辽宁省新民市高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（含解析）

新民市高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试卷
一、选择题.（8小题共40分）
1．记全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题：，，则是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．若函数是奇函数，则（ ）
A．4 B．3 C．－3 D．－4
4．设为正项递增等比数列的前n项和，且，，则的值为（ ）
A．64 B．63 C．127 D．128
5．函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的一个极值点为1，若，，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．
7．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则，，的大小（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（4小题共20分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的图像关于坐标原点对称
D．函数满足，则
10．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的最大值为3 B．
C．若，则 D．的定义域上是减函数
11．已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前n项和
12．已知是定义域为R的奇函数，且为偶函数，若当时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（4小题共20分）
13．已知函数的定义域是，则的定义域是______．
14．函数的图像恒过定点A，且点A在幂函数的图像上，则______．
15．已知定义在R上的偶函数在上单调递增，实数满足，则实数的取值范围是______．
16．已知定义在R上的函数满足，，均有，则不等式的解集为______．
四、解答题（6小题共70分）
17．已知集合，．
（1）求；
（2）集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
18．已知不等式的解集为．
（1）求实数，的值；
（2）解不等式．
19．为数列的前n项和，已知，
（1）求证数列为等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
20．已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设．
（1）求，的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围．
21．已知定义在R上的函数是奇函数．
（1）求，的值．
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．已知函数．
（1）若，求m的取值范围；
（2）若方程有两个不相等的实数根，并设这两个不相等的实数根为、，求证：．
新民市高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试卷参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 9．AC 10．AB 11．AB 12．BD
二、填空题
13． 14．64 15． 16．
1．解：全集，集合，集合，
，则．故选：A
2．解：由题意得：，．故选D．
3．解：根据题意，函数是奇函数，
设，则，则，，
又是奇函数，则有，即，则，
则．故选：C．
4．解：∵数列是正项递增比数列，∴，∴，∴，
由，且数列是正项递增比数列，可得，
∴，∴，∴，，选择B．
5．解：根据题意，，其定义域为R，
又，
所以是奇函数，排除AB，
因为，所以排除D．故选C．
6．解：∵，∴，
∵函数的一个极值点为1，
∴，即，又，，
∴（当且仅当，时取等号），
即当，时，的最小值为9，故选：B．
7．解：奇函数在R上是增函数，，
可得，即为偶函数，
当时，，即有在单调递增．
因为，，，则，
可得，即，故选：D．
8．解：由题设，定义域为，则，可得，
令，则，
所以时，，即递增 ，值域为；
时，，即递减，值域为；
而恒过，函数图像如下：
要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，
若交点的横坐标为，则，
所以，即．故选C．
二、多选题（共4小题）
9．解：对于A：由解得或，
所以函数的定义域为，故选A正确；
对于B：的定义域为，的定义域为，
定义域不相同，所以和不是同一个函数，故B错误；
对于C：的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，
所以函数的图像关于坐标原点对称，故C正确；
对于D：因为函数满足，所以，解得，
故D错误，故选AC．
10．解：当时，是增函数，则此时，
当，为减函数，则此时，综上的最大值3，故A正确，，故B正确，
当时，由时，得，此时也成立，故C错误，
当时，是增函数，则在定义域上不是减函数，故D错误，故选：AB．
11．解：因为，所以，又，
所以是以2首项，3为公比的等差数列，，
即，所以为递减数列，
的前n项和
．故选：AB．
12．解：根据题意，是定义域为R的奇函数，则
又由函数为偶函数，则函数的图像关于直线对称，则有，
则有，即，则函数是周期为8的周期函数．
当时，，
可得，即，解得，故A错误，
由，可得，故B正确；
，故选C错误；
，故选D正确．故选：BD．
三、填空题（共4小题）
13．解：∵函数定义域是，
∴由，解得．即函数的定义域为．故答案为：．
14．解：对于函数，令，求得，，
可得它的图象恒过定点．
∵点A在幂函数的图象上，∴，∴，，则，
故答案为：64．
15．解：根据题意，因为定义在R上的偶函数在区间单调递增，则所以在单调递减；
又，，于是由，
得，从而有（1），则得，即，且
解得．故的取值范围是；故答案为：．
16．解：令，
因为，则，所以为奇函数，
因为，均有，
当时，，即，
当时，，，
综上，在上单调递增，所以在R上为单调递增的奇函数，
由得，
即，所以，所以．故答案为：．
四、解答题（共6小题）
17．解：（1）∵集合，，∴．
（2）∵是的充分不必要条件，∴，
∵，∴，∴，∴的取值范围为．
18．解：（1）∵的解集为，∴1和是的两个根，
根据根与系数的关系可知：，∴；
（2）由（1）可知，
∴可化为，
∴，
①当即时，，此时解集为；
②当即时，此时解集为；
③当即时，此时解集为；
综上：当时，解集为；
当，解集为；
当时，解集为
19．解：（Ⅰ）由，可知
两式相减得，
即，
∵，∴，
∵当时，，∴（舍）或，
则是首项为3，公差的等差数列，∴的通项公式；
（Ⅱ）∵，
∴，
∴数列的前项和
．
20．解：（1）函数，
∵，∴为开口向上的抛物线，且对称轴为，
∴在区间上是增函数，∴，即
解得，．
（2）由（1）可得，则．
∴在上有解等价于在上有解．
即在上有解
令，∵，∴，∴在上有解，
记，
则在上为减函数， ∴，则，∴的取值范围为．
21．解：（1）由题意可得，解得，
再由，得，解得，
当，时，的定义域为R，
由，可得为奇函数，所以，；
（2）由，得，因为，所以，
所以．令，则，此时不等式可化为，
记，因为当时，和均为减函数，
所以为减函数，故，因为恒成立，所以．
22．解：（1）因数，所以，
即，所以，
令，所以，
令，解得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则最小值为，所以；
（2）因为，是的两个不相等的实数根，
所以，，
即，
由（1）可知当时，恒成立，方程不可能有两个不相等的实数根，
所以，由（*）可得，即有，①
要证，即证，②
由①②可得即证，
又，所以即证，
令，则，令，，
所以在上单调递增，，所以，得证．