贵州省新高考“西南好卷”2022-2023学年高二下学期6月适应性月考数学试题（六）（含解析）

贵州省新高考“西南好卷”适应性月考试题（六）
高二数学 2023.6
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求：
1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴虚线框”内，若没有条形码，可以填涂准考证号.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.回答非选择题时，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则
A. B.
C. D.
2.平面向量与相互平行，已知，，且与向量的夹角是钝角，则
A. B. C. D.
3.展开式中所有项的系数和为25，则该展开式中项的系数为
A.6 B.7 C.8 D.2023
4.某同学参与了自媒体《数学的维度》栏目约稿启事，为了估计投稿人数，随机了解到6个投稿回执编号，从小到大依次为2，5，12，68，100，126，这6个编号把区间分成7个小区间，可以用前6个区间的平均长度估计整个区间的平均长度，进而求得投稿人数的估计值为
A.139 B.141 C.147 D.150
5.如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为
A. B. C. D.
6.现有，，，，五人到甲，乙，丙三个学校学习，每人只能到一个学校学习，每个学校至少一人至多两人学习，不能去甲学校，，不能同时到丙学校，则不同的分配方案有
A.56 B.57 C.58 D.60
7.某市卫健委为调查研究某种流行病患者的年龄分布情况，随机调查了大量该病患者，年龄分布如下图.已知该市此种流行病的患病率为0.1%，该市年龄位于区间的人口占总人口的28%.若从该市居民中任选一人，若此人年龄位于区间，则此人患这种流行病的概率为（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率）
A.0.28 B.0.00054 C. D.
8.函数的导函数，对任意，，则
A. B.
C. D.与的大小不确定
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
9.一个盒子中装有4个黑球和2个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到黑球记0分，记3次取球后的总得分为，则
A.服从二项分布 B. C. D.
10.已知函数，则
A.的最小正周期为 B.点是图象的一个对称中心
C.为奇函数 D.在上单调递增
11.已知函数，则
A.的图象关于对称 B.的图象关于对称
C.在上单调递减 D.
12.已知为坐标原点，，过动点做直线的垂线，垂足为点，.记动点的轨迹曲线为.已知，，，，均在上，直线，的唯一交点为，则
A.曲线的方程为
B.
C.
D.若，分别交轴于点，，则
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.若随机变量，其密度函数为，则_________.（附：若（单位：）服从正态分布，则，，.）
14.在中，，，则__________.
15.点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为____________.
16.如图，国际象棋棋盘，由64个黑白相间的格子组成，棋盘上2个不同的正方形格如果有一条公共边，就称它们为相邻的.将棋盘上个白色正方形格作上标记，使得板上的任意黑色正方形格都与至少一个作上标记的白色正方形格相邻，则的最小值为____________.若棋盘由个黑白相间的格子组成，则的最小值为_________.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）
17.（本题满分10分）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且.
（1）证明：；
（2）求集合中的元素个数.
18.（本题满分12分）为研究药物是否有效，现随机抽取100只患病的小白鼠进行试验，得到如下列联表：
发病 未发病 总计
不治疗 22 50
药物治疗 42
总计 100
（1）将列联表填写完整（不需写出填写过程），试根据小概率值的独立性检验，分析发病与药物治疗是否有关.
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（2）现有药物，各4粒，两种药物外观和气味极为相似，如果从中选4粒，能将全部选出来，则算是试验成功一次.某人声称能够通过气味区分两种药物，他连续试验10次，成功3次，请问他是猜对的，还是确有区分能力（设各次试验相互独立）？
附：发生概率在0.01以下的事件被称为小概率事件，一般认为小概率事件在试验次数较少时不应发生.
19.（本题满分12分）在如图所示的空间几何体中，与均是等边三角形，直线平面，直线平面，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值
20.（本题满分12分）某公司推出，两款理财产品，期限均为105天，两种理财产品互不相关.现将前7天购买款理财产品的人数进行统计，得到如下表格.
第天 1 2 3 4 5 6 7
购买人数 200 260 280 350 420 440 500
（1）请根据上述表中提供的数据用最小二乘法求出关于的经验回归方程，预测第10天、第20天购买款理财产品的数量，并说明该预测数据是否合理，理由是什么？
（2）两款理财产品每万元收益与概率如下表：
类型 理财产品 理财产品
收益（元） 100 150
概率
（ⅰ）若单独投资其中一款理财产品，综合平均收益与风险方面考虑，应选择哪款？
（ⅱ）若两种理财产品均投资，求理财产品，的最佳投资比例.
（参考公式：，，）
21.（本题满分12分）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，的上顶点到右顶点的距离为.
（1）求的方程；
（2），为上的动点，设直线，的斜率分别为，，且.求的面积的最大值.
22.（本题满分12分）已知函数.
（1）讨论极值点的个数；
（2）若函数恰有2个极值点，，3个零点，，（），探究：是否存在实数，使得.
贵州省新高考“西南好卷”适应性月考答案解析（六）
高二数学 2023.6
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B C C B D C ABD AD BD ACD
1.B 【解析】经集合运算不难求得，选B.
2.A 【解析】由题知，可设；所以，则；若，则，则，符合题意；若，则，则，不合题意；故选A.
3.B 【解析】令，得，解得，，所以所求系数为，故选B.
