理科数学参考答案
一．选择题（共 12 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D B B A D C C A C B
12.【解析】
二、填空题（共 4 小题）
题号 13 14 15 16
1 0 4 10 2答案 5 2 ，
4
16. 【解析】
第 1页（共 8页）
{#{QQABQYQQggiIAAJAAQBCAwWiCgMQkhEACAgGwAAcIEABCBNABAA=}#}
三．解答题（共 6 小题）
17．【解析】(1) 3bcosC csin B 3a 3c 0，
由正弦定理得: 3sin BcosC sinC sin B 3sin A 3sinC 0，
sin A sin π B C sin B C sinB cosC cosB sinC ，
sinC sin B 3 cos BsinC 3 sinC 0 ,
C 0, π , sinC 0 1 3 ， sin B 3 cos B 3 0 ,即 2 sin B cos B 3 ，
2 2
π π 2π
sin B π 3
， 0 B π， B , ，
3 2 3
3 3
π π
B ， B 2π . …………………………………………6 分
3 3 3
1 1 3
(2) S ABC ac sinB ac 2 3 , ac 8，①2 2 2
b2 a2 c2 2ac cosB ,且b 2 7 ，
28 a2 c2 ac (a c)2 ac (a c)2 8②
联立①②解得 a 4,c 2或 a 2,c 4 …………………………………………12 分
18．【解析】(1)由题意， X 的所有可能取值为10,15,20,25,30，
2
P X 10 1 1 ， P X 15 2
1 1 1
，
2 4 2 3 3
P X 20 2 1 1 1
2 5 1 1 1 1 2
1
2 6
， P X 25 2 ， P X 30 ，
3 18 3 6 9 6 36
则 X的分布列为
X 10 15 20 25 30
1 1 5 1 1
P
4 3 18 9 36
………………………………………5分
E X 10 1 15 1 5 1 1 50故 20 25 30 . ………………………………………6 分
4 3 18 9 36 3
(2)由题意可得列联表如下：
第 2页（共 8页）
{#{QQABQYQQggiIAAJAAQBCAwWiCgMQkhEACAgGwAAcIEABCBNABAA=}#}
有蛀牙 无蛀牙 合计
爱吃甜食 90 30 120
不爱吃甜食 30 50 80
合计 120 80 200
………………………………………8分
2 200 90 50 30 30
2
所以K 28.125 7.879， ………………………………………11 分
120 80 80 120
所以有 99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关. …………………………………………12 分
19.【解析】备注：（第一小问 6分，第二小问 6分）
第 3页（共 8页）
{#{QQABQYQQggiIAAJAAQBCAwWiCgMQkhEACAgGwAAcIEABCBNABAA=}#}
x2 y2
20.【解析】(1)由题设椭圆 C的标准方程为 1 a b 0 ，其中 c2 a2 b2，
a2 b2
3
由题意可得M 0, b ,F c,0 ，又 N为线段 MF的中点， ON ，
2
所以 FM 2 ON c2 b2 3，即 a 3 .
因为点 F与椭圆 C任意一点的距离的最小值为 3 2，
所以 a c 3 2 ，解得 c 2，b2 a2 c2 1，
x2
所以椭圆 C的标准方程为 y2 1. …………………………………………4分
3
第 4页（共 8页）
{#{QQABQYQQggiIAAJAAQBCAwWiCgMQkhEACAgGwAAcIEABCBNABAA=}#}
(2)根据题意得： AB的中垂线过点M 0, 1 ，
y kx m
2
由 x2 ，消去 y并化简得 1 3k x2 6kmx 3m2 3 0，
y
2 1
3
0 36k 2m2 4 1 3k 2 3m2 3 0 m2 1 3k 2 .
2
设 A x1, y1 ,B x2 , y 6km 3m 32 ，则 x1 x2 , x1x2 ， …………………………………………6分1 3k 2 1 3k 2
6k 2m 2m
所以 y1 y2 k x1 x2 2m 2m ，1 3k 2 1 3k 2
3km m
所以 AB的中点坐标为 , .
