河北省张家口市尚义县2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含解析）

尚义县2022-2023学年高一下学期6月月考
数学
2023.6
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.平面向量.若，则（ ）
A. B.0 C. D.
3.下列说法中正确的是（ ）
A.圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B.圆锥的顶点 圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C.用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
D.过球上任意两点，有且仅有一个大圆
4.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A.0 B. C. D.
5.已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若是异面直线，，则与不一定平行
6.已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置的斜二测直观图为矩形，如图所示，若，则该直四棱柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，底面，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.过所在平面外一点，作，垂足为，连接，则正确的选项为（ ）
A.若，则是边的中点
B.若到三边的距离相等，则是的内心
C.若，则是的垂心
D.若，则是的外心
10.内角的对边分别为，已知，则的值可以为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
11.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A.若，则一定是等边三角形
B.若，则为等腰直角三角形
C.若，则是等腰直角三角形
D.若，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
12.已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）轴截面是边长为4的等边三角形，则下面选项正确的是（ ）
A.圆锥的高为
B.圆锥的侧面积为
C.圆锥的内切球表面积为
D.若为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数满足，则__________.
14.已知，则向量在方向上的投影向量坐标为__________.
15.已知一个直角三角形的两直角边长分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体的表面积为__________.
16.已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为2的等边三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知复数，其中.
（1）若，求实数的值；
（2）若且是纯虚数，求.
18.（本题满分12分）
在直四棱柱中，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）是否在平面上，回答是与否，不需要说明理由.
19.（本题满分12分）
如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.
（1）用向量与表示向量；
（2）若，求证：三点共线.
20.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为上一点.
（1）若点为中点，求证：平面；
（2）若，平面平面，求证：平面平面.
21.（本题满分12分）
已知的内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
22.如图1所示，在梯形中，，分别延长两腰交于点，点为线段上一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示.
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的平面角为，求与平面所成的角的正切值.
尚义县2022-2023学年高一下学期6月月考
数学答案
1.B 【解析】因为，故，故，故选：B.
2.D 【解析】，
，解得，故选：D.
3.B 【解析】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；
圆锥的顶点 圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，B正确；
用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故错误；
当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，D错误.故选：B.
4.D
5.C 【解析】如图，在直三棱柱中，是锐角三角形，
对于，直线分别为，直线为直线，满足，
而与不垂直，不正确；
对于，平面与平面分别为，平面为平面，
满足，而平面与不垂直，不正确；
对于，由线面垂直的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行”可知正确；
对于，当是异面直线，时，，D不正确.故选：C.
6.B 【解析】由题设，则原四边形中，又，
故平行四边形的面积为.
故选：B.
7.B 【解析】因为，所以，由，
所以，因为，所以.故选：B
8.D 【解析】由余弦定理，，故，因为
底面，在Rt中，，作于，因为平面平面，故平面，故与平面所成角为.又
，解得，故，故选：D.
9.ABC
10.AB 【解析】因为，所以.又
所以，因为，所以.又，
所以或，当时，，当时，，故选：AB.
11.AB 【解析】对于，因为，所以，所以，
且，所以，所以为等边三角形，故正确；对于，由正弦定理可得，则，所以，所以为等腰直角三角形，B选项正确；对于，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得
又且，所以，故等腰不一定是直角三角形，所以错误；对于选项，要使满足条件的三角形有且只有两个，则，因为，所以，即，所以.故选项D错误.故选：AB.
12.BC 【解析】对于中，圆锥轴截面是边长为4的等边三角形，
可得圆锥的底面圆的半径为，高，所以错误；
对于中，母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为
，所以B正确；
对于中，设圆锥的内切球球心为，半径为，如图所示，
由与相似，可得，即，解得，即圆锥的内切球的表面积为，所以正确；对于中，如图所示，设圆锥侧面展开图圆心角为，
由弧长等于底面圆的周长，可得，可得，
在直角中，，
可得，
即若为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是，所以不正确.故选：BC.
13. 【解析】由题意得，所以.
14. 【解析】因为，所以在方向上的投影向量坐标为
15. 【解析】一个直角的两直角边长分别是，所以，
斜边长为，以这个直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个圆锥的组合体，如图示，，
故旋转体的表面积为
16. 【解析】作出圆锥的轴截面，如图所示，因为圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，
可得圆锥的底面圆的半径为，高，
设内接圆柱的底面半径为，
在直角中，可得，则，
所以，
所以内接圆柱的侧面积为，
当且仅当时，即时，等号成立，此时.
所以圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为.
17.【解析】（1）复数，则，
又，因此，解得，
所以实数的值是1.
（2）复数，
则，
因为是纯虚数，于是，解得，
因此，又，
则，即有，
所以
18.【解析】（1）连结交于点，连结，
因为点分别是的中点，
所以，且，
所以，即四边形是平行四边形，
所以，且平面平面，
所以平面.
（2）因为，则
，
所以，所以，
因为，且，
所以平面，
因为，所以点到平面的距离为，
设点到平面的距离为，
根据等体积转化可知，
即，解得：，
所以点到平面的距离为.
（3）否.
19.【解析】（1）是的中点，
（2）证明：，
与平行，又与有公共点，
三点共线.
20.解：（1）连接交于，连接，如图所示；
因为为的中点，是的中点，则
平面平面，
所以平面
（2）在中，，
所以，
所以，所以；
因为四边形是平行四边形，所以，所以；
又因为平面平面，
且平面平面平面，
所以平面；
因为平面，所以平面平面.
21.【解析】（1），由正弦定理得
根据余弦定理可知，
所以，
又，得，因为，所以.
（2）因为，由余弦定理，
即，
由于，所以，
即（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以时的面积最大，最大值为.
22.【解析】（1）证明：在图1中，
，即，且，
，
则在图2中，，
又平面
平面.
平面.
又平面，
平面.
（2）解：由已知，且，得分别为的中点，
在Rt中，，
则，由（1），
，二面角的平面角为，
所以
因为平面，
所以与平面所成的角为，
在Rt中，