6.4.3 余弦定理 第一课时 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
§6.4.3-1 余弦定理
6.4 平面向量的应用
情境引入
在初中，我们学过研究三角形边与角关系的哪些知识？
勾股定理、锐角的三角函数
直角三角形中
边、角的定量关系
三角形全等
（SSS, SAS, ASA, AAS）
一般三角形中的边角关系
上述知识表明：给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的这些元素有怎样的数量关系？
学习新知
角A的对边边长：a
角B的对边边长：b
角C的对边边长：c
把三角形的三个角A,B,C和它们的对边边长a,b,c叫三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
大边对大角，小边对小角
“解三角形”的含义
探究新知
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.
也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.
那么，表示的公式是什么呢？
探究1：在中，三个角所对的边分别是，怎样
用和表示？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，
所以我们考虑用向量的 数量积 来探究.
探究新知
问题1 已知三角形的两边a，b及它们的夹角C，如何求第三边c？
设 ，
那么
∴
①把几何元素用向量表示：
②进行恰当的向量运算：
③向量式化成几何式：
同理可得
于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余弦定理.
探索新知
在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c怎样用a、b和C表示c？
解析法（建系法）
探究新知
探究2：还有其他的方法证明上述关系式的成立吗？
法3：几何法
（作高法）
学习新知
余弦定理
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
思考：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
已知两边及其夹角求第三边（SAS型）
符号语言：
a
c
学习新知
2、余弦定理的推论
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题.怎么确定呢？
已知三边求任意一个角（SSS型）
从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
思考：利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？
归纳总结：
已知三条边求任意角
（SSS）
余弦定理：
推论：
已知两边夹一角求第三边【对边】
（SAS）
问题1 公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.
（方程思想）
a
c
解三角形
02
学习新知
例1在△中，已知，解这个三角形.
应用一：已知两边及其夹角，解三角形（SAS）
例2 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求cosB .
学习新知
例1在△中，已知，解这个三角形.
解：直接应用余弦定理，
°
应用一：已知两边及其夹角，解三角形（SAS）
例2 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求cosB .
(内)C=π-A-B.
学习新知
应用一：已知两边及其夹角，解三角形（SAS）
例2 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求cosB .
学习新知
应用一：已知两边及其夹角，解三角形（SAS）
例2 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求cosB .
解：
学习新知
应用二：已知三条边求任意角（SSS）
例3 在△ABC中，a= ，b=2，c= ，解这个三角形.
学习新知
应用二：已知三条边求任意角（SSS）
例3 在△ABC中，a= ，b=2，c= ，解这个三角形.
解：由余弦定理得
“知三边”：(余)求cosA,cosB得A,B→(内)C=π-A-B.
典型例题
题型一：已知三边解三角形
求第一个角——先利用余弦定理的推论求一个角的余弦值，再判定此角的取值，
求得第一个角(一般先求最小角)
求第二个角——继续用余弦定理求另一个角
求第三个角——最后用三角形内角和定理求出第三个角
技巧总结：已知三角形的三边求角的基本步骤
学习新知
应用二：已知三条边求任意角（SSS）
学习新知
应用二：已知三条边求任意角（SSS）
解：由余弦定理，得
学习新知
应用三：已知两边及一边对角，解三角形（SSA）
例4 在△ABC中，若c＝ ，b＝5，且cos C＝ ，求a.
学习新知
应用三：已知两边及一边对角，解三角形（SSA）
例4 在△ABC中，若c＝ ，b＝5，且cos C＝ ，求a.
方法总结：关键是利用含有已知角的余弦定理，得到一个一元二次方程.
若c＝1，b＝5，且cos C＝ 呢？
（不一定有解）
a2-9a+24＝0
典型例题
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三
边的一元二次方程求解.
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一
边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.
技巧总结：已知两边及一角解三角形的两种情况
从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式！
理解新知
探究3：勾股定理与余弦定理有什么关系？
，
余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例
为直角
为钝角
为锐角
是否可以利用余弦定理判定三角形形状？
典型例题
题型三：三角形形状的判断
例5.在△中，若,试判断该三角形的形状。
由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
典型例题
题型三：三角形形状的判断
作用1：知两边及夹角求第三边
作用2：知三边求任一角
作用3：定形状
余弦定理的应用
1.知三边求三角(余求两角+内求角)
2.知两边及夹角(余求边+余求角+内)
3.知两边及其中一边的对角(余(方程)求边+余求角+内)
有多解
提升题：余弦定理的应用
知哪角，用哪式
4
4
提升题：余弦定理的应用
知哪角，用哪式
4
4
思路1：(余A)△ABC中求cosA→(余A)△ABD中求BD
思路2：(余C)△ABC中求cosC→(余C)△BCD中求BD
思路3：