黑龙江省牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（含解析）

牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考
数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本试卷命题范围：选择性必修第二册（4.1~4.2），选择性必修第三册（7.2~8.3）。
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x（单位：吨）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组对应数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为，那么表格中t的值为（ ）
A．3 B．3.05 C．3.15 D．3.5
2．等差数列11,8,5,…，中是它的第几项（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
3．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往16km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付的车费为（ ）
A．23.2 B．24.4 C．25.6 D．26.8
4．已知数列的通项公式为，则数列各项中最大项是（ ）
A．第16项 B．第15项 C．第14项 D．第13项
5．某机构为研究学生玩电脑游戏和对待作业量态度的关系，随机抽取了100名学生进行调查，所得数据如下表所示：
认为作业多 认为作业不多 合计
喜欢玩电脑游戏 25 15 40
不喜欢玩电脑游戏 25 35 60
合计 50 50 100
参照所附公式和数据，得到的正确结论是
参考公式：，
参考数据：，
A．有95%的把握认为是否喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关
B．有95%的把握认为是否喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关
C．有99%的把握认为是否喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关
6．已知数列满足，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
7．有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则，
A．7539 B．7028 C．6826 D．6587
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若数列的前四项依次是2,0,2,0，则的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，则（ ）
A．的所有取值是1,2,3 B．
C． D．
11．如图所示是某市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温的折线统计图，已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数，则下列结论正确的是（若，则线性相关程度较强）（ ）
A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关
B．月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出现在10月
C．9~12月的月温差相对于5~8月，波动性更大
D．每月最高气温与最低气温的平均值在所统计的前6个月里逐月增加
12．“中国最具幸福感城市调查推选活动”由新华社《瞭望东方周刊》、瞭望智库共同主办，至今已连续举办15年，累计推选出80余座幸福城市，现某城市随机选取30个人进行调查，得到他们的收入、生活成本及幸福感分数（幸福感分数为0~10分），并整理得到散点图（如图），其中x是收入与生活成本的比值，y是幸福感分数，经计算得回归方程为．根据回归方程可知（ ）
A．y与x成正相关
B．样本点中残差的绝对值最大是2.044
C．只要增加民众的收入就可以提高民众的幸福感
D．当收入是生活成本3倍时，预报得幸福感分数为6.044
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．在中，分别为的对边，，，这个三角形的面积为，则______．
14．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取到次品的次数，则______．
15．为了应对日益严重的气候问题，贵州某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测。如图所示，三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点两地相距100米，，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°，则最大高度CH的值为______米．
16．某种产品的质量指标值Z服从正态分布，且．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（10分）
（1）已知数列满足，。求证：数列是等差数列；
（2）设数列为等差数列，，，判断55是否是数列中的项，若是，是第几项．
18．（12分）
在一个袋中装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球。现从中任取2个球，设随机变量X为取得红球的个数．
（1）求X的分布列；
（2）求X的数学期望和方差．
19．（12分）
机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险。机动车辆保险一般包括交强险和商业险，商业险包括基本险和附加险两部分。经验表明新车商业险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的相关数据：
购车价格x（万元） 5 10 15 20 25 30 35
商业险保费y（万元） 1737 2077 2417 2757 3097 3622 3962
（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程（精确到0．01）；
（2）某保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上一年没有出险，则下年保费倍率为85%，上一年出险一次，则下一年保费倍率为100%，上一年出险两次，则下一年保费倍率为125%．太原王女士2022年1月购买了一辆价值32万元的新车．若该车2022年2月已出过一次险，4月又发生事故，王女士到汽车维修店询价，预计修车费用为800元，理赔人员建议王女士自费维修（即不出险），你认为王女士是否应该接受该建议？请说明理由．（假设车辆2022年与2023年都购买相同的商业险产品）
参考数据：
参考公式：
20．（12分）
在数列中，，且满足。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
21．（12分）
20大以来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，并取得了积极成效。某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积x（单位：亩） 1 2 3 4 5
管理时间y（单位：月） 8 10 13 25 24
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 150 50
女性村民 50
合计
（1）求出样本相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；