4.C 【解析】由题知，前六个区间长度依次为：2，3，7，56，32，26，其平均值为21，所以估计，故选C.
5.C 【解析】如图，取中点，则在中，为所求角，设底面半径为，，，所以，
（法二）如图建系：设，易求，，，，
所以，，记所求角为，则，故选C.
6.B 【解析】由题知：有一个学校一人学习，另外两个学校均有两人学习：
第一类，甲学校只有一人学习，按，或，中一人到甲讨论，有：种情况；
第二类，丙学校只有一人学习，按到丙或乙讨论，有：种情况；
第三类：乙学校只有一人学习，按到乙或丙讨论，有：种情况；
所以共有57种，故选B.
7.D 【解析】设该居民年龄位于区间为事件，该居民患这种流行病为事件，由题意知，，，，因为，所以，于是，故选D.
8.C 【解析】∵，∴，∴，令，，∴在上单调递增，
∴，即，∴，故选C.
9.ABD 解析：得分服从参数为3，的二项分布，即.所以A正确.
，B错.
，C正确.
，D正确.选ABD
10.AD 【解析】因为，
因为的最小正周期，故A正确；
因为，故B错；
因为，显然，故C错；
因为，，，故D正确；故选AD.
11.BD 【解析】函数的定义域为；
因为不恒为零，故A错；
因为，故B正确；
因为，，所以，故C错；
因为关于对称，
当时，，且，所以，
当时，，且，所以，故D正确；
故选BD.
12.ACD 【解析】对于A：设，则，因为，所以
因为，，所以，所以曲线的方程为
设直线，的方程分别为：，，
将代入抛物线得，所以，同理，
对于B：显然，故B错；
对于C：所以，同理，故C正确
对于D：设直线的方程为：，代入得：，
同理得：，
所以
因为，所以，故D正确.
故选ACD.
13.0.84135 【解析】因为，，所以
14.120°； 【解析】因为，，所以，所以，所以，故答案为120°.
15.； 【解析】由题知：是直角三角形，设，则
，，
故答案为.
16.（1）10；（2）； 【解析】如图1，将“棋盘”按最长的黑格子对角线水平放置，则各奇数行白格子的个数分别为1，3，5，7，7，5，3，1，在第3、7、11、15行将奇数位置的白格子作上标记.从而作上标记的白格子共有.
若由个黑白相间的格子组成，将“棋盘”按最长的黑格子对角线水平放置，则各奇数行白格子的个数分别为1，3，…，，，…，3，1.在第行将奇数位置的白格子作上标记.如图2，从而作上标记的白格子共有.
17.解：（1）设数列的公差为，所以
所以
解得：，，所以原命题得证
（2）由（1）知，，，由得：
所以，即，解得：.
所以集合中元素个数为个
18.解：（1）
发病 未发病 总计
不治疗 22 28 50
药物治疗 8 42 50
总计 30 70 100
零假设为：发病与药物治疗无关.
根据小概率值的独立性检验，可以认为发病与药物治疗有关.
（2）假设他是猜对的，则每次试验成功的概率为
所以他10次成功3次的概率为
显然，10次成功3次为小概率事件，他很难猜对
所以，他确有区分能力
19.解：（1）设平面与直线的交点为，连接，，
因为直线平面，直线平面，
所以，，，所以平面
所以，，所以为中点
且二面角的平面角为，
在平面四边形中，因为，所以，
所以平面平面
（2）分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
因为四边形为矩形，设，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，，所以，
令，解得
设平面的一个法向量为，
则，，，
令，解得
记求平面与平面夹角为，则
所以求平面与平面夹角的余弦值为.
20.解：（1）依题意得：，
又因为，，
所以
所以，所以
当时，；当时，
所以，预测第10天、第20天购买款理财产品的数量分别为650人，1150人.
第10天购买款理财产品的数量合理，第20天购买款理财产品的数量不合理，因为解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果会比较好，超出这个范围越远，预报的效果越差.
（2）（ⅰ）设投资理财产品每万元的收益为（元），投资理财产品每万元的收益为（元），则
，
，；
由于，
所以，故两种理财产品的平均收益相同，但产品的投资风险更小，应选
（ⅱ）若两种理财产品均投资，不妨设投资产品的比例为，则投资产品的比例为.
记组合投资的收益为，（元），
故组合投资的平均收益为定值
因为
令，则当时，有
即此时最小.理财产品，的最佳投资比例为4:3.
21.解：（1）由题知：，解得，
所以的方程为：
（2）设，，所以，，，
所以，，即
有对称性知直线斜率存在，设直线，
将代入得：
所以，，
因为
所以，
记到直线的距离为，
又因为
又因为
等号仅当时取；即，时，取最大值1.
22.解：（1）由题知：
设函数，
当时，，所以在上单调递增，无极值点
当时，开口向下，对称轴为，；
所以，在上单调递增，无极值点
当时，开口向上，；
所以，在上单调递减，无极值点
当时，开口向上，，对称轴为，；
所以在上有两个解，且，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，上单调递减；
所以有两个极值点.
（2）由（1）知：，，，，
所以
又因为
所以，即，即
所以，所以
令，
则，所以在上单调递减，，
所以，
所以不成立，
所以，不存在实数满足：.