勤建学校2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试卷
全卷满分150分，时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号 座位号 学校 班级等考生信息填写在答题卡上.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1.设集合，则的元素个数为（ ）
A.3 B.4 C.9 D.无穷多个
2．已知复数（，i为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（ ）
（参考数据：，，，）
A. B. C. D.
5．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为,它的第n项为,若的所有项都是2，且，，则( )
A．8 B．10 C．12 D．14
6.设函数满足，当0≤x<1时，，则（ ）
A．-2 B． C． D．2
7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．已知，则当时，与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
假设经验回归方程为，则（ ）
B. 当时，y的预测值为2.2
C.样本数据y的40%分位数为0.8 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变
10.在中，A，B，C所对的边为a，b，c，设BC边上的中点为M，的面积为S，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．S的最大值为
C． D．角A的最小值为
11.双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点到渐近线的距离是3
B. 若，则的面积是9
C. 直线的斜率为，直线的斜率为，则
D. 过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为
12. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A. 球与圆柱的体积之比为 B. 四面体CDEF的体积的取值范围为
C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为
D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
14．己知为锐角，，，则
15．已知数列，，，且，则数列的前100项的和为______．
16.已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________.（结果用表示）
四 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）证明:；
（2）若，，，求AM的长度.
18.（本小题满分12分）
已知数列中，
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围
19．（12分）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点．
（1）证明：CD⊥AE；
（2）点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．
20．(本题12分)北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行 转弯 停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
21．（12分）已知双曲线的离心率为，且经过点．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）已知过点的直线与过点的直线的交点N在双曲线C上，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明为定值，并求出定值．
22．（本题满分12分）
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）任意正实数，，当时，试判断与的大小关系并证明．勤建学校2022-2023学年高二下学期6月月考
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A D D B C A C B
6．答案：A．
解：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+2）=f（x）．因为，所以，选A．
7、【详解】设，由已知可得，，
根据椭圆的定义有.又，所以.
在中，由余弦定理可得，，
即，整理可得，
等式两边同时除以可得，，解得，或（舍去），
所以.故选：C.
8、选B 解：由函数，
得函数在上递增，在上递减，在上递增，
作出函数和的图像，如图所示，令，得或，
结合图像可知，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，综上所述，当时，.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9 10 11 12
ABD ABC ABD AD
12、【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；
对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，
四面体CDEF的体积，B错误；
对于C，过作于，如图，而，则，
又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则，
又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误；
对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接，
当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立，
因此，，
则，
令，则，而，即，
因此，解得，所以的取值范围为，D正确.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
70 14、 15、 150 16、
13、详解 由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.∴展开式中含项的系数为.故答案为：.
15、 详解：直线分别与x轴、y轴交于点A、B，则，又，
所以，有，
则
，其中，当时，取得最大值，
且最大值为. 故答案为：
16.【解析】由，得，设，由，
得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点），因为是的角平分线，且为的内心，设，
由内切圆的性质得，，得，在上的投影长为，则在上的投影向量为.
四 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17、（1）由，
得，
则，
由正弦定理和余弦定理得，化简得；
（2）在中，，
又因为，所以，所以，
所以，由，得，
在中，，
所以.
18.（1），
数列是首项，公差为2的等差数列，.
（2），可得，
，即，即恒成立.
19．解法1：（1）因为平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，所以AD⊥平面CDD1C1，∠D1DC是二面角D1-AD-C的平面角，故∠D1DC=120 ．
连结DE，则DE⊥C1D1，从而DE⊥CD．又AD⊥CD，DE∩AD=D，所以CD⊥平面AED，因此CD⊥AE．
（2）设AB=2，则，所以．
连结AC交BD于点O，连结CE交交DF于点G，连结OG．因为平面BDF，所以，因为O为AC中点，所以G为CE中点，故．且直线OG与DF所成角等于直线AE与DF所成角．
在Rt△EDC中，，因为，所以．因此直线AE与DF所成角的余弦值为．
解法2：（1）同解法1．
（2）设AB=2，则，所以．
取DC中点为G，连结EG交交DF于点H，则EG=DD1=2．
连结AG交BD于点I，连结HI，因为平面BDF，所以．
直线HI与DH所成角等于直线AE与DF所成角．
正方形ABCD中，，，所以，故．
在△DHG中，，GD=1，∠EGD=60 ，
由余弦定理．在△DHI中，．
因此直线AE与DF所成角的余弦值为．
解法3：（1）同解法1．
（2）由（1）知BE⊥平面ABCD，以D为坐标原点，为x轴正方向，为2个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
由（1）知，得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），，．
则，，，．
由，得．
因为平面BDF，所以存在唯一的，，使得，解得，从而．
所以直线AE与DF所成角的余弦值为．
20、（1）则，，所以，.
（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下表：
0 1 2 3
所以
（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，
由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试
21．解：（1）由题意得，则，，，化简得，
所以双曲线C的标准方程为，渐近线方程为．（4分）
（2）由题意得点为直线和直线的交点，
因此，所以所在的直线方程为，（6分）
直线与渐近线联立得，则．（8分）
同理得，（10分）
所以．（12分）
22．（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ），，
令得；令得或
故的增区间为，减区间为，
（Ⅱ）结论：，证明如下：
设，由，均为正数且得
设，则
①当时，由得即
故单调递减，从而
而，此时成立
②当时，在上单调递减，在上单调递增
故的最小值为
此时只需证，化简后即证
设，
故单调递增，从而有，即证
综上：不等式得证
