2024届数学科高二（下）期末复习试卷（一）
导数专题训练卷
一、选择题
1、若函数恰有两个零点，则在上的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
2、已知函数，则的导函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3、已知为奇函数，且时，，则在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4、已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5、定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6、已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7、已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8、已知定义域为的奇函数满足在上恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9. 已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10、定义在上的函数导函数为，若对任意实数，有，且
为奇函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
11、和e是数学上两个神奇的无理数．产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行的计算．而当涉及到增长时，e就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e．已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12、已知，（），若在上恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13、从中任取一个实数，则的值使函数在上单调递增的概率为 .
14. 已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
15已知三次函数的图象如图所示，则____________
16、若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．
三、解答题
17.已知函数.
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）当 时，判断函数在区间上零点的个数.
18.已知函数，其中e是自然对数的底数.
（Ⅰ）若，证明：；
（Ⅱ）若时，都有，求实数a的取值范围.
19.已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若有两个零点，求实数的范围.
20、已知函数，．，e为自然对数的底数．
（1）如果函数在(0，)上单调递增，求m的取值范围；
（2）若直线是函数图象的一条切线，求实数k的值；
（3）设，，且，求证：．
21. 已知.
（1）求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求的最大值.
22、已知函数，.
（I）当时，若曲线与直线相切，求的值；
（II）当时，证明：；
（III）若对任意，不等式恒成立，求的取值
范围.2021级数学科高二（下）期末复习试卷（一）
导数专题训练卷
一、选择题
1、若函数恰有两个零点，则在上的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
2、已知函数，则的导函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3、已知为奇函数，且时，，则在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4、已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递增，所以，则，令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，即，所以实数的取值范围为；故选：B.
5、定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数为上的奇函数，则，所以.原不等式可化为，即.令，则，故在上单调递减，且由所以.故选：B.
6、已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
7、已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8、已知定义域为的奇函数满足在上恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
9. 已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，单调递增且，此时至多有一个零点， 若有三个零点，则时，函数有两个零点；
当时，，故；
当时，要使有两个零点，
则， 所以，又，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
10、定义在上的函数导函数为，若对任意实数，有，且
为奇函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
11、和e是数学上两个神奇的无理数．产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行的计算．而当涉及到增长时，e就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e．已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
则当时，，即，而，因此，即；
令函数，求导得，函数在上单调递减，
则当时，，即，因此，即；
令函数，求导得，函数在上单调递增，
则当时，，即，
因此，即，
所以.
故选：A
12、已知，（），若在上恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
即在上恒成立.
易知当时，.
令函数，则，函数在上单调递增，
故有，则在上恒成立.
令，则，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即实数的最小值为.
故选：B
二、填空题
13、从中任取一个实数，则的值使函数在上单调递增的概率为 .
【答案】
14. 已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
【答案】
【解析】因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，
所以函数单调递增，
则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，
解得，故答案为：.
15已知三次函数的图象如图所示，则____________
(
y
11
题图
) (
y
11
题图
)
【答案】
16、若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．
由时，；得其关于原点对称后的解析式为．
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点．
对于，求导，令，解得：，
即：当时，单调递增；
令，解得：．
即：当时，单调递减，
∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，则，即．
三、解答题
17.已知函数.
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）当 时，判断函数在区间上零点的个数.
【解析】（Ⅰ）∵，
∴，…………………………………………1分
因为，所以，当x变化时，的变化情况如下表：
1
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
由表可得当时，有极大值，且极大值为，
当时，有极小值，且极小值为………………………….6分
（Ⅱ）.由（Ⅰ）得．
∵ ， ∴. ………………………………………………………………….7分
当时，在上单调递增，在上递减
又∵
∴在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，
所以上有两个零点． …………………………………………………….9分
② 当，即时，
在上单调递增，在上递减，在上递增，
又∵
∴在上有且只有一个零点，在上没有零点，
所以在上有且只有只有一个零点……………………………………………………11分
综上：当时，在上有两个零点；
当时，在上有且只有一个零点．…………………………12分
18.已知函数，其中e是自然对数的底数.
