的中点.
(1)求证：平面平面EFB；
(2)若，求二面角的正弦值.
22 已知函数
（1）当 时，求在区间上的值域;
（2）函数，若对任意，存在，且，使得 ，求的范围.宁波市奉化区九校联考2022-2023学年高二下学期期末模拟练习
数学卷
参考答案
选择题
CABC BBAB
多选题
9.BCD；10.BCD；11.ACD；12.AB
12题解析：A选项，当时，与与底面的所成角，故点所在区域为以A为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界弧长），即圆的，面积为，A正确；
如图，当点P位于上时，此时点P到平面的距离最大，最大距离为，
此时四面体的体积为，
当P与点F重合时，此时点P到平面的距离最小，最小距离为，
因为△BFK∽△BAH，所以，所以最小体积为，
故四面体的体积取值范围为，B正确；
C选项，不妨点P与点F重合，
此时，由余弦定理得：，则
同理可得：，
故多于一个点使得，C错误；
D选项，当PC取最小值时，线段长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A，P，C三点共线时，PC取得最小值，即，则，D错误
填空题
13.1；14.30；15.；16.
解答题
17.（1）解：，，
，
因为，所以；
（2），，
解得或（舍去），
则，解得，所以外接圆的直径为，
所以三角形的周长为 ，
，
因为三角形是锐角三角形，所以，即，解得，
则，，所以.
18.【详解】（1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为
（2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以
，
，
从而和的平均数都是．
因此，，
同理可得，
由于，
所以；
（ii）由题目数据，可写出与的值如下：
同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
知识竞赛成绩排名 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2
同学编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩排名 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
知识竞赛成绩排名 12 14 13 11 16 15 17 18 19 20
所以，并且．
因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是
（3）答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；
答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系．
19.（1）解：由题意得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为
所以随机变量可能取值为3，4，5，6，
可得，
，
所以的分布列：
3 4 5 6
所以期望.
（2）解：（ⅰ）证明：，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率
则，
累计得分为分的情况有两种：
①，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分，其概率为，
②，即前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，其概率为，
所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，，…，，
各式相加，得：，
所以
所以活动参与者得到纪念品的概率为.
20（1）证明：因为，点为线段中点，所以，
又侧面为矩形，所以，所以.
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）得平面，所以，又，所以就是二面角的平面角，
所以，则，
设，
在中，，，所以，
在中，，
所以在中，，即，
化简得，解得（舍去），
所以，
以点D为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示，
过作底面，
因为，，则，，
则，
则，
则，
设平面的法向量为，
由，，
则，令，则，即，，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
21.【解析】（1）因为，F是线段AD的中点，所以，
在中，因为，，
所以为等边三角形，所以，
因为，平面EFB，平面EFB，所以平面EFB，
因为四边形ABCD是菱形，所以，则平面EFB，
又平面EBC，所以平面平面EFB.
（2）在中，因为，，所以，同理可得，
又，所以，所以，
结合（1）可知FE，FA，FB两两垂直，
故以点F为坐标原点，分别以FE，FA，FB所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
由（1）得平面EFB，故可取平面EFB的一个法向量为，
设平面EBD的法向量为，则，
所以，取，则，
所以，
设二面角的平面角为θ，则，
所以，
所以二面角的正弦值为.
22（1）解：当时，，
在区间上任意取两个值，令，
则，
因为，所以，故函数在区间上单调递增，
又，
所以在区间上的值域为.
（2）解：因为对任意，存在，且，使得 ，所以函数在区间上不单调，
又，
在区间上任意取两个值，令，
则，
当，时，，函数在区间上单调递增，不满足题意，故，
当时，，故，则函数在区间上单调递增，
则，
当时，函数，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，
故，解得；
当时，,在区间上单调递减，不满足题意；
当，时，，对称轴为，且，
则，
故，解得，与矛盾，故不满足题意；
当时，，在区间上单调递增，不满足题意.
综上，的范围为.