（2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；
（3）以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该贫困县的情况，从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式：，，其中．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考数据：．
22．（12分）
2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度。某市2022年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据区间中点值作代表，视频率为概率）．
质量指标值
频数 20 10 30 15 25
（1）分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数．
（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为级三个等级，其中质量指标值Z不高于2．6的为C级，高于38.45的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：
①甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；
②已知每瓶消毒液的等级与出厂价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示：
等级 A B C
出厂价X 30 25 16
假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由．
附：若，则
牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．A．．因为回归直线过样本中心点，所以，解得．
2．C，∴．由，得
3．C表示走4km的车费，公差．那么，当出租车行驶至16km时，．∴
4．B设函数，抛物线的对称轴方程为，由知，的最大值为，即最大项是第15项．
5．A由题意得，故有95%的把握认为是否喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关．
6．D将进行变形，得，则由，得，所以数列是以4为周期的周期数列，又，所以．
7．B等差数列2,6,10,…,190，公差为4，等差数列2,8,14,…,200，公差为6，所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，其公差为12，首项为2，所以通项为，所以，解得，而，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16．
8．D由题意知，，所以；因为，所以，所以，所以阴影部分的面积为．所以在正方形ABCD中随机投掷10000个点，落入阴影部分的点的个数估计值是．
9．ABC由题意知，．将分别代入选项中检验，均符合的前四项，在选项D中，当时，，不符合．
10．BCD的所有可能取值为表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生则表示三位同学只有1位同学坐对了，则表示三位同学全坐对了，即对号入座，则，所以的分布列为
0 1 3
P
故．．故选BCD
11．ABC每月最低气温与最高气温的样本相关系数，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关；由所给的折线图可以看出月温差（月最高气温－月最低气温）的最大值出现在10月；9~12月的月温差相对于5~8月，波动性更大；每月的最高气温与最低气温的平均值在所统计的前5个月里逐月增加，在第6个月开始减少，所以正确，D错误．故选ABC．
12．ABD对于A，由散点图知，当x增大时，y也增大，y与x成正相关，A正确；对于B，由图知，点A是残差绝对值最大的点，当时，，则残差，所以残差的绝对值最大是2.044，B正确；对于C，若增加民众的收入，而生活成本增加的更多，收入与生活成本的比值x反而减小，幸福感分数y减小，C不正确；对于D，收入是生活成本的3倍，即，则，幸福感分数预报值为6.044，D正确．故选ABD．
13．∵这个三角形的面积为，∴，∴，∴．由余弦定理可得，．
14．因为是有放回地取产品，所以每次取到次品的概率为，从中取3次，X为取到次品的次数，则，故．
15．设，由条件可知，在中，由余弦定理，可得，即，解得，所以（米），故A，C两地的距离为420米，所以（米）．
16．26 因为某种产品的质量指标值Z服从正态分布，且．所以10000件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为：．
17．（1）证明：由已知可得：，故：，
所以数列是等差数列，首项，公差．
（2）∵，∴，解得∴
假设，解得．因此55是数列中的第20项．
18．解：（1）X的可能取值为0,1,2． ，则X的分布列为
X 0 1 2
P
（2）由（1）中分布列可得
．
19．（1）（万元），
，
所以0
（2）价值为32万元的车辆的商业车险保费预报值为元。
由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，即保费增加元。
因为926.30＞800，若出险，2023年增加的保费大于800元，所以王女士应接受理赔专员的建议．
20．解（1）∵，∴，∴数列是等差数列，设其公差为d．
∵，∴，∴
（2）设数列的前n项和为，则由（1）可得，
由（1）知，令，得，∴当时，
则；当时，，则∴
21．解：（1）有题知，，
故，，
则，
故管理时间y与土地使用面积x线性相关．
（2）依题意，完善表格如下：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 150 50 200
女性村民 50 50 100
合计 200 100 300
零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关．
计算可得依据的独立性检验，认为村民的性别与参与管理的意愿有关。
（3）解法一：依题意，X的可能取值为0,1,2,3，从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故．故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则数学期望
解法二：依题意，从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为
，则，故．
22．解：（1）根据频率分布直方图的性质，可得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为：
，设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n，则，解得，即乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为．
（2）①由题意，甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，所以
又由，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有81860瓶．
②设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10,5，－4，可得由①知，所以
分故Y的分布列为：
Y 10 5 －4
P 0.15865 0.8186 0.02275
所以每瓶消毒液的平均利润为：
（元），故生产半年消毒液所获利润为（千万元），而5.5885（千万元）>4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资。