（Ⅰ）若，证明：；
（Ⅱ）若时，都有，求实数a的取值范围.
（Ⅰ）由题意时，，
所以
当时，；…..……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..1分
0
单调递减 极小 单调递增
在时取得极小值，也是最小值………………………………..……..……..….3分
.
………………………………..……..……..……..……..……..………………….4分
（Ⅱ）令，，
时，都有，
在上恒成立. …..……..……..……..……..……..……..……..……..…5分
由，
令，则在上恒成立.
在上单调递增，………..……..……..……..……..……………………….7分
又，
当时，，
在上单调递增，
，即，满足题意. …..……..……..……..……..……..…9分
当时，在上单调递增，
，
存在，使得当时，，在上单调递减，
所以当时，，
这与在上恒成立矛盾…………………………..……..……..…….……..11分
综上所述，，即实数a的取值范围. …..……..……..……..……..……..…12分
19.已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若有两个零点，求实数的范围.
【答案】（1）根据，令，解得，当变化时，，的变化如下表：
－ ＋
递减 递增
∴函数的增区间为，减区间为；函数在处取的极小值，无极大值.
（2）由，则，
当时，，易知函数只有一个零点，不符合题意，
当时，在上，单调递减；在上，单调递增，又，，当时，，所以函数有两个零点，
当时，在和上，单调递增，在上，单调递减.
又，所以函数至多一个零点，不符合题意，
当时，在和上，单调递增，在上，单调递减.
又，所以函数至多一个零点，不符合题意，
当时，，函数在上单调递增，所以函数至多一个零点，不符合题意，
综上，实数的取值范围是.
20、已知函数，．，e为自然对数的底数．
（1）如果函数在(0，)上单调递增，求m的取值范围；
（2）若直线是函数图象的一条切线，求实数k的值；
（3）设，，且，求证：．
【解析】（1），
要使在上单调递增，则在上恒成立.
∴，∴，令，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
∴当x=1时，有最小值为，∴
（2）∵，∴，设切点为，则
∴，令，
∴时，，单调递减，当k＞1时，，单调递增
∴k＝1时，，∴时，k＝1.∴实数k的值为1.
（3）要证
只要证，两边同时除以得：
，令得：
所以只要证：，令
∴，，∴
即，∴原不等式成立.
21、已知.
（1）求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求的最大值.
【解析】1）由题知，，当时，，所以，从而在上单调递增；当时，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知有两个零点，则，
方法一：
由，不妨设，因此，化简得．
令，；所以在上单调递增．所以当时，即；取，则，即为，所以，即，因而得，
而，因而在处切线斜率恒为正．
方法二：欲证，即；因为，．所以，．所以即证，即．因为在上单调递减，在上单调递增．
所以不妨设，故有，，所以．因为在上单调递增．所以即证．又因为．所以即证．设
，，
因为，所以在上单调递减．对任意有，
所以恒成立．所以．故成立，所以在处的切线斜率恒为正数．
22、已知函数，.
（I）当时，若曲线与直线相切，求的值；
（II）当时，证明：；
（III）若对任意，不等式恒成立，求的取值
范围.
【解析】（I）当时，. …………1分
设，则切线斜率.
所以，， …………3分
解得. …………4分
（II）当时，，其中，则，
令，其中，则，
故函数在上单调递增，且， …………6分
当变化时，变化情况如下表：
1
0
单调递减 极小值 单调递增
由上表可知，.所以 . …………8分
（III）显然，在上恒成立，
即恒成立
即恒成立，
所以恒成立，…
构造函数，易知在上是增函数，
所以恒成立，即，
令，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以，解得，……11分
所以实数的取值范围. …………112分
（注：其他方法平行给分）
