福建省泉州市永春县2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（含答案）

永春县2022-2023学年高二下学期6月月考
数学科试卷（2023.6）
考试时间：120分钟 满分：150分
单选题（每题5分，共40分）
1.已知集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
2.已知复数z满足,则（ ）
A. B. C. D.
3.若的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
4.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（ ）
A.20 B.16 C.27 D.9
5.在中，点是边上一点，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
6.设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（ ）
A.3 B. C.1 D.2
8.已知双曲线的右焦点为，点、在双曲线上，且关于原点对称.若，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（每题5分，共20分，全部选对得5分，选对而不全得2分，有错选的得0分）
9.已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ）
A.该组数据的平均数为 B.该组数据的中位数为13
C.该组数据的第70百分位数为16 D.该组数据的极差为15
10.已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
11.在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，，的中点，则（ ）
A.AC⊥BP
B.⊥平面EFPQ
C.平面平面EFPQ
D.直线CE和所成角的余弦值为
12.已知实数a,b满足:且,则（ ）
A. B.
C. D.
三．填空题（每空5分，共20分）
13.过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与在第一象限内交于点A，点，若，则________.
14.写出曲线过点的一条切线方程__________．
15.如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________．
16.无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，且，则__________，为数列的前项和，则__________.
四．解答题（共70分，解答应写出演算步骤，证明过程）
17.在中，角所对的边分别为，已知
1、求的值；
2、若，则的面积.
18.已知数列的前项和，，，．
1、计算的值，求的通项公式；
2、设，求数列的前项和．
19.在如图所示的圆柱中,为圆的直径,是上的两个三等分点,,,都是圆柱的母线.
1、求证：平面;
2、若已知直线与平面所成角为求二面角的余弦值.
20.某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i名学生的成绩为，其中，分别为第i名学生的数学总评成绩和物理总评成绩．抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学总评成绩x 95 92 91 90 89 88 88 87 86 85 83 82 81 80 80 79 78 77 75 74
物理总评成绩y 96 90 89 87 92 81 86 88 83 84 81 80 82 85 80 78 79 81 80 78
1、根据统计学知识，当相关系数时，可视为两个变量之间高度相关．根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明．
参考数据：，，．
规定：总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀．对优秀赋分1，对不优秀赋分0．从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望．
21.已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．
1、求椭圆的标准方程；
2、记线段与椭圆交点为，求的取值范围．
22.已知．
1、若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
2、若函数有两个极值点，证明：．
永春县2022-2023学年高二下学期6月月考
数学科参考答案（2023.6）
1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.C
9.ABD 10. ABC 11.AC 12.ACD
13. 4 14.或（写出其中的一个答案即可）
15. 96 16. 1 4718
17. 1、 2、
（1）根据求，然后利用正弦定理和求即可；
（2）利用余弦定理和得到，然后利用面积公式求面积即可.
由于，则，因为，
由正弦定理知，则.
因为由余弦定理，得，
即，解得，而，
所以的面积.
18. 1、， 2、
（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；
解：当时，，解得，
由题知①，②，
由②①得，因为，所以，
于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即，
偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即
所以的通项公式；
解：由（1）可得，
19.1、证明见解析 2、
(1)根据题意由面面平行,证明线面平行即可;
(2)由可得到底面的长度和角度,由与平面所成角为可得到母线长,通过建立直角坐标系,求两个面的法向量,进而求得二面角大小的余弦值.
证明:为圆的直径,是上的两个三等分点,
,
,均为等边三角形,
,四边形是平行四边形,
,又平面平面,平面,
平面平面,
平面,,平面平面,
平面,平面.连接,则圆,
,,又,
以为原点,所在直线分别为轴,建系如图示:
则,,
设平面的法向量,,
令则,而平面的法向量为,
,即二面角的余弦值
20. 1、“数学总评成绩”与“物理总评成绩”高度相关；说明见解析
2、分布列见解析；期望为
(1)根据公式计算出的值后可得出结果；
(2)由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，4，然后求出概率，再用期望公式可求解.
由题意，，
所以“数学总评成绩”与“物理总评成绩”高度相关．
由题意得：X的可能取值为0，1，2，3，4．
根据赋分规则可知，7人赋分为2，4人赋分为1，9个人赋分为0，所以
，，，
，，所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以．
21. 1、 2、
（1）根据椭圆的离心率公式及，即可求得和的值，求得椭圆方程；
（2）根据两点之间的距离公式，根据，，即可求得的取值范围；
由题意可知：，， ，则，
∴椭圆的标准方程：；
由题意可知：，
设，则，
∴，
由，当时，，当时，，
∴的取值范围；
22. 1、； 2、证明见解析.
（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答.
（2）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答.
函数定义域为，依题意，，成立，
即，成立，而当时，，因此，
而时，不是常数函数，于是得，
所以实数的取值范围是.
由（1）知，，因有两个极值点，则，即有两不等正根，
于是得，有，
，
，令，，
，显然函数在上单调递增，而，
因此，使得，即，当时，，当时，，
于是得在上单调递减，在上单调递增，，
显然在上单调递增，则，因此，即有，
所以.