1 3k 2 1 3k 2
m 1 3km
因为 k 0，所以 AB的中垂线方程为 y x ，
1 3k 2 k 1 3k 2
m 3m
代入点M 的坐标得： 1 2 ，即 2，1 3k 1 3k 2 2m 1 3k
1 1
所以m 2且m
2 2m，解得 m 2 .2
所以 x1 x2 3k ，
AB 1 k 2 x x 2 4x x 1 k 2 9k 2 4 3m
2 3
1 2 1 2 2 ………………………………8分 1 3k
.
m 1
又点M 到直线 AB的距离为 d ，
1 k 2
1 1 2 3m22 3
所以 S△MAB AB d m 1 9k 4 2 2 1 3k 2
1 6m2 6
m 1 2 6m 3 1 m 1 2 3m 6 3 m 1 2 2 m 2 m 2 m 2 m
3 m3 3m 2 3 2
m2 3 ………………………………10 分
2 m 2 m
因为 f 1m m2 2 3 在 , 2
上单调递减，所以 f m 0,
27
，m 2 4
第 5页（共 8页）
{#{QQABQYQQggiIAAJAAQBCAwWiCgMQkhEACAgGwAAcIEABCBNABAA=}#}
9
所以 S△MAB 0, . ………………………………12 分
4
1 (x 2) (ln x ln 2)
21.【解析】(1)因为 f (x) 2 x a ，
(x 2)2 x2
1 3 ln 2 1
函数 f (x)在 x 1处的切线斜率为 ，所以 f (1) 2a ，
9 9 9
a 2 ln2则 ； …………………………………………4 分
18
(2)i）因为 x 0，所以 f (x) 0 (x 2) f (x) 0 ln
x
ax 4a 0，
2 x
令 h(x) ln x ax 4a ，因为函数 f (x)有且仅有三个不同的零点，
2 x
2
所以函数 h(x) h (x) 1 a 4a ax x 4a有且仅有三个不同的零点， ，
x x2 x2
设 k(x) ax2 x 4a,a (0, )，则 1 16a2，
Δ 0 1
①当 即 a 时， k(x) 0， h (x) 0，所以 h(x)在 (0, )上单调递减，
a 0 4
所以 h(x)不可能有三个不同的零点，即函数 f (x)不可能有三个不同的零点，舍去；……6 分
Δ 0 1
②当 即0 a 时， k (x)有两个不同的零点，
a 0 4
2 2
由 k(x) ax2 x 4a 0 x 1 1 16a x 1 1 16a，得 ，4 ，2a 5 2a
所以 x4 0， x5 0，又因为 k(x) ax2 x 4a开口向下，
所以当0 x x4时， k(x) 0， h (x) 0， h(x)在 0, x4 上单调递减；
当 x4 x x5时， k (x) 0， h (x) 0， h(x)在 x4 , x5 上单调递增；
当 x x5时， k(x) 0， h (x) 0， h(x)在 x5 , 上单调递减，
因为 h(2) ln1 2a 4a 0，且 x4x5 4，2
所以 x4 2 x5 ，所以 h x4 h(2) 0 h x5 ， …………………………………………7分
h 1 2 ln
1 a 1 4a 12 2 ln 2 2lna 4a
3
因为 a 2a a 1 a ，
a2
第 6页（共 8页）
{#{QQABQYQQggiIAAJAAQBCAwWiCgMQkhEACAgGwAAcIEABCBNABAA=}#}
1
令m(a) ln 2 2 ln a 1 4a3， a 0,
，
a 4
m (a) 2 1
4
12a2 12a 2a 1 1 2a
1
则 0，所以m(a)
在 0, 上单调递增，a a2 a2 a2 4
m(a) m 1 ln 2 2ln 1 1
3 1
所以 4 4
3ln 2 4
1 0 ，即 h a2
0，
4 4 4 16
h(x) x , 1 由函数零点存在性定理可知， 在区间 5
a2
上有唯一的一个零点 x0，
h x h 4 x0 0 ln ax
4a 1 4 4 4a
0 ln因为 x 2 x
a
4
0
，
0 0 2 x0 x0
x0
4 4又 h x0 0，所以 h 0，则0 x4 ，
x0 x0
4
所以 h(x)在区间 0, x4 上有唯一的一个零点 x ，0
4
故当0 a 1 时， h(x)有且仅有三个不同的零点 x ，2，
x0，4 0
1
综上，实数 a的取值范围是 0, ； …………………………………………10 分
4
ii）证明：因为函数 f (x)的三个不同的零点分别为x ，x ， x
1 2 3，
4
所以由 i）可知， x1x2x3 2 x 8x 0 . …………………………………………12 分0
2 2 2 2
22.【解析】(1) x y cos sin 1
2 2
即曲线C1的普通方程为 x y 1；…………………………………………………2分
曲线C2 的极坐标方程为 2sin 2 3 sin cos x2 y2 x 3y
6
即曲线C 2 22 的直角坐标方程为 x y x 3y 0……………………………………5 分
x2 y2 1
（2）由（1）得 x 3y 1 02 2
x y x 3y 0
即直线MN的方程为 x 3y 1 0，…………………………………………………7 分
3 5
则与直线MN平行且过原点的直线 l的方程为 y x，其倾斜角为
3 6
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{#{QQABQYQQggiIAAJAAQBCAwWiCgMQkhEACAgGwAAcIEABCBNABAA=}#}
5
所以直线 l的极坐标方程为 ( R)；（注：没有写极径取值范围扣 1 分） ……………8分
6
0 0 1 1
设曲线C1 : x
2 y 2 1的圆心 (0,0)到直线MN的距离为 d，则 d 2 ，故1 ( 3)2 2
MN 2 12 (1 )2 3 . ………………………………………………………10 分
2
3 1 1 3 3 5
23.【解析】(1)因为 A， A，所以， 1 a 1 ，即 a ，2 2 2 2 2 2
