河南省濮阳市名校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含答案）

濮阳市名校2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若把数据，改变为，则它们的（ ）
A．平均数与方差均不改变 B．平均数改变，方差保持不变
C．平均数不变，方差改变 D．平均数与方差均改变
3．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值为（ ）
A．-2 B．11 C．-2或11 D．2或11
4．若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
5．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是（ ）
A．第70百分位数为8 B．平均数为7
C．方差为 D．众数为7和9
6．“五月的风”是坐落在山东省青岛市五四广场的标志性雕塑，重达500余吨，是我国目前最大的钢质城市雕塑，如图所示．现测量该雕塑的高度时，选取了与该雕塑底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，测得，，，在C点测得该雕塑顶端A的仰角为40°，则该雕塑的高度约为（参考数据：取）（ ）
A．26m B．28m C．30m D．32m
7．在三棱锥中，平面ABC，，且，，，若球O在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球O为三棱锥的内切球），则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（ ）
A． B．
C．z的共轭复数为 D．z的虚部为-1
10．广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比赛，在比赛中由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．A组打分的众数为47 B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致 D．B组打分的均值小于A组打分的均值
11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．为钝角三角形 B．C为最大的内角
C． D．
12．如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为______．（填“锐角三角形”、“直角三角形”、“钝角三角形”、“无法确定”中的一个）
14．水平放置的平行四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示，此直观图恰好是个边长为的正方形，则原平行四边形OABC的面积为______．
15．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为______．
16．已知平面向量，的夹角为45°，，，则的最小值是______．
三、解答题：本题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到0.1）．
18．（本小题12分）已知平面向量，满足，，，且．
（1）求；
（2）设向量，，记，求的值．
19．（本小题12分）如图所示，在正六棱锥中，O为底面中心，，．
（1）求该正六棱锥的体积和侧面积；
（2）若该正六棱锥的顶点都在球M的表面上，求球M的表面积和体积．
20．（本小题12分）在中，．
（1）求A；
（2）若点D在BC边上，，，求的面积．
21．（本小题12分）如图，在直角梯形OABC中，，，．F为AB上靠近B的三等分点，OF交AC于D，E为线段BC上的一个动点（包含端点）．
（1）若，求实数t的值；
（2）设，求的取值范围．
22．（本小题12分）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，问在棱AD上是否存在一点F，使侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．
濮阳市名校2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试卷参考答案
一、二、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B C D A C A B BD AC BC AC
8．解析：，
即 ，
又 ，
，
即 ，
， 又．
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知， ，，
，
．
由等号左右两边同时乘以可得：
，
．
三、填空题
13．直角三角形14．15．16．
四、解答题
17．解析：(1)，
． .....................................................4分
平均数为
． ...10分
18．解析：(1)由题知，..............1分
所以；..............5分
(2)因为，..............7分
，同理可求得，..............10分
所以................................12分
19．解析：(1)由条件可知正六边形ABCDEF的边长为4，
所以底面积为，
该正六棱锥的体积为，...............................3分
正六棱锥的侧棱长为，
侧面等腰三角形的面积为，
故该正六棱锥的侧面积为；...............................6分
(2)球心M一定在直线SO上，设球M的半径为R，
则，又，
所以，解得， ...............................8分
所以球M的表面积为，..............................10分
体积为．...............................12分
20．解析：(1)由正弦定理边角互化可知，，即，
所以，...............................4分
又，所以；...............................5分
(2)点是的中点，
，即（Ⅰ）.................7分
，即，...............................9分
化简为，即，（Ⅱ）
由(Ⅰ)(Ⅱ)两式可得，...............................10分
所以................................12分
21．解析：(1)由题意得，
则
故，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，
，则；...............................4分
(2)由已知，
因P是线段BC上动点，则令，.........................5分
，........7分
又，不共线，则有，
，
在上递增，...........................10分
所以，，，
故的取值范围是． ..............................12分
22．解析：(1)取的中点，连接、，
由正四棱锥的性质可知平面，平面，则，
依条件可知，则为所求二面角的平面角. ...........2分
面，则为侧棱与底面所成的角，
则，设，则，所以，，
则，因为，故． ............5分
(2)延长交于，则为的中点，取的中点，连接、．
因为，为的中点，则，
同理可得，
，故平面，
平面，
平面平面，.................7分
又，，
所以，为正三角形，为的中点，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，.................10分
取的中点，连接，
、分别为、的中点，则且，
因为且，、分别为、的中点，则且，
为的中点，则且，故且，
所以，四边形为平行四边形，则，故⊥平面．
因此，是的四等分点，靠近A点的位置． ..........................12分