广东省潮州市2022-2023学年高二下学期期末模拟考试（二）数学试题（含答案）

潮州市2022-2023学年高二下学期期末模拟考试（二）数学试题
一、单项选择题：
1. 函数在处的导数是（　　）
A. 1 B. C. e D.
2. 展开式中的系数为（ ）
A.56 B.-56 C. 64 D. -64
3.将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（ ）
A. 戏剧放在中间的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种
D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
4. 设等差数列的前n项和为，若，，则（）
A. 0 B. C. D.
5. 袋中装有11个除颜色外质地大小都相同的球，其中有9个红球，2个黑球．若从中一次性抽取2个球，则恰好抽到1个红球的概率是（）
A. B. C. D.
6．某同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示．
数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
物理成绩y 80 87 75 a 100 79 93 68 85 77
已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为，则下列说法不正确的是（ ）（参考数据：）
A.； B.y与x正相关； C.y与x的相关系数为负数；
D.若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分．
7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（）
A B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，其导函数满足，且，则下列结论不正确的是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：
9. 若，则正整数x的值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 已知离散型随机变量的分布列为
0 1
则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
11. 下列说法中，正确的命题是（ ）
A. 对于任意两个事件与，如果，则事件与独立
B. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，
则
C. ，
D. 随机变量服从正态分布，若，则
12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：6：9，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（）
A. B. C. D.
三、填空题：
13. 用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_________个.（用数字作答）
14. 函数的图象在点处的切线方程为___________.
15. 为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取包食盐，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一包食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差.已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的包食盐中质量在之外的包数，若的数学期望，则的最小值为______.
附：若随机变量服从正态分布，则.
16. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.
四、解答题：
人数 性别 参加考核但未 能签约的人数 参加考核并能 签约的人数
男生 35 15
女生 40 10
17. 甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．
（1）依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？
（2）若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
参考公式与临界值表：，．
18. 记为等比数列的前项和.已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求，判断，，是否成等差数列并说明理由.
19. 北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.
（1）求小明至少正确完成其中3道题的概率；
（2）设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；
（3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.
20.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.
（1）求证：；
若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
21.已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
22.（12分）已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴和轴，且双曲线过点，.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的直线分别交的左 右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，点满足.证明：直线过定点.
潮州市2022-2023学年高二下学期期末模拟考试（二）数学试题答案
1.B 2. D 3. D 4. C 5. D 6．C 7.C 8. A　9. AB 10. AC 11. AB 12. ACD
13. __312____ 14. __. 15. _12____ 16.
人数 性别 参加考核但未 能签约的人数 参加考核并能 签约的人数 合计
男生 35 15 50
女生 40 10 50
合计 75 25 100
四、解答题：
17.解：（1）列联表：
根据小概率值的独立性检验，可认为这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别无关；
（2）由已知，小明通过甲地的每项程序的概率均为，
所以X服从二项分布，即，∴，
由题意：Y的可能取值为0，1，2，3，
，，
，．
所以Y的数学期望．
18. 解：（1）设数列的首项为，公比为，因为，，
所以，解得，所以．
（2）解：因为，所以，
所以，，成等差数列，理由如下：
因为，，
所以
，
即，所以，，成等差数列；
19. 解：（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则.
（2）的可能取值为2，3，4.
，，，
2 3 4
的分布列为：数学期望
（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；
记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；
因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.
20.解：（1）方法（一）因为平面，平面，
所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，……………………1分
(
N
)，………………………………2分
因为，………………………3分
所以，即，………………………………4分
方法（二）连结与相交于点,因为四边形是正方形，
所以…………1分
因为，
所以………………2分
因为，所以,………………3分
因为
所以，因为,所以.……………………4分
(2)设平面的法向量为，，…………5分
所以有，………………………………7分
因为直线与平面所成角为，
所以，…9分
解得，即，因为，………………………………10分
所以点到平面的距离为：.…12分
21.解：（1）当时， 所以，………1分
令，解得或，………………………………2分
x -2 1
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
当x变化时，，变化情况如下：……………………4分
故的极小值为.的极大值为.………………6分
法一：………7分
令，解得，………………………………8分
当或时，，单调递增………………………………9分
当时，，单调递减………………………………10分
要使函数在区间上单调递增，需…………………………11分
解得：，所以的取值范围为.………………………………12分
法二：，………………………………7分
由题知：在区间上恒成立，即恒成立………………………8分
只需大于或等于的最大值或上界.………………………………9分
，………………………………10分
因为，所以，，………………………………11分
，即，所以的取值范围为.………………………………12分
22.解：（1）由题意知，双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.
将两点坐标代入双曲线方程得.
所以，即双曲线方程为.
（2）直线过定点，下面给出证明. 三点共线
设点，直线方程为.
由题意知，直线的方程为.
点为线段的中点，从而.
，若.
化简得……（1）
又，代入（1）式得.
即证……（2）
联立，化简得.
则.
代入（2）式左边得.
由于.
从而（2）式左边等于0成立，直线过定点.