因为 a N ，则 a 2 . …………………………………………5 分
(2)由（1）可知，m n 2s 1,m,n, s 0，
2 22 2 2 2 2
由柯西不等式可得 m n s 1 1 2 m n 2s 4，
s
当且仅当m n 1时，即当m n s 2， 时，等号成立，
2 2 2
2m n 2s m n s m n 1 2所以，m2 n2 s2 1，当且仅当 时，即当 ， s 时，等号成立，
4 2 2 2
因此，m2 n2 s2 的最小值为1. （注：没有写明等号成立条件扣 1 分） ……………………10 分
第 8页（共 8页）
{#{QQABQYQQggiIAAJAAQBCAwWiCgMQkhEACAgGwAAcIEABCBNABAA=}#}广安市2022-2023学年高二下学期期末模拟考试
数学试卷（理科）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知等差数列的前9项和为27， （ ）
A. 97 B. 100 C. 99 D. 98
4. 双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. 2 D.
5. A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.2，则A，B不去同一城市上大学的概率为（ ）
A. 0.3 B. 0.56 C. 0.54 D. 0.7
6. 已知函数的最小正周期为T，若，且是的一个极值点，则（ ）
A. B. 2 C. D.
7.英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（ ）
A. B. C. D.
8.下列说法中，正确的命题的是（ ）
A. 一台晩会有6个节目，其中有2个小品，如果2个小品不连续演出，共有不同的演出顺序240种
B.
C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3
D. 若样本数据，，…的方差为2，则数据，，…，的方差为16
9. 运行下面的程序，如果输出的，那么判断框内是
A. B.
C. D.
10. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是( )
A. f(－5)C. f(log27)11. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，广安市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，广安的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
B.
C. D.
12. 函数与其导函数为，满足，其中；若，，其中，则下列不等式一定成立的有（ ）个
① ②
③ ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，若，则__________．
14. 已知，则________．
15. 若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为__________．
16. 如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为_________．
三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题12分)已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求B；
（2）若，且的面积为，求a，c.
18. (本小题12分)某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为，且每次抽奖的结果相互独立．
（1）若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为X元，求X的分布列与期望．
（2）某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人．有列联表：
有蛀牙 无蛀牙 合计
爱吃甜食
不爱吃甜食
合计
完成上面的列联表，根据独立性检验，能否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关？
附：，．
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
19.(本小题12分) 如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点．
证明：∥平面；
若，，，求二面角的正弦值．
20. (本小题12分)20. 已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线，使得点A与点B关于直线对称，求的面积的取值范围.
21.(本小题12分) 已知函数.
（1）若函数在处的切线斜率为，求实数的值；
（2）若函数有且仅有三个不同的零点，分别设为，，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.
选修4-4：坐标系与参数方程
22．(本小题10分)
平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）.以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。
（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）曲线C1与C2交于M，N两点，求与直线MN平行且过原点的直线l的极坐标方程及|MN|的值.
选修4-5：不等式选讲
23. (本小题10分)设不等式的解集为，且，.
（1）求的值；
（2）若、、为正实数，且，求的最小值.第4页，共4页
