广东省潮州市华南师范大学附属潮州学校2022-2023学年高二下学期数学期末复习卷（一）（含答案）

2022-2023第二学期高二数学复习卷(一)
一、单项选择题：
1. 若函数在处可导，则的值（ ）
A.与，都有关 B.仅与有关，而与无关
C.仅与有关，而与无关 D.与，均无关
2.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则为（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4. 如右图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5. 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 某学校有A，B两家餐厅，小王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.则小王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.7
8. 若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：
9. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（ ）
A. 数据的平均数为0
B. 若变量的经验回归方程为，则实数
C. 变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强
D. 变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好
10. 已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（ ）
A. n＝5 B. C. D.
11. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（ ）
A.若，则 B.若，则A，B相互独立
C.若A，B不相互独立，则 D.若，则
12.函数的导函数的图象如图所示，下列命题正确的是（ ）
A.－3是函数的极值点 B.－1是函数的最小值点
C.在区间上单调递增
D.在处切线的斜率小于零
三、填空题：
13. 展开式中的常数项为______.
14. 已知随机变量，若，则______
15. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，某同学能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.该同学从这8题中任选1题，则他做对的概率为______.
16.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数t的取值范围是______.
四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
性别 垃圾处理 合计
不分类 分类
男性
女性
合计
17. 已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．为调查居民对垃圾处理情况，某社区居委会随机抽取400名社区居民参与问卷调查并全部收回．经统计，有60%的居民对垃圾分类处理，其中女性占；有40%的居民对垃圾不分类处理，其中男性女性各占．
（1）请根据以上信息完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为垃圾处理与性别有关？
（2）为了提高社区居民对垃圾分类的处理能力，该社区成立了垃圾分类宣传小组，利用周末的时间在社区进行垃圾分类宣传活动，并在每周宣传活动结束后，重新统计对垃圾不分
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
类处理的居民人数，统计数据如下：
周次 1 2 3 4 5
对垃圾不分类处理的人数 120 105 100 95 80
请根据所给的数据，建立对垃圾不分类处理的人数与周次之间的经验回归方程，并预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数．
附：，其中．
参考公式：，．
19.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇，求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；（2）他能及格的概率.
20.已知函数.
（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.
21. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，．（1）证明：平面平面；
（2）若二面角为，求二面角的余弦值．
22. 已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
2022-2023第二学期高二数学复习卷 答案
1. B 2. C 3. B 4. B 5. A 6. C 7. D 8. B 9. BD 10. ABD 11. BD
12. AC 13. 【答案】 14. 15. 16.
四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 【答案】（1），
（2）
18.性别 垃圾处理 合计
不分类 分类
男性 80 80 160
女性 80 160 240
合计 160 240 400
18.【答案】（1）由题意，
则联列表为：
零假设为：对垃圾处理与性别无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005．
（2），，
，，，
所以，即所求的经验回归方程为；
令，得，
所以预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数为37．
19. 解：(1)设抽到该同学能背诵的篇数为X，则X的可能取值为0、1、2、3. ……1分
…….9分（每算对一个概率给2分）
X 0 1 2 3
P
故X分布列如下表：………………..10分
(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＝………12分
20.解：由函数的解析式可得：，.…….1分
令，得， ……………………..……………….2分
与的变化情况如下：
x 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
…5分
所以的单调递增区间为和，……………………6分
单调递减区间为 …………………………………..……..7分
由可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在区间上的最大值为，………………………8分
在区间上的最小值为…………………………9分
因为，且，……………………….11分
所以在区间上的最小值为 ……………….…………….12分
21.【详解】（1），分别是线段，的中点，则，，
又，所以，
，所以，
所以，所以，
又，平面，所以平面，
因平面，所以平面平面；
（2）以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
由（1）可得平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即，所以，
所以，，，，，
，，，
设平面的一个法向量是，则，
取，则，即，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，
．所以二面角的余弦值为．
22.（1）解：由题意可得，解得，故椭圆方程为．
（2）解：设直线为，设，，
因为直线，，的斜率依次成等比数列，所以．
联立直线与椭圆的方程，得，
所以，
，，
，所以，得．
存在点，使得四边形为平行四边形．理由如下：
四边形为平行四边形，则点，
点在椭圆上，则
因为，
，
所以，即，
当，时，满足，
所以直线的方程为或或或．
2022-2023第二学期高二数学复习卷
一、单项选择题：
1. 若函数在处可导，则的值（B）
A.与，都有关 B.仅与有关，而与无关
C.仅与有关，而与无关 D.与，均无关
2.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则为（C）
A. B. C. D.
3.已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（B）
A. B. C. D.
4. 如右图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（B ）
A．B．C．D．
5. 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（A）
A. B. C. D.
6. 已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（C）
A. ，
B. ，
C. ， D. ，
7. 某学校有A，B两家餐厅，小王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.则小王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（D）
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.7
8. 若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（）B
A. B. C. D.
【详解】由题意，存在实数，对任意，恒成立，即在上恒成立.设，则，故当时，，当时，，故在处取得最小值，故，所以的取值范围是故选：B
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（）BD
A. 数据的平均数为0
B. 若变量的经验回归方程为，则实数
C. 变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强
D. 变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好
10. 已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（ABD）
A. n＝5 B. C. D.
11. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（BD）
A.若，则 B.若，则A，B相互独立
C.若A，B不相互独立，则 D.若，则
12.函数的导函数的图象如图所示，下列命题正确的是（AC）
A.－3是函数的极值点 B.－1是函数的最小值点
C.在区间上单调递增
D.在处切线的斜率小于零
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13. 展开式中的常数项为______.
【答案】 【详解】因为，令，解得，所以展开式中常数项为.
14. 已知随机变量，若，则______
15. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，某同学能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.该同学从这8题中任选1题，则他做对的概率为______.
16.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数t的取值范围是______.
四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
性别 垃圾处理 合计
不分类 分类
男性
女性
合计
18. 推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．为调查居民对垃圾处理情况，某社区居委会随机抽取400名社区居民参与问卷调查并全部收回．经统计，有60%的居民对垃圾分类处理，其中女性占；有40%的居民对垃圾不分类处理，其中男性女性各占．
（1）请根据以上信息完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为垃圾处理与性别有关？
（2）为了提高社区居民对垃圾分类的处理能力，该社区成立了垃圾分类宣传小组，利用周末的时间在社区进行垃圾分类宣传活动，并在每周宣传活动结束后，重新统计对垃圾不分类处理的居民人数，统计数据如下：
周次 1 2 3 4 5
对垃圾不分类处理的人数 120 105 100 95 80
请根据所给的数据，建立对垃圾不分类处理的人数与周次之间的经验回归方程，并预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数．
附：，其中．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
参考公式：，．
性别 垃圾处理 合计
不分类 分类
男性 80 80 160
女性 80 160 240
合计 160 240 400
【答案】（1）由题意，
则联列表为：
零假设为：对垃圾处理与性别无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005．
（2），，
，，，
所以，即所求的经验回归方程为；
令，得，
所以预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数为37．
19.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇，求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
（2）他能及格的概率.
19. 解：(1)设抽到该同学能背诵的篇数为X，则X的可能取值为0、1、2、3. ……1分
…….9分（每算对一个概率给2分）
X 0 1 2 3
P
故X分布列如下表：………………..10分
(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＝………12分
20.（12分）
已知函数.（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
20.解：由函数的解析式可得：，.…….1分
令，得， ……………………..……………….2分
与的变化情况如下：
x 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
…5分
所以的单调递增区间为和，……………………6分
单调递减区间为 …………………………………..……..7分
由可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在区间上的最大值为，………………………8分
在区间上的最小值为…………………………9分
因为，且，……………………….11分
所以在区间上的最小值为 ……………….…………….12分
21. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角为，求二面角的余弦值．
【详解】（1），分别是线段，的中点，则，，
又，所以，
，所以，
所以，所以，
又，平面，所以平面，
因平面，所以平面平面；
（2）以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
由（1）可得平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即，所以，
所以，，，，，
，，，
设平面的一个法向量是，则，
取，则，即，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，
．所以二面角的余弦值为．
22. 已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【小问1详解】解：由题意可得，解得，故椭圆方程为．
【小问2详解】解：设直线为，设，，
因为直线，，的斜率依次成等比数列，所以．
联立直线与椭圆的方程，得，
所以，
，，
，所以，得．
存在点，使得四边形为平行四边形．理由如下：
四边形为平行四边形，则点，
点在椭圆上，则
因为，
，
所以，即，
当，时，满足，
所以直线的方程为或或或．