6.4.3 余弦定理 第一课时 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
第6章 平面向量及其应用
6.4.3 第2课时 正弦定理
复习引入：
1.余弦定理：
2. 余弦定理的推论：
复习引入：
3. 用余弦定理可以解决三种解三角形的题型：
(1) 已知三边解三角形．
(2) 已知两边及夹角,解三角形．
(3) 已知两边及一边对角,解三角形．
三角形全等
（SSS）
（SAS）
（ASA）
（AAS）
？定理
解三角形
（SSA）解不确定，有多解
问题1 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
探索新知：
在初中，我们知道三角形中等边对 的结论. 实际上，三角形中还有
的边角关系. 我们能否得到这个边、角关系准确量化的表示呢？
在 ABC中, 如何确定A, B, a, b间的定量关系.
为方便，不妨假设 ABC为直角三角形.
如图示，在Rt△ABC中，
对锐角三角形和钝角三角形，这个关系是否任然成立？
等角
大边对大角，小边对小角
从而解决：“在△ABC中，已知A, B, a, 求b”的问题.
探索新知：
解：当△ABC是锐角三角形时,
A
B
C
a
c
b
D
设边AB上的高是CD,
根据三角函数的定义,
得到
同理,在△ABC中,
思考：当△ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗
探索新知：
A
B
C
a
b
c
D
解：过点C作CD⊥AB,
E
过点A作AE⊥BC,
这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.
探究新知
思考1：如何证明上述关系式的成立吗？
法1：几何法
（作高法）
探究新知
思考2：还有其他方法证明上述关系式的成立吗？
法2：等面积法
正弦定理再探究
外接圆法
直角三角形的斜边等于其外接圆直径.

符号语言
文字语言
5.形成定理 理解赏析
①正弦定理的叙述适合于任何三角形
②也可以利用三角形的面积证明。
（R为△ABC外接圆半径）
③可以证明
A
B
C
a
c
b
探索新知：
3.正弦定理的再认识
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
符号语言：
文字语言：
问题5 正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素？
有三个等式，每个等式中有四个元素（两角及其对边）.
问题4 公式的结构特征怎样？
和谐美，对称美
问题6 利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？
可以解已知“两角和一边”和“两边和其中一边的对角”的三角形.
（方程思想）
典型例题
题型一：已知两角和任意一边, 解三角形.(ASA, AAS)
典型例题
题型一：已知两角和任意一边, 解三角形.(ASA, AAS)
(法1)
(法2)
①
②
③
典型例题
题型一：已知两角和任意一边, 解三角形.(ASA, AAS)
(法3)几何法：作高法
h
①
②
典型例题
题型一：已知两角及一边解三角形
(1)若所给边是已知角的对边时 ，可由正弦定理求另一边，再由三角
形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个
角，再由正弦定理求另外两边。
技巧总结：已知两角及一边解三角形的一般步骤
①
②
③
①
②
③
第6章 平面向量及其应用
6.4.3 第2课时 正弦定理第二课时--证明再探
学习新知
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
=2R(R为三角形外接圆半径)
正弦定理再认识
点拨
1. 适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立；
应用
1.已知两角和任一边，求其他的边和角；
2. 结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦；
3. 揭示规律：三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式；
4. 归纳方法：正弦定理实现了三角形中边角关系的转化。
2.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角；
3.边角互相转化。
任意三角形中,各边边长与所对角的正弦值之比相等。
1.变形：
2.作用：边角互化
求周长or两边和的范围
3.正弦定理的再认识-------变形
典型例题
例2.在△中，已知，，，解这个三角形.
B
A
C
题型二：已知两边和一边的对角, 解三角形.( ASS)
典型例题
例2.在△中，已知，，，解这个三角形.
解：由正弦定理 ，得：
因为，所以
于是或
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，
可以利用正弦定理
(1)当 时，
思考：为什么角有两个值？
题型二：已知两边和其中一边的对角,解三角形(SSA)
典型例题
例2在△中，已知，，，解这个三角形.
解：(2)当时，
思考：为什么角有两个值？
由三角函数的性质可知，
在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；
正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
题型二：已知两边和一边的对角, 解三角形.( ASS)
典型例题
B
A
C
题型二：已知两边和一边的对角, 解三角形.( ASS)
典型例题
检验
内角和定理
大边对大角
检验1
检验2
题型二：已知两边和一边的对角, 解三角形.( ASS)
典型例题
(法2)
题型二：已知两边和一边的对角, 解三角形.( ASS)
典型例题
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
A
B
C
a
b
c
探索：如图，已知两边a、b 和其中边 a 的对角 A
思考：利用几何图形，判断何时无解，一解，两解？
C
A
b
a
B
B
a
a
．
B
典型例题
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
A 为 锐 角 图形
关系
解的个数 0 1 2 1
A 为 钝 角 或 直 角 图形
关系
解的个数 0 0 1 1
课堂小结
正弦定理
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等

定理应用
已知两角和一边，解三角形
已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题）
思想方法
特殊到一般、方程思想
数形结合、分类讨论
8. 课堂小结
第6章 平面向量及其应用
6.4.3 第2课时 正弦定理（3）
学习新知
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，比值为其外接圆的直径，即：
正弦定理的几何意义
常用变形：
, ，
, , ,
学习新知
正弦定理
正弦定理
正弦定理
常用变形：
, ，
巩固1：正弦定理的理解
大边对大角
角化边
45°
45°
巩固2：边角互化的运用(求角)
边化角
边化角
巩固3：边角互化的运用(判断△形状)
(法1)角化边(余弦定理)：过程较繁琐冗长
(法2)边化角：
边化角:等式左右的a,b,c齐次
巩固3：边角互化的运用
边化角
边化角
巩固3：边角互化的运用
角化边
角化边:等式左右的A/B/C三角值齐次
边化角
边化角:等式左右的a,b,c齐次
典型例题
题型三：三角形形状的判断
求边长范围
基本不等式&三边关系
求边长范围
(不等式法)
(外接圆法)
基本不等式or三边关系or外接圆(图)
求边长范围
(三角函数法)
三角函数法：f(A)的值域
基本不等式or三边关系or外接圆(图)or正弦Th+三角函数
求边长范围
基本不等式or三边关系or外接圆(图)or正弦Th+三角函数
(外接圆法)
(三角函数法)
求面积范围
基本不等式or三边关系or外接圆(图)or正弦Th+三角函数
切入点：
(不等式法)
(三角函数法)
课后作业
课后作业解析
课后作业解析
课后作业解析
探索新知
探究：射影定理
如图，的三边分别所对的内角为
过点作的垂线，垂足为，
则，
同理,
射影定理
探索新知
探究：三角形的面积公式
如图，的三边分别所对的内角为
过点作的垂线，垂足为，
则
同理，
三角形面积等于任意两边与它们夹角正弦值乘积的二分之一
三角形的面积公式
正弦定理的应用
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,各边上的高分别是 则 能如何表示
（r为内切圆的半径）
思考：若r为三角形内切圆半径，则三角形的面积与周长间有什么关系？
3、三角形面积公式：
由①，在ΔABC中，结合上图可知，，可得②
（在ΔABC中， 为内切圆的半径，根据等面积法可证③）
（在ΔABC中，为外接圆半径，由①结合正弦定理可得④）