河南省安阳市名校2022-2023学年高一下学期6月阶段测试数学试题（含答案）

安阳市名校2022-2023学年高一下学期6月阶段测试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设向量，，且，则向量与b的夹角为( )
A． B． C． D．
2．已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数( )
A．-3 B．3 C． D．
3．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点O'是斜边B'C'的中点，且，则中BC边上的高为( )
A．1 B．2 C． D．
4．在三棱柱中，平面ABC，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
6．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．根据统计图的数据，下列结论错误的是( )
A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26．25次
B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27．5次
C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320
D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32
7．某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表：
分数段
人数 2 5 6 8 12 6 4 2
那么分数在中的频率约是（精确到0．01）( )
A．0．18 B．0．47 C．0．50 D．0．38
8．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．中的面积为
10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论正确的是( )
A．
B．平面ABCD
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积为定值
11．某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在内的学生有60人，则下列说法正确的是( )
A．样本中支出在内的频率为0．03
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生，则定有600人支出在内
12．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示从甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列说法正确的是( )
A． B． 事件B与事件相互独立
C．事件B与事件相互独立 D．，互斥
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数z满足（i为虚数单位），则______．
14．已知四棱锥的底面ABCD是边长为a的正方形，且平面ABCD，，点M为线段PC上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，CM的长为__________．
15．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_________．
16．某人计划从3个亚洲国家，，和3个欧洲国家，，中选择2个国家去旅游．若他从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，则这2个国家包括但不包括的概率为_______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，设的面积为S，满足，求b的值．
18．（12分）在如图所示的几何体中，底面是正方形，四边形是直角梯形，，且四边形底面分别为的中点，．
(I)求证:平面平面;
(Ⅱ)求多面体的体积．
19．（12分）如图，是棱长为4的正方体，E是的中点．
(I)证明:;
(Ⅱ)求三棱锥的体积．
20．（12分）张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15~65岁的人群抽样了n人，问题是“大佛寺是几A级旅游景点？”统计结果如图表．
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 a 0．5
第2组 18 x
第3组 b 0．9
第4组 9 0．36
第5组 3 y
(1)分别求出a，b，x，y的值．
(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人．
21．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图．
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率．
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数．
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
22．（12分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成统计表如图，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率．
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．
(3)如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
答案以及解析
1．答案：D
解析：由，，，得，解得，则，设向量与b的夹角为，，则，．故选D．
2．答案：A
解析：，
因为z为纯虚数，则，解得．故选A．
3．答案：D
解析：直观图是等腰直角三角形，，，．根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，的BC边上的高．故选D．
4．答案：D
解析：平面ABC，，又，，又，，平面，该三棱柱可以补形成长方体，连接，，则，是与所成的角或其补角．令，则，在中，，，由余弦定理得．故选D．
5．答案：A
解析：设建设前总经济收入为100则建设后总经济收入为200
对于A，建设前种植收入为，建设后种植收入为故A借误:
对于B，建设前其他收入为，建设后其他收入为，故B正确
对于C，建设前养殖收入为，建设后养殖收入为，故C正确:
对于D，建设后，养殖收入占，第三产业收入占故D正确:
6．答案：D
解析：由题图可知，该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数是次，众数是27．5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0．2，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的约有320人，故A，B，C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0．1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的约有160人，故D错误．
7．答案：A
解析：班级总人数为，成绩在中的有8人，其频率为．
8．答案：A
解析：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C．由题意可知，所有的基本事件有aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件有aB，aC，bC，共3种，则齐王的马获胜的概率．故选A．
9．答案：BC
解析：由，得．由，得，．若，则，与矛盾，故，A错误，则，由，，得，，所以，所以，故，B正确．由正弦定理，得，C正确，所以的面积为，D错误．
10．答案：ABD
解析：A项，为正方体平面，故A项正确；
B项，显然，即，所以平面ABCD，故B项正确；
C项，易证是边长为的正三角形，故点A到的距离，而点B到的距离，所以，，故C项错误；
D项，显然点A到平面BEF的距离，所以为定值，故D项正确．
11．答案：BC
解析：样本中支出在内的频率为，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为，故B正确；，故n的值为200，故C正确；若该校有2000名学生，则可能有人支出在内，故D错误．故选BC．
12．答案：AD
解析：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：
因此，，，故A正确；
又，，故B错误；同理，C错误；
显然，不可能同时发生，故，互斥，故D正确．故选AD．
13．答案：
解析：由，
得，
所以，则，
所以．
故答案为：．
14．答案：
解析：连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的表面积最小时，四棱锥外接球的半径最小．设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点．当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，
连接OC，在中，．当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，O与重合，．设CM的中点为N，连接，易知，则，
所以，解得，所以．
15．答案：600
解析：由题意知，在该次数学考试中成绩小于60分的频率为，故这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是．
16．答案：
解析：从3个非洲国家和3个欧洲国家中各任选1个，所有样本点为，，，，，，，，，共9种．其中包括但不包括的事件所包含的样本点有，，共2种，所以所求事件的概率．
17、（1）答案：
解析：由，得，
根据正弦定理，得．
因为，
所以，
所以．
因为，所以，所以，则．
（2）答案：
解析：由，得．
又由正弦定理得，
所以，解得．
18．答案：(I)见解析
(Ⅱ)
解析：(I)证明:分别为的中点，
．
又∵四边形是正方形，
，
．
平面平面，
平面平面．
又平面，
∴平面平面．
(Ⅱ)∵四边形是直角梯形，，
．
又∵四边形底面，平面平面平面，
平面，
是四棱锥的高，
．
∵四边形是正方形，
．
平面平面，
．
又平面．
平面，即是三棱锥的高，
，
∴多面体的体积．
19．答案：(I)见解析
(Ⅱ)
解析：(I)证明：连接．
∵四边形是正方形，
．
在正方体中，
平面，
又平面，
．
又平面，平面，
平面．
又平面，
．
(Ⅱ)设与交于点F，连接．
在正方体中，．
又分别是的中点，
，
∴四边形是平行四边形，
．
过平面平面，
平面．
又正方体的棱长为4，
．
20．答案：(1)．
(2)第2组2人，第3组3人，第4组1人．
解析：(1)由频率分布表中第4组数据可知，第4组总人数为，
结合频率分布直方图可知．
所以．
，．
(2)因为第2，3，4组回答正确的共有54人，所以利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第2组：；第3组：；第4组：．
21．答案：(1)概率估计为0．4
(2)估计为20
(3)比例为
解析：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，
所以样本中分数小于70的频率为，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0．4．
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为，
分数在区间内的人数为，
所以总体中分数在区间内的人数估计为．
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，
所以样本中分数不小于70的男生人数为，
所以样本中的男生人数为，女生人数为，
所以样本中男生和女生人数的比例为，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为．
22．答案：(1)同时购买乙和丙的概率为0．2
(2)同时购买3种商品的概率估计为0．3
(3)同时购买丙的可能性最大
解析：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为．
(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为．
(3)与(1)同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，
1000顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为．
所以如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买丙的可能性最大．