上海市普陀区宜川中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

宜川中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1．设集合，则__________．
2．不等式的解集为___________．
3．已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________．
4．已知，且，则__________．
5．设随机变量X服从正态分布，若，则___________．
6．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是___________．
7．如图所示，圆锥SO的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为___________．
8．“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
气温x 18 13 10
用电量y 24 34 38 64
若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为__________．
9．已知平面向量，且平面向量的夹角为，，则在方向上的投影向量等于___________．
10．己知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为___________．
①函数在区间上严格减； ②函数在区间上严格增；
③函数在处取得极小值； ④函数在处取得极小值．
11．若是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为___________．
12．若函数的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是___________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分。
13．若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
14．“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．某同学上学路上有4个红绿灯的路口，假设他走到每个路口遇到绿灯的概率为，且在各个路口遇到红灯或绿灯互不影响，则该同学上学路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，F、H分别为ED、EA的中点．
（1）求证：平面AFC；
（2）求平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量，函数．
（1）设，且，求的值；
（2）在中，，且的面积为，求的值．
19．（本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分）
在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．
（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；
（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数X的分布和数学期望．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知抛物线
（1）求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（2）过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；
（3）已知点，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M、 N（均不与点P重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）
已知函数．（其中a为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由．
宜川中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学答案
二、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1． 2． 3． 4． 5．0.8 6．32.5
7． 8．68 9． 10．②④ 11． 12．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分。
13．B 14．A 15．D 16．B
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）证明：联结FH，因为F、H分别为ED、EA的中点，所以HF，
又因为，且，所以且，
即四边形BCFH为平行四边形，所以，
又BH不在平面AFC上，平面AFC，所以平面AFC．（建系也可）
（2）因为三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，所以平面ABCD，所以，所以AB，AD，AE两两互相垂直．
如图所示建立直角坐标系，
则有关点的坐标为
所以，
由题意知，平面EAB的法向量，
设平面AFC的法向量，
由，令，得，
设平面ACF与平面EAB所成锐二面角为，则．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
【解析】（1）由题意得
由，得，（或得）
于是，因为，所以或；
（2）因为，由（1）知．
在中，设内角A、B的对边分别是a，b．
因为的面积为，所以，于是．①
由余弦定理得，所以．②
由①②可得或于是．
由正弦定理得，所以．
19．（本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分）
【解析】（1）由，解得
，解得．
（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数：，
记任选2人有男生为事件A，则，
记任选2人有女生为事件B，则，则．
（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在和的学生中抽取8人，
抽中的8人每天学习时间在的人数为人．
抽中的8人每天学习时间在的人数为人．
设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为X，则
的分布为：
．X的数学期望为或．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
【解析】（1）焦点 准线
（2），则直线的方程为，
代入抛物线方程并化简得
设，则由韦达定理得，
由抛物线定义可知，
所以线段AB的长为20．
另【解析】用弦长公式求解，相应给分．
（3）假设存在定点，使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M，N（均不与点P重合），以线段MN为直径的圆恒过点P，则
设直线MN的方程为，代入抛物线方程得：
设，由达定理得
整理得对任意的恒成立，只需
此时
所以存在定点，使得过点Q的直线与与抛物线C交于两个不同的点M，N（均不与点P重合），以线段N为直径的圆恒过点P
另解：借助计算，则相应给分．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）
【解析】（1）当时，，，，
切线方程为：，即．
所以曲线在点处的切线方程为：．
（2）的定义域为．令，解得
当时，与在区间上的情况如下表：
x 1
- 0 +
极小值
此时，且当时，，当时，，
所以当时，求函数的最小值是．
（3）当时，，由得（舍），所以在上有一个零点
当时，与在区间上的情况如下：
a 1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
在上严格增，在上严格减．
此时在上没有零点；
在上严格增，且当时，，例如
（等等），所以在上只有一个零点．
综上讨论，当时，在上有一个零点．