上海市黄浦区名校2022-2023学年高二下学期6月第二次测试数学试题（含解析）

黄浦区名校2022-2023学年高二下学期6月第二次测试
数学试卷
一 填空题（本大题共有12小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-12题每个空格填对得4分，否则一律得0分.
1.双曲线的离心率为__________.
2.函数的驻点为__________.
3.抛物线的焦点到直线的距离为__________.
4.设等差数列的前项和为，若，则__________.
5.已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则__________.
6.已知函数，则在点处的切线的倾斜角为__________.
7.等比数列的前项和，则的值为__________.
8.将函数的图像绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是__________.
9.若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为__________.
10.已知函数在处有极值0，则__________.
11.在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数“近似计算”的值为__________（结果用分数表示）.
12.双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题中，则所有真命题的序号为__________.
①是奇函数；
②的图象过点或；
③的值域是；
④函数有两个零点.
二 选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则得0分.
13.已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ）
A.0 B.4 C.8 D.12
14.已知函数付导函数为，且，则（ ）
A.21 B.20 C.16 D.11
15.已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述命题：
①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；
②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件.
则说法正确的选项是（ ）
A.①和②均为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①和②均为假命题
16.已知点为椭圆上的三点，为坐标原点，当时，称为“稳定三角形”，则这样的“稳定三角形”（ ）
A.不存在 B.存在有限个
C.有无数个但面积不为定值 D.有无数个且面积为定值
三 解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：
（1）该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；
（2）从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率.
18.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面与平面所成角们大小为为的中点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
19.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调减区间和极小值.
20.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）
已知曲线的方程为，直线：.
（1）若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值；
（2）若，时，直线与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程；
（3）若直线与曲线在第一象限交于点，是否存在不全相等，，满足，且使得成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
黄浦区名校2022-2023学年高二下学期6月第二次测试
数学试卷
一 填空题（本大题共有12小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-12题每个空格填对得4分，否则一律得0分.
1.【答案】3
【解析】由双曲线的方程可得，
所以离心率，故答案为3
2.【答案】或
【解析】，令，即，解得或，所以驻点为
或
3.【答案】1
【解析】抛物线的焦点为，所以点到直线的距离，故答案为1
4.【答案】24
【解析】因为，所以，即，
所以，所以，
故答案为24
5.【答案】
【解析】椭圆的左右焦点分别为，所以，
为椭圆上点，若，可得，由余弦定理可
得：，故答案为
6.【答案】
【解析】因为，所以，所以在点切线的斜率为，所以在点处的切线的倾斜角为，故答案为
7.【答案】-1
【解析】根据题意，等比数列的前项和，则，
，则有
，解可得，故答案为-1
8.【答案】
【解析】因为函数的图象是圆，是半径为1的下半圆，所
以将函数的图象绕着轴旋转一周所得的几何容器为以为半径的半球体，所以将函数的图象绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是：
故答案为
9.【答案】
【解析】，因为函数在区间单调递增，所以
在区间上恒成立，所以，而在区间上单调递减，所以，所以实数的取值范围为
10.【答案】-7
【解析】因为，所以，依题意可得，
解得，所以
11.【答案】
函数的导数为，所以，函数在点处
的切线，所以在附近可以用代替，即，
又非常接近，.
故答案为：.
12.【答案】①②
【解析】双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称，即存为奇函数，故①对；也双曲线的顶点为，渐近线方程为，可得的图象的渐近线为和，图象关于直线对称，可得的图象过点或，由对称性可得的图象按逆时针旋转位于一三象限；按顺时针旋转位于二四象限；故②对；的图象按逆时针旋转位于一三象限，由图象可得顶点为点或不是极值点，则的值域不是的图象按顺时针旋转位于二四象限，由对称性可得的值域也不是，故③不对；当的图象位于一三象限时，的图象与直线有两个交点，函数有两个零点；当的图象位于二四象限时，的图象与直线没有交点，函数没有零点，故①错，故答案为①②
二 选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则得0分.
13.【答案】C
【解析】则为圆的半径为3，圆的半径为7，且两圆相交，所以，
即，故选
14.【答案】B
【解析】由，得，
则，所以，则，故选B
15.【答案】B
【解析】根据题意，对于①，若为奇函数且在其定义域内可导，函数的图象关于原点对称，则其图象任意一点的切线斜率必定关于轴对称，即其导函数必为偶函数，反之，若为偶函数，则不一定为奇函数，如，其导数为偶函数，故“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件，①是真命题；对于②，若为严格增函数，但不定严格增函数，如，其导数，故“为严格增函数”不是“为严格增函数”的必要条件，②是假命题；故选B
16.【答案】D
【解析】设为椭圆上的三点，
因为，所以，则，
又
所以，即
则
所以，整理可得：，
将看成关于的方程，即，
所以，因为，所以，
故存在有无数组使得成立，
由重心的性质可知：面积相等，
故只需先求的面积即可；因为，
则，
故
，所以，
则
，所以，
因此，则的面积为定值，综上所述，这样的“稳定三角形”有无数个且面积为定值，故选D
三 解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.【答案】（1）3位，30岁；（2）
【解析】（1）由茎叶图可知25岁的球员共有3位，因为26×75%=19.5，
所以该国家队球员年龄的第75百分位数为第20名球员的年龄为30岁
（2）设所求事件为，其对立事件为这11名球员年龄都小于30岁的人，
因为，所以
18.【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据题意，连接平面，
则是与平面所成角，则，
又由底面是边长为2的正方形，则，
故，
故四棱锥的体积：
（2）根据题意，连接，与交于点，连接，易知为的中点，
为的中点，则有，则就是异的直线与所成角，
又由，，则，
故异面直线与所成角的大小为
19.【答案】（1）；（2）单调减区间为，极小值为
【解析】（1）则为函数，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即
（2）因为函数，
所以，
令，解得或，列表如下：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的单调减区间为，极小值为
20.【答案】（1）；（2）或；（3）见解析
（1）由题得，曲线为：，又离心率为，，
则，又因为，因此，.
（2）设，
联立方程得，
因为，
则，，所以，，解得或.
因此，曲线的方程为：或.
（3）联立得，
又，得，解得，
假设存在（，，不全相等），使得成立.
故，有，
进一步有，
化简得，
由在第一象限，且，得.
（i），则，，；
（ii），则，得，又因为，
则与已知矛盾.
综上所述：存在（，，不全相等），使得成立，此时