四川省广安市2022-2023学年高二下学期期末模拟考试文科数学试题（含答案）

广安市2022-2023学年高二下学期期末模拟考试
文科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．若实数，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列中，，则前九项和（ ）
A． B． C．90 D．180
6．执行如图所示的程序框图，若输入的值为28，则输出的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
9．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为3，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则下列结论正确的个数为（ ）
①在正方形内一定存在一点，使得；
②在正方形内一定存在一点，使得；
③在正方形内一定存在一点，使平面平面；
④在正方形内一定存在一点，使得平面．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数，，函数的图象过定点，对于任意，，，有，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，．若，则________．
14．在区间内随机取一个数，则取到的数小于的概率为________．
15．在中，，，分别是角，，的对边，若，，，则的面积为________．
16．抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．已知数列满足，且．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，求满足条件的最大整数．
18．环保部门随机调查了某市2022年中100天中每天的空气质量等级和当天到江边绿道锻炼的人次，整理数据得到下表（单位天）：
锻炼人次 空气质量等级
1（优） 6 10 25
2（良） 9 10 12
3（轻度污染） 7 8 7
4（中度污染） 3 2 1
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．
（1）估计该市2022年（365天）“空气质量好”的天数（结果四舍五入保留整数）；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：．
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
19．梯形中，，，，，过点作，交于（如图1）．现沿将折起，使得，得四棱锥（如图2）．
（1）求证：平面平面；
（2）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．
20．椭圆：的离心率，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线与轴的交点为定点．
21．已知函数的极小值点为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，，恒成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数．
（1）求的解集；
（2）若最小值为，正数，，满足，证明：．
广安市2022-2023学年高二下学期期末模拟考试
文科数学答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D 9.D 10.C 11.A
12．A 【解答】函数的图象过定点，故，解得：，
故，，
对于任意，，，有，
则在恒成立，
令，，
故需在单调递增，则，
令，∵，则，
故要使在恒成立，只需，
故，即，解得：．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．
16．49 【解答】解：因为双曲线：过点，所以，
故双曲线的一个焦点为，
因为抛物线：与双曲线有一个公共焦点，
所以抛物线方程为：，设，，，，
则的导数为，所以处的切线的方程为，
故，即，将代入可得，
同理可得，则直线的方程为，
联立抛物线的方程，可得，所以，，
则．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）证明：∵，
∴，即，又，，
∴数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）得，即，
∴，
令，显然在上单调递增，
∴是递增数列，
∴，解得，故满足条件的最大整数其99．
18．【解答】解：（1）依题意可得，该市一天的空气质量等级为1的概率为，
等级为2的概率为，所以“空气质量好”的概率为，
所以该市2022年（365天）“空气质量好”的天数为（天）．
（2）依题意列联表如下所示：
人次 人次 合计
空气质量好 35 37 72
空气质量不好 20 8 28
合计 55 45 100
所以，
因此没有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
19．【解答】（1）证明：在中，∵，，∴，又，
∴，又，，∴四边形是菱形，∴，
又，，∴平面，又平面，∴平面平面．
（2）解：由（I）知平面，又平面，
∴，又，，∴平面，
∵，，，∴，
又，∴．
∵，∴．
20．【解答】（1）解：当点为椭圆上下顶点时，的面积最大，即，
又，，故，，椭圆的方程为；
（2）证明：设直线的方程为，，，则，
联立直线方程和椭圆方程得，，，
直线的方程为，
令得，
又，，故，
，即直线与轴的交点为定点．
21．【解答】解：（1）函数，．
，
∵函数的极小值点为，
∴，解得．
∴，，
经过验证是函数的极小值点．
令，解得
∴的单调递增区间为．
（2），
，
时，，函数在上单调递减，
，不符合题意，舍去．
时，函数在上单调递增，
令，解得，，令，解得，
时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴时，函数取得极小值即最小值，
由题意可得，解得．
时，，∴函数在上单调递增，
∴时，函数取得最小值，，
满足恒成立．
时，，，函数在上单调递增，，不满足条件．
综上，实数的取值范围为．
22．【解答】解：（1）直线的参数方程转换为直角坐标方程为．
曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．
（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到，所以，，
故．
23．【解答】解：（1）
∴或或．解得或或．
∴不等式的解集为；
（2）证明：易知的最小值为6，则，即，
∴
，当且仅当时，等号成立，
